Введение
В математике, p-адический анализ — это раздел теории чисел, изучающий математический анализ функций p-адических чисел. Теория комплекснозначных числовых функций на p-адических числах является частью теории локально компактных групп. Обычно под p-адическим анализом понимают теорию функций, принимающих p-адические значения на пространствах, представляющих интерес. Области применения p-адического анализа в основном связаны с теорией чисел, где он играет важную роль в диофантовой геометрии и диофантовом приближении. Для некоторых приложений потребовалось развитие p-адического функционального анализа и спектральной теории. Во многих отношениях p-адический анализ менее сложен, чем классический анализ, поскольку ультраметрическое неравенство означает, например, что сходимость бесконечных рядов p-адических чисел значительно проще. Топологические векторные пространства над p-адическими полями обладают характерными особенностями; например, аспекты, связанные с выпуклостью и теоремой Хана — Банаха, отличаются.
In mathematics, p adic analysis is a branch of number theory that deals with the mathematical analysis of functions of p adic numbers. The theory of complex valued numerical functions on the p adic numbers is part of the theory of locally compact groups. The usual meaning taken for p adic analysis is the theory of p adic valued functions on spaces of interest. Applications of p adic analysis have mainly been in number theory, where it has a significant role in diophantine geometry and diophantine approximation. Some applications have required the development of p adic functional analysis and spectral theory. In many ways p adic analysis is less subtle than classical analysis, since the ultrametric inequality means, for example, that convergence of infinite series of p adic numbers is much simpler. Topological vector spaces over p adic fields show distinctive features; for example aspects relating to convexity and the Hahn–Banach theorem are different.
Теорема Островского
Теорема Островского, сформулированная Александром Островским (1916), утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение на поле рациональных чисел Q эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p-адическому абсолютному значению.
П-адная квантовая механика
p-адическая квантовая механика – относительно новый подход к пониманию природы фундаментальной физики. Это применение p-адического анализа к квантовой механике. В настоящее время существует сотни исследовательских статей по этой теме, а также международные журналы. Существуют два основных подхода к этой области. Первый рассматривает частицы в p-адическом потенциале, и цель состоит в том, чтобы найти решения с плавно меняющимися волновыми функциями, принимающими комплексные значения. Здесь решения должны быть в определенной степени понятны из повседневного опыта. Второй подход также рассматривает частицы в p-адическом потенциале, но целью является поиск волновых функций, принимающих p-адические значения. В этом случае физическая интерпретация более сложна. Тем не менее, математика часто демонстрирует поразительные свойства, поэтому исследования в этой области продолжаются. Один ученый в 2005 году суммировал ситуацию следующим образом: «Я просто не могу рассматривать все это как череду забавных случайностей и отбрасывать как «игрушечную модель». Я считаю, что дальнейшая работа в этом направлении необходима и перспективна».
Локальный принцип
Принцип локализации-глобализации Гельмута Хассе, также известный как принцип Хассе, заключается в идее о том, что целое решение уравнения можно найти, используя китайскую теорему об остатках для построения решений по модулю степеней каждого различного простого числа. Это достигается путем изучения уравнения в полных полях рациональных чисел: в поле вещественных чисел и в p-адических полях. Более формальная формулировка принципа Хассе утверждает, что определённые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в вещественных числах и в p-адических числах для каждого простого числа p.