Введение

В математической физике решетчатая модель – это математическая модель физической системы, которая определяется на решетке, в отличие от континуума, такого как континуум пространства или пространства-времени. Решетчатые модели первоначально возникли в контексте физики конденсированного состояния, где атомы кристалла автоматически образуют решетку. В настоящее время решетчатые модели весьма популярны в теоретической физике по многим причинам. Некоторые модели имеют точные решения и, таким образом, позволяют получить представление о физике, выходящее за рамки того, что можно узнать из теории возмущений. Решетчатые модели также идеально подходят для изучения методами вычислительной физики, поскольку дискретизация любой модели континуума автоматически превращает её в решетчатую модель. Точные решения многих из этих моделей (когда они разрешимы) включают наличие солитонов. Методы решения включают обратное рассеяние, метод пар Лакса, уравнение Янга-Бакстера и квантовые группы. Решение этих моделей дало понимание природы фазовых переходов, намагниченности и масштабирующего поведения, а также природы квантовой теории поля. Физические решетчатые модели часто возникают как приближение к теории континуума, либо для обеспечения ультрафиолетовой обрезки теории, предотвращающей расходимости, либо для выполнения численных расчетов. Примером теории континуума, широко изучаемой с помощью решетчатых моделей, является решетчатая модель QCD – дискретизация квантовой хромодинамики. Однако цифровая физика рассматривает природу как принципиально дискретную в планковском масштабе, что накладывает верхний предел на плотность информации, также известный как голографический принцип. В более общем смысле, теория решетки и теория решетчатого поля являются областями исследований. Решетчатые модели также используются для моделирования структуры и динамики полимеров.

Примеры

Модель Изинга задается обычной кубической решеткой, где – бесконечная кубическая решетка в или периодическая кубическая решетка в , а – множество ребер ближайших соседей (та же буква используется для энергетического функционала, но различные варианты использования различаются в зависимости от контекста). Пространство спиновых переменных – . Энергетический функционал – .

Пространство спиновых переменных часто можно описать как фактор-пространство (косет). Например, для модели Поттса имеем . В пределе , мы получаем модель XY, которая имеет . Обобщение модели XY на более высокие размерности дает -векторную модель, которая имеет .

Решимые модели

Мы рассматриваем решетку с конечным числом точек и конечное пространство возможных значений спина. Этого можно достичь, сделав решетку периодической с периодом в измерениях. Тогда пространство конфигураций также будет конечным. Мы можем определить функцию разделения

и в этом случае не возникает проблем со сходимостью (как это бывает в теории поля), поскольку сумма конечна. В принципе, эту сумму можно вычислить, чтобы получить выражение, зависящее только от параметров и . Однако на практике это часто бывает сложно из-за нелинейных взаимодействий между узлами решетки. Модели, для которых существует аналитическое выражение для функции разделения, называются точно решаемыми. Примерами точно решаемых моделей являются периодическая одномерная модель Изинга и периодическая двумерная модель Изинга с нулевым внешним магнитным полем, но для размерности , модель Изинга остается нерешенной.

Теория среднего поля

Из-за сложности получения точных решений, для получения аналитических результатов нам часто приходится обращаться к теории среднего поля. Это среднее поле может быть пространственно-зависимым или глобальным.

Пространственно изменяемое среднее поле

Предположим, что континуальный предел решетки выглядит следующим образом. Вместо усреднения по всем значениям , мы усредняем по окрестностям точки . Это приводит к пространственно-зависимому среднему полю. Переобозначаем как , чтобы обозначения были ближе к обозначениям в теории поля. Это позволяет записать функцию разделения в виде интеграла по траекториям:

где свободная энергия является поворотом Вика действия в квантовой теории поля.