Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Патологическое топологическое пространство
Pathological topological space
В области математики, известной как топология, синусоидальная кривая тополога или варшавская синусоидальная кривая — это топологическое пространство, обладающее рядом интересных свойств, что делает его важным примером для учебников. Оно может быть определено как график функции sin(1/x) на полуоткрытом интервале (0, 1] вместе с началом координат, с топологией, индуцированной евклидовой плоскостью.
In the branch of mathematics known as topology, the topologist's sine curve or Warsaw sine curve is a topological space with several interesting properties that make it an important textbook example. It can be defined as the graph of the function sin(1/x) on the half open interval (0, 1], together with the origin, under the topology induced from the Euclidean plane:
Свойства
Синусоида тополога T связна, но не локально связна и не путь-связна. Это происходит потому, что она включает точку (0,0), но невозможно соединить функцию с началом координат, чтобы образовать путь. Пространство T является непрерывным образом локально компактного пространства (а именно, пусть V будет пространством {−1} ∪ (0, 1], и используем отображение f из V в T, заданное условиями f(−1) = (0,0) и f(x) = (x, sin(1/x)) для x > 0), однако само T локально компактным не является. Топологическая размерность T равна 1.
The topologist's sine curve T is connected but neither locally connected nor path connected. This is because it includes the point (0,0) but there is no way to link the function to the origin so as to make a path. The space T is the continuous image of a locally compact space (namely, let V be the space {−1} ∪ (0, 1], and use the map f from V to T defined by f(−1) = (0,0) and f(x) = (x, sin(1/x)) for x > 0), but T is not locally compact itself. The topological dimension of T is 1.
Варианты
Два варианта синусоиды тополога обладают другими интересными свойствами. Замкнутая синусоида тополога может быть определена как синусоида тополога, дополненная множеством её предельных точек; некоторые тексты определяют саму синусоиду тополога как эту замкнутую версию, предпочитая термин "замкнутая синусоида тополога" для обозначения другой кривой. Это пространство замкнуто и ограничено, а следовательно, компактно по теореме Хайне — Бореля, но обладает свойствами, схожими с синусоидой тополога — оно также связно, но не локально связно и не путь-связно. Расширенная синусоида тополога может быть определена как замкнутая синусоида тополога, дополненная множеством. Она дугосвязна, но не локально связна.
Two variants of the topologist's sine curve have other interesting properties. The closed topologist's sine curve can be defined by taking the topologist's sine curve and adding its set of limit points, ; some texts define the topologist's sine curve itself as this closed version, as they prefer to use the term 'closed topologist's sine curve' to refer to another curve. This space is closed and bounded and so compact by the Heine–Borel theorem, but has similar properties to the topologist's sine curve—it too is connected but neither locally connected nor path connected. The extended topologist's sine curve can be defined by taking the closed topologist's sine curve and adding to it the set It is arc connected but not locally connected.