Введение

Математическая операция над векторными пространствами, обобщения этой концепции.

В математике тензорное произведение двух векторных пространств V и W (над одним и тем же полем) – это векторное пространство, с которым связано билинейное отображение, отображающее пару (v, w) в элемент, обозначаемый v ⊗ w. Элемент вида v ⊗ w называется тензорным произведением v и w. Элемент V ⊗ W – это тензор, а тензорное произведение двух векторов иногда называют элементарным тензором или разложимым тензором. Элементарные тензоры порождают V ⊗ W в том смысле, что каждый элемент V ⊗ W является суммой элементарных тензоров. Если для V и W заданы базисы, то базис V ⊗ W образуется всеми тензорными произведениями базисного элемента V и базисного элемента W.

Тензорное произведение двух векторных пространств отражает свойства всех билинейных отображений в том смысле, что любое билинейное отображение из V × W в другое векторное пространство Z однозначно факторизуется через линейное отображение V ⊗ W → Z (см. Универсальное свойство). Тензорные произведения используются во многих областях, включая физику и инженерию. Например, в общей теории относительности гравитационное поле описывается с помощью метрического тензора, который является векторным полем тензоров, по одному в каждой точке пространственно-временного многообразия, и каждый из которых принадлежит тензорному произведению самого с собой котангенциального пространства в этой точке.

Определения и конструкции

Тензорное произведение двух векторных пространств — это векторное пространство, определенное с точностью до изоморфизма. Существует несколько эквивалентных способов его определения. Большинство из них заключаются в явном определении векторного пространства, называемого тензорным произведением, и, как правило, доказательство эквивалентности почти немедленно следует из основных свойств так определенных векторных пространств. Тензорное произведение также можно определить через универсальное свойство; см. ниже. Как и для любого универсального свойства, все объекты, удовлетворяющие этому свойству, изоморфны посредством единственного изоморфизма, совместимого с этим универсальным свойством. При использовании этого определения другие определения можно рассматривать как построение объектов, удовлетворяющих универсальному свойству, и как доказательства существования таких объектов, то есть существования тензорных произведений.

Размер

Если V и W – векторные пространства конечной размерности, то V ⊗ W конечномерно, и его размерность равна произведению размерностей V и W.

Это следует из того, что базис V ⊗ W образуется взятием всех тензорных произведений базисного элемента V и базисного элемента W.

Конфигурации тензоров

Квадратные матрицы с элементами в поле представляют собой линейные отображения векторных пространств, например, 1= K^n → K^n, и, следовательно, линейные отображения проективных пространств над 1= K. Если матрица невырождена, то отображение определено всюду, и собственные векторы соответствуют фиксированным точкам 1= ψ. Собственная конфигурация состоит из точек в 1= \mathbb{P}^{n-1}, при условии, что матрица является общей и поле алгебраически замкнуто. Фиксированные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Пусть T – тензор размерности d формата (n₁, …, nₖ) с элементами, лежащими в алгебраически замкнутом поле характеристики ноль. Такой тензор определяет полиномиальные отображения и с координатами: Таким образом, каждая из d координат T является однородным многочленом степени nᵢ в 1= \mathbf{x} = (x₁, …, xₙ). Собственные векторы T – это решения ограничения:

а собственная конфигурация задается многообразием миноров этой матрицы.

Топологические тензорные произведения

Пространства Гильберта обобщают конечномерные векторные пространства на произвольные размерности. Существует аналогичная операция, также называемая "тензорным произведением", которая превращает пространства Гильберта в симметричную моноидальную категорию. По сути, она строится как метрическое завершение алгебраического тензорного произведения, рассмотренного выше. Однако она не удовлетворяет очевидному аналогу универсального свойства, определяющего тензорные произведения; морфизмы для этого свойства должны быть ограничены операторами Гильберта — Шмидта. В ситуациях, когда наложение внутреннего произведения нецелесообразно, можно попытаться завершить алгебраическое тензорное произведение, получив топологическое тензорное произведение. Однако такая конструкция больше не является однозначно определенной: во многих случаях существует несколько естественных топологий на алгебраическом тензорном произведении.

Тензорное произведение отклонённых векторных пространств

Некоторые векторные пространства могут быть разложены в прямую сумму подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств может быть разложено на сумму произведений этих подпространств (по аналогии с тем, как умножение распределяется относительно сложения).

Тензорное произведение представлений

Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами. Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда — Ричардсона.

Тензорное произведение графов

Следует отметить, что, несмотря на название "тензорное произведение", это не тензорное произведение графов в вышеупомянутом смысле; фактически, это категорное произведение в категории графов и гомоморфизмов графов. Однако, по сути, это тензорное произведение Кронекера матриц смежности этих графов. См. также раздел "Тензорное произведение линейных отображений" выше.

Моноидальные категории

Наиболее общая среда для тензорного произведения — моноидальная категория. Она отражает алгебраическую суть тензорного произведения, не привязываясь к конкретным объектам, над которыми оно производится. Таким образом, любое тензорное произведение можно представить как применение моноидной категории к конкретной области, действующей на конкретные объекты.

Языки программирования массивов

Языки программирования, работающие с массивами, могут иметь эту структуру встроенной. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.× (например, A ○.× B или A ○.× B ○.× C). В J тензорное произведение является диадической формой оператора */ (например, a */ b или a */ b */ c). Такой подход в J также позволяет представлять некоторые тензорные поля, поскольку a и b могут быть функциями, а не константами. Произведение двух функций является производной функцией, и если a и b дифференцируемы, то a */ b также дифференцируема. Однако подобные обозначения не являются универсальными для языков программирования, работающих с массивами. Другие языки могут требовать явной работы с индексами (например, MATLAB) и/или не поддерживать функции высшего порядка, такие как якобиан (например, Fortran/APL).