Введение

Соответствие в функциональном анализе
В функциональном анализе, разделе математики, для данной C*-алгебры A, конструкция Гельфанда — Наимарка — Сегала устанавливает соответствие между циклическими * -представлениями A и определенными линейными функционалами на A (называемыми состояниями). Это соответствие демонстрируется явным построением * -представления из состояния. Оно названо в честь Израиля Гельфанда, Марка Наимарка и Ирвинга Сегала.

Строительство ГНС

Пусть π является * представлением C*-алгебры A на гильбертовом пространстве H, а ξ — цикличным вектором единичной нормы для π. Тогда

является состоянием A.

Обратно, любое состояние A можно рассматривать как векторное состояние в вышеописанном виде, используя подходящее каноническое представление. Метод, используемый для построения * представления из состояния A в доказательстве вышеуказанной теоремы, называется GNS-конструкцией. Для состояния C*-алгебры A соответствующее GNS-представление по существу однозначно определяется условием, как показано в следующей теореме.

Значение конструкции ГНС

Конструкция GNS лежит в основе доказательства теоремы Гельфанд–Наймарка, характеризующей C*-алгебры как алгебры операторов. В C*-алгебре имеется достаточное количество чистых состояний (см. ниже), чтобы прямая сумма соответствующих неприводимых GNS-представлений была верной (faithful). Прямая сумма GNS-представлений, соответствующих всем состояниям, называется универсальным представлением A. Универсальное представление A содержит каждое циклическое представление. Поскольку любое *-представление является прямой суммой циклических представлений, следует, что любое *-представление A является прямым слагаемым некоторой суммы копий универсального представления. Если Φ — универсальное представление C*-алгебры A, то замыкание Φ(A) в слабой операторной топологии называется обволакивающей алгеброй фон Неймана для A. Оно может быть отождествлено с двойственным двойственным пространством A**.

Обобщения

Теорема о факторизации Стинспринга, характеризующая полностью положительные отображения, является важным обобщением конструкции GNS.

История

Статья Гельфанда и Наймарка о теореме Гельфанда — Наймарка была опубликована в 1943 году. Сегал выделил конструкцию, неявно присутствовавшую в этой работе, и представил её в более четкой форме. В своей работе 1947 года Сегал показал, что для любой физической системы, описываемой алгеброй операторов в гильбертовом пространстве, достаточно рассматривать неприводимые представления C*-алгебры. В квантовой теории это означает, что C*-алгебра порождается наблюдаемыми. Как отметил Сегал, Джон фон Нейман ранее доказал это только для конкретного случая нерелятивистской теории Шрёдингера — Гейзенберга.