Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Патологиялық топологиялық кеңістік
Pathological topological space
Математиканың топология саласында топологтың синусоидалық қисығы немесе Варшава синусоидалық қисығы – бірнеше қызықты қасиеттері бар және оны маңызды оқулық мысалы ететін топологиялық кеңістік. Ол жартылай ашық аралықта (0, 1] функцияның sin(1/x) графигі ретінде, бастау нүктесімен бірге, евклидтік жазықтықтан туындаған топология бойынша анықталады:
In the branch of mathematics known as topology, the topologist's sine curve or Warsaw sine curve is a topological space with several interesting properties that make it an important textbook example. It can be defined as the graph of the function sin(1/x) on the half open interval (0, 1], together with the origin, under the topology induced from the Euclidean plane:
Қасиеттері
Топологтың синустық қисығы T байланысқан, бірақ жергілікті байланысты да, жол бойынша байланысты да емес. Бұл себебі, ол (0,0) нүктесін қамтиды, бірақ функцияны бастапқы нүктемен байланыстырып, жол құруға болмайды. T кеңістігі жергілікті жиынтық кеңістіктің үздіксіз бейнесі болып табылады (атап айтқанда, V кеңістігі {−1} ∪ (0, 1] болсын, және V-ден T-ға f функциясын былай анықтаймыз: f(−1) = (0,0) және x > 0 үшін f(x) = (x, sin(1/x)). Бірақ T өзі жергілікті жиынтық емес. T-ның топологиялық өлшемі 1-ге тең.
The topologist's sine curve T is connected but neither locally connected nor path connected. This is because it includes the point (0,0) but there is no way to link the function to the origin so as to make a path. The space T is the continuous image of a locally compact space (namely, let V be the space {−1} ∪ (0, 1], and use the map f from V to T defined by f(−1) = (0,0) and f(x) = (x, sin(1/x)) for x > 0), but T is not locally compact itself. The topological dimension of T is 1.
Нұсқалар
Топологтың синустық қисығының екі түрінің басқа да қызықты қасиеттері бар. Жабық топологтың синустық қисығын топологтың синустық қисығын алып, оның шекті нүктелер жиынын қосу арқылы анықтауға болады; кейбір мәтіндер топологтың синустық қисығын осы жабық түрі ретінде анықтайды, себебі олар басқа қисықты атау үшін "жабық топологтың синустық қисығы" терминін қолдануды қалайды. Бұл кеңістік жабық және шектелген, сондықтан Хайне-Борель теоремасы бойынша компактты, бірақ топологтың синустық қисығына ұқсас қасиеттерге ие – ол да байланысты, бірақ жергілікті немесе жол бойынша байланысты емес. Кеңейтілген топологтың синустық қисығын жабық топологтың синустық қисығын алып, оған жиынтығын қосу арқылы анықтауға болады. Ол доға бойынша байланысты, бірақ жергілікті байланысты емес.
Two variants of the topologist's sine curve have other interesting properties. The closed topologist's sine curve can be defined by taking the topologist's sine curve and adding its set of limit points, ; some texts define the topologist's sine curve itself as this closed version, as they prefer to use the term 'closed topologist's sine curve' to refer to another curve. This space is closed and bounded and so compact by the Heine–Borel theorem, but has similar properties to the topologist's sine curve—it too is connected but neither locally connected nor path connected. The extended topologist's sine curve can be defined by taking the closed topologist's sine curve and adding to it the set It is arc connected but not locally connected.