Кіріспе
Функционалдық талдаудағы сәйкестік
In functional analysis, a discipline within mathematics, given a C* algebra A, the Gelfand–Naimark–Segal construction establishes a correspondence between cyclic * representations of A and certain linear functionals on A (called states). The correspondence is shown by an explicit construction of the * representation from the state. It is named for Israel Gelfand, Mark Naimark, and Irving Segal.
Функционалдық талдауда, математиканың бір саласы ретінде, C* алгебрасы A берілген жағдайда, Гельфанд-Наймарк-Сегал құрылымы A-ның циклдық * өкілдіктері мен A-дағы белгілі бір сызықтық функционалдар (күйлер деп аталады) арасындағы сәйкестікті орнатады. Сәйкестік күйден * өкілдіктің нақты құрылымын жасау арқылы көрсетіледі. Ол Израиль Гельфанд, Марк Наймарк және Ирвинг Сегалдың құрметіне аталған.
In functional analysis, a discipline within mathematics, given a C* algebra A, the Gelfand–Naimark–Segal construction establishes a correspondence between cyclic * representations of A and certain linear functionals on A (called states). The correspondence is shown by an explicit construction of the * representation from the state. It is named for Israel Gelfand, Mark Naimark, and Irving Segal.
GNS құрылымы
π — Гильберт кеңістігіндегі C* алгебрасы A-ның * өкілдігі болсын, ал ξ — π үшін бірлік нормалы циклдық вектор болсын. Онда
A-ның күйі болады.
Керісінше, A-ның кез келген күйін жоғарыда көрсетілгендей векторлық күй ретінде қарастыруға болады, тиісті канондық өкілдікте. Жоғарыдағы теореманың дәлелінде күйден * өкілдік жасау үшін қолданылатын әдіс GNS құрылысы деп аталады. C* алгебрасы A-ның күйі үшін сәйкес GNS өкілдігі, төмендегі теоремада көрсетілгендей, шарт бойынша бірегей түрде анықталады.
ГНС құрылысының маңызы
GNS құрылымы – операторлар алгебрасы ретінде C* алгебраларын сипаттайтын Гельфанд-Наймарк теоремасының дәлелінің негізгі бөлігі болып табылады. C* алгебрасында жеткілікті түрде таза күйлер бар (төменде қараңыз), сондықтан сәйкес келетін толымсыз GNS өкілдіктерінің тікелей қосындысы адал болады. Барлық күйлердің сәйкес GNS өкілдіктерінің тікелей қосындысы A алгебрасының әмбебап өкілдігі деп аталады. A алгебрасының әмбебап өкілдігі кез келген циклдық өкілдікті қамтиды. Кез келген * өкілдік циклдық өкілдіктердің тікелей қосындысы болғандықтан, A алгебрасының кез келген * өкілдігі әмбебап өкілдіктің кейбір көшірмелерінің тікелей қосындысы болып табылады. Егер Φ – C* алгебрасы A-ның әмбебап өкілдігі болса, онда әлсіз оператор топологиясындағы Φ(A) жабылуы A алгебрасының қаптайтын фон Нейман алгебрасы деп аталады. Оны екі рет дуалды A** арқылы анықтауға болады.
Жалпылау
Толық оң бейіндеулерді сипаттайтын Стинспринг факторлау теоремасы GNS құрылымының маңызды кеңейтілуі болып табылады.
Тарих
Гельфанд пен Наймарктың Гельфанд-Наймарк теоремасы туралы мақаласы 1943 жылы жарияланды. Сегал осы жұмыста жасырын болған құрылысты танып, оны нақтырақ түсіндірді. 1947 жылғы мақаласында Сегал Хилберт кеңістігінде операторлар алгебрасы арқылы сипатталатын кез келген физикалық жүйе үшін C* алгебрасының ирредуктибелді бейнелеулерін қарастыру жеткілікті екенін көрсетті. Кванттық теорияда бұл C* алгебрасы байқаулармен (көріністермен) құрылады дегенді білдіреді. Сегал атап өткендей, бұрын Джон фон Нейман мұны тек релятивистік емес Шредингер-Гейзенберг теориясының нақты жағдайы үшін көрсеткен болатын.