Кіріспе

Математикалық физикада торлы модель – кеңістік немесе кеңістіктегі уақыт сияқты үздіксіз ортаға қарама-қарсы, торлы жүйеде анықталған физикалық жүйенің математикалық моделі. Торлы модельдер бастапқыда конденсирленген заттар физикасы саласында пайда болды, онда кристалл атомдары автоматты түрде тор құрайды. Қазіргі уақытта торлы модельдер теориялық физикада көптеген себептермен кеңінен танымал. Кейбір модельдер дәл шешіледі, осылайша бұрынғы шашырау теориясынан алынғаннан гөрі терең физикалық түсініктер береді. Торлы модельдер есептеу физикасының әдістерімен зерттеу үшін де өте қолайлы, себебі кез келген үздіксіз модельдің дискреттелуі оны автоматты түрде торлы модельге айналдырады. Осы модельдердің көптегенінің дәл шешімі (шешілген жағдайда) солитонның болуын қамтиды. Оларды шешуге кері шашырау түрлендіруі, Лакс жұптарының әдісі, Янг-Бакстер теңдеуі және кванттық топтар сияқты әдістер қолданылады. Бұл модельдердің шешімдері фазалық өтулер, магниттелу және масштабталу қасиеттерінің, сондай-ақ кванттық өріс теориясының табиғатына түсініктер берді. Физикалық торлы модельдер көбінесе үздіксіз теорияға жуықтама ретінде қолданылады, теорияға ультракүлгін кесуді беру үшін немесе сандық есептеулер жүргізу үшін. Торлы модельдермен кеңінен зерттелетін үздіксіз теорияның мысалы – кванттық хромодинамиканың дискреттелуі, QCD торлы моделі. Алайда, цифрлық физика табиғатты Планк масштабында негізінен дискретті деп есептейді, бұл ақпараттың тығыздығының жоғарғы шегін белгілейді, яғни Голографиялық принципті. Жалпы алғанда, торлы өлшегіш теориясы және торлы өріс теориясы зерттеу салалары болып табылады. Торлы модельдер полимерлердің құрылымын және динамикасын модельдеу үшін де қолданылады.

Мысалдар

Исинг моделі әдеттегі кубтық тор графигі арқылы беріледі, мұнда шексіз кубтық тор немесе кезеңдік кубтық тор, ал – ең жақын көршілердің жиегі (энергиялық функционал үшін де сол әріп қолданылады, бірақ әртүрлі қолданылулары контекст бойынша ажыратылады). Спиндік айнымалы кеңістігі – энергиялық функционал . Спиндік айнымалы кеңістігі көбінесе косет ретінде сипатталады. Мысалы, Potts моделі үшін бізде бар. шегінде біз XY моделін аламыз, ол -қа ие. XY моделін жоғары өлшемдерге жалпылау векторлық модельді береді, ол -қа ие.

Шешілетін модельдер

Біз шекті сандағы нүктелерге және шекті спин өзгермелі кеңістігіне ие торға назар аударамыз. Бұл, торды өлшемдерде периодты жағдайға келтіру арқылы жүзеге асырылады. Онда конфигурация кеңістігі де шекті болады. Біз бөліс функциясын анықтай аламыз:

және конвергенция мәселелері туындамайды (далалық теориядағыдай), себебі қосынды шекті. Теориялық тұрғыдан алғанда, бұл қосындыны параметрлерге ғана тәуелді өрнек алу үшін есептеуге болады. Бірақ практикада, бұл орындықтар арасындағы сызықтық емес өзара әрекеттесулерге байланысты көбінесе қиынға соғады. Бөліс функциясының жабық түрдегі өрнегі бар модельдер «дәл шешілетін» деп аталады. Дәл шешілетін модельдердің мысалдары – периодты 1D Ising моделі және сыртқы магнит өрісі жоқ 2D Ising моделі. Алайда, үшінші өлшемде Ising моделі әлі шешілмеген.

Орташа өріс теориясы

Дәл шешімдерді табудың қиындығына байланысты, аналитикалық нәтижелер алу үшін көбінесе орташа өріс теориясын қолдануға тура келеді. Бұл орташа өріс кеңістікте өзгеретін немесе жаһандық болуы мүмкін.

Орналасқан өзгермелі орташа өрісі

Егер тораптың континуум шегі мынадай болса, барлық бойынша орташа есептеудің орнына, біз маңындағы аймақтар бойынша орташа есептейміз. Бұл кеңістікке байланысты өзгеретін орташа өріс береді. Біз белгісін ретінде қайта белгілейміз, бұл белгілеуді өріс теориясына жақындату үшін жасалады. Бұл бөлініс функциясын жол интегралы түрінде жазуға мүмкіндік береді:

мұнда еркін энергия кванттық өріс теориясындағы әрекеттің Уик айналымымен алынған түрі болып табылады.