Фурье түрлендірулерін қолдана отырып классикалық оптиканы зерттеу

Кіріспе

Фурье түрлендірулерін қолдана отырып классикалық оптиканы зерттеу. Фурье оптикасы – классикалық оптиканы Фурье түрлендірулерін (ФТ) пайдалана отырып зерттеу, онда қарастырылып отырған толқын формасы жазық толқындардың комбинациясы немесе суперпозициясынан тұрады деп есептеледі. Бұл теорияның Гюйгенс-Френель принципімен салыстыруға болатын жақтары бар, онда толқын майы зерттеліп отырған толқын майының қосындысы болып табылатын шар тәрізді толқын майларының (фазалық май деп те аталады) комбинациясынан тұрады деп қарастырылады. Басты айырмашылық – Фурье оптикасы жазық толқындарды таралу ортасының табиғи режимдері деп қарастырады, ал Гюйгенс-Френель принципінде шар тәрізді толқындар физикалық ортада пайда болады. Иілген фазалық майды осы «табиғи режимдердің» шексіз санынан, яғни кеңістікте әртүрлі бағытта бағытталған жазық толқын фазалық майларынан жасауға болады. Кеңейіп келе жатқан шар тәрізді толқын көздерінен алыс болғанда, ол радиалды таралу бағытына перпендикуляр жазық фазалық майға (шексіз спектрден шыққан бір жазық толқын) жергілікті түрде жанасады. Бұл жағдайда Fraunhofer дифракциялық суреті пайда болады, ол бір шар тәрізді толқын фазалық орталығынан шығады. Жақын өрісте жақсы анықталған бірде-бір шар тәрізді толқын фазалық орталығы болмайды, сондықтан толқын майы шарға жергілікті түрде жанаспайды. Бұл жағдайда кеңістікте (физикалық тұрғыдан анықталатын) шар тәрізді толқын көздерінің таралуынан тұратын Френель дифракциялық суреті пайда болады. Жақын өрісте Френельдің жақын өрістегі толқынын көрсету үшін, тіпті жергілікті түрде, жазық толқындардың толық спектрі қажет. Алға жылжып келе жатқан «кең» толқынды (жағалауға қарай келе жатқан кеңейіп келе жатқан мұхит толқыны сияқты) «жазық толқын режимдерінің» шексіз саны ретінде қарастыруға болады, олардың барлығы (жолдағы тас сияқты бір нәрсеге соқтығысқанда) бір-бірінен тәуелсіз шашырауы мүмкін. Бұл математикалық жеңілдетулер мен есептеулер Фурье талдауы мен синтезінің саласына жатады – олар жарық әртүрлі саңылаулар, линзалар немесе қисық немесе толық немесе ішінара шағылысқан айналар арқылы өтетін кезде не болатынын сипаттауға мүмкіндік береді. Фурье оптикасы бейне өңдеу әдістерінің теориясының маңызды бөлігін құрайды, сондай-ақ кванттық оптика сияқты оптикалық көздерден ақпарат алу қажеттілігі туындайтын қолданбаларды қамтиды. Дәстүрлі Фурье түрлендіру теориясында қолданылатын жиілік және уақыт ұғымдарына ұқсас, Фурье оптикасы кеңістіктік жиілік доменін (kx, ky) кеңістіктік (x, y) доменнің конъюгаты ретінде пайдаланады. Трансформация теориясы, спектр, жолақтың ені, терезе функциялары және бір өлшемді сигнал өңдеуден үлгі алу сияқты терминдер мен ұғымдар жиі қолданылады. Фурье оптикасы фотолитография сияқты жоғары дәлдікті оптикалық қолданбаларда маңызды рөл атқарады, онда жартылай өткізгіш чиптерін өндіру үшін пластинкаларға бейнеленетін торшадағы үлгі соншалықты тығыз болады, сондықтан торшадан шыққан жарық (мысалы, DUV немесе EUV) дифракцияланады және әр дифракцияланған жарық әртүрлі кеңістіктік жиілікке (kx, ky) сәйкес келуі мүмкін. Реттикулдағы біркелкі емес үлгілердің болуына байланысты, қарапайым дифракциялық тор талдауы жарықтың әр ретикулдан дифракциялануын толық сипаттамауы мүмкін.

Study of classical optics using Fourier transforms
Fourier optics is the study of classical optics using Fourier transforms (FTs), in which the waveform being considered is regarded as made up of a combination, or superposition, of plane waves. It has some parallels to the Huygens–Fresnel principle, in which the wavefront is regarded as being made up of a combination of spherical wavefronts (also called phasefronts) whose sum is the wavefront being studied. A key difference is that Fourier optics considers the plane waves to be natural modes of the propagation medium, as opposed to Huygens–Fresnel, where the spherical waves originate in the physical medium. A curved phasefront may be synthesized from an infinite number of these "natural modes" i. e., from plane wave phasefronts oriented in different directions in space. When an expanding spherical wave is far from its sources, it is locally tangent to a planar phase front (a single plane wave out of the infinite spectrum), which is transverse to the radial direction of propagation. In this case, a Fraunhofer diffraction pattern is created, which emanates from a single spherical wave phase center. In the near field, no single well defined spherical wave phase center exists, so the wavefront isn't locally tangent to a spherical ball. In this case, a Fresnel diffraction pattern would be created, which emanates from an extended source, consisting of a distribution of (physically identifiable) spherical wave sources in space. In the near field, a full spectrum of plane waves is necessary to represent the Fresnel near field wave, even locally. A "wide" wave moving forward (like an expanding ocean wave coming toward the shore) can be regarded as an infinite number of "plane wave modes", all of which could (when they collide with something such as a rock in the way) scatter independently of one other. These mathematical simplifications and calculations are the realm of Fourier analysis and synthesis – together, they can describe what happens when light passes through various slits, lenses or mirrors that are curved one way or the other, or is fully or partially reflected. Fourier optics forms much of the theory behind image processing techniques, as well as applications where information needs to be extracted from optical sources such as in quantum optics. To put it in a slightly complex way, similar to the concept of frequency and time used in traditional Fourier transform theory, Fourier optics makes use of the spatial frequency domain (kx, ky) as the conjugate of the spatial (x, y) domain. Terms and concepts such as transform theory, spectrum, bandwidth, window functions and sampling from one dimensional signal processing are commonly used. Fourier optics plays an important role for high precision optical applications such as photolithography in which a pattern on a reticle to be imaged on wafers for semiconductor chip production is so dense such that light (e. g., DUV or EUV) emanated from the reticle is diffracted and each diffracted light may correspond to a different spatial frequency (kx, ky). Due to generally non uniform patterns on reticles, a simple diffraction grating analysis may not provide the details of how light is diffracted from each reticle.

Фурье оптикасы мен бейнелеу ажыратылуы арасындағы байланыс

z осьі жүйенің оптикалық осьі болып табылатын және нысан жазықтығы (жүйелік кескін жазықтығында бейнеленетін) – бұл жазықтық болатын бейнелеу жүйесін қарастырайық. Нысан жазықтығындағы толқынның комплекс сандық компонентінің кеңістіктік бөлігі жоғарыда көрсетілгендей, мұнда әрбір нақты сан ретінде беріледі, ал белгісіз. Бейнелеу – нысан жазықтығындағы толқынды (нысан жазықтығындағы бейнеленетін үлгі туралы ақпаратты қамтитын) нысаннан кескін жазықтығына дұрыс толқын таралуы арқылы кескін жазықтығында қайта құру болып табылады (мысалы, ауа кеңістігіндегі бейнені бейнелеуді қарастырыңыз). Нысан жазықтығындағы толқын, бейнеленетін үлгіге толық сәйкес келеді және принцип бойынша, шектеусіз кері Фурье түрлендіруімен сипатталады, мұнда нақты сандардың шексіз диапазонына ие. Бұл, берілген жарық жиілігі үшін, шектеулеріне байланысты үлгінің толық сипаттамасының тек бір бөлігін ғана бейнелеуге болады дегенді білдіреді; (1) кері Фурье түрлендіруінде бейнелеу үшін қажетті кеңістіктік жиіліктерді қажет ететін ұсақ ерекшелік, мұнда көлденең толқын сандары шартынан қанағаттандырады, мұндай жарық үшін болмайтындықтан толық бейнелене алмайды (Бұл құбылыс дифракция шегі деп аталады), және (2) оптикалық оське қатысты, бірақ оған жақын, жоғары толқын шығару бұрыштарын қажет ететін кеңістіктік жиіліктерге жоғары NA (Сандық апертура) бейнелеу жүйесі қажет, ол қымбат және жасау қиын. (1) үшін, егер комплекс сандық бойлық толқын сандарына рұқсат берілсе де (жарық пен нысан жазықтығы арасындағы белгісіз өзара әрекеттесу арқылы, әдетте қатты материал), бұл осі бойынша жарықтың әлсіреуіне әкеледі (нысан мен кескін жазықтықтары арасында күшейткіш материал болмаса, осі бойынша жарықтың күшеюі физикалық мағынаға ие емес, бұл әдеттегі жағдай). Сондықтан, мұндай толқындары әдетте нысан жазықтығынан жеткілікті алыс орналасқан кескін жазықтығына жете алмайды. Электрондық компоненттердің фотолитографиясына қатысты, осы (1) және (2) себептерінен интегралдық схемалардың фоторезистент пластинкасындағы ұсақ ерекшеліктерін бейнелеу үшін жоғары жиілікті (кішкентай толқын ұзындығы, демек үлкен шамасы) немесе жоғары NA бейнелеу жүйесі қажет. Нәтижесінде, мұндай оптикалық литографияны жүзеге асыратын машиналар күрделене түсіп, қымбаттады, электрондық компоненттерді өндіру құнын едәуір арттырды.

Let's consider an imaging system where the z axis is the optical axis of the system and the object plane (to be imaged on the image plane of the system) is the plane at On the object plane, the spatial part of a complex valued Cartesian component of a wave is, as shown above, with the constraints of , each as a real number, and where The imaging is the reconstruction of a wave on the object plane (having information about a pattern on the object plane to be imaged) on the image plane via the proper wave propagation from the object to the image planes, (E. g., think about the imaging of an image in an aerial space.) and the wave on the object plane, that fully follows the pattern to be imaged, is in principle, described by the unconstrained inverse Fourier transform where takes an infinite range of real numbers. It means that, for a given light frequency, only a part of the full feature of the pattern can be imaged because of the above mentioned constraints on ; (1) a fine feature which representation in the inverse Fourier transform requires spatial frequencies , where are transverse wave numbers satisfying , can not be fully imaged since waves with such do not exist for the given light of (This phenomenon is known as the diffraction limit. ), and (2) spatial frequencies with but close to so higher wave outgoing angles with respect to the optical axis, requires a high NA (Numerical Aperture) imaging system that is expensive and difficult to build. For (1), even if complex valued longitudinal wavenumbers are allowed (by an unknown interaction between light and the object plane pattern that is usually a solid material), give rise to light decay along the axis (Light amplification along the axis does not physically make sense if there is no amplification material between the object and image planes, and this is a usual case.) so waves with such may not reach the image plane that is usually sufficiently far way from the object plane. In connection with photolithography of electronic components, these (1) and (2) are the reasons why light of a higher frequency (smaller wavelength, thus larger magnitude of ) or a higher NA imaging system is required to image finer features of integrated circuits on a photoresist on a wafer. As a result, machines realizing such an optical lithography have become more and more complex and expensive, significantly increasing the cost of the electronic component production.

Аумақтық және бұрыштық жолақтың ені

Жоғарыдағы теңдеу алыс өрісте кеңістіктік ендік жолағын (бір жағынан) және бұрыштық ендік жолағын (екінші жағынан) байланыстыру үшін өте маңызды. "Алыс өріс" термині көбінесе өте анық фазалық орталығы бар конвергентті немесе дивергентті сфералық толқынды қарастырамыз дегенді білдіреді. Алыс өрістегі кеңістіктік және бұрыштық ендік жолағы арасындағы байланыс жұқа линзалардың төмен өткізгіш сүзгілеу қасиеттерін түсіну үшін маңызды. Алыс өріс аймағын анықтайтын шартты 6.1.3-бөлімнен қараңыз. Бұрыштық ендік жолағының ұғымы түсінік болғаннан кейін, оптика ғалымы кеңістіктік немесе сәулелік оптиканы қарастыру арқылы оңай қол жеткізе алмайтын түсініктерді жылдам алу үшін кеңістіктік және спектрлік салалар арасында "алға-артқа өте алады". Мысалы, бірінші линзаның шеткі бұрышынан тыс жатқан кез келген көздің ендік жолағы (Бұл шеткі бұрыш оптикалық жүйенің ендік жолағын анықтайды) өңделетін жүйеге түспейді. Электромагнетизм ғалымдары алыс аймақта электр өрісін есептеудің стационарлық фазалық интеграцияны қажет етпейтін басқа әдісін ойлап тапты. Олар "көрінетін магниттік токтар" деп аталатын ұғымды ойлап тапты, олар әдетте M әрпімен белгіленеді және былай анықталады:

Бұл теңдеуде z бағытындағы бірлік вектор алыс өріс есептеулері жүргізілетін жарты кеңістікке бағытталған деп есептеледі. Бұл эквивалентті магниттік токтар эквиваленттілік принциптерін қолдану арқылы алынады, олар шексіз жазық интерфейс жағдайында кез келген электр тогын J "көшіруге" мүмкіндік береді, ал көрінетін магниттік токтар апертураның екі еселенген электр өрісінен алынады (Скотт [1998] қараңыз). Содан кейін сәулеленген электр өрісі магниттік токтардан электр тогының сәулеленген магниттік өрісіне ұқсас теңдеуді қолдана отырып есептеледі. Осылайша, апертураның электр өрісі тұрғысынан сәулеленген электр өрісі үшін векторлық теңдеу алынады, ал туынды үшін стационарлық фазалық идеяларды пайдалану қажет емес.

Жазық толқын спектрі: Фурье оптикасының негізі

Фурье оптикасы камералар, телескоптар және микроскоптар сияқты фокустық бейнелеу жүйелерін талдау мен жобалауда қолданылатын дәстүрлі сәуле оптикасынан едәуір өзгеше. Сәуле оптикасы – өмірімізде кездесетін оптиканың алғашқы түрі; оны ұғыну және түсіну оңай, сондай-ақ, көптеген оптикалық құрылғыларды түсіну үшін өте тиімді. Алайда, сәуле оптикасы Фурье оптикалық жүйелерінің жұмыс істеу принципін түсіндірмейді, себебі олар көбінесе фокуссыз жүйелер болып табылады. Сәуле оптикасы – толқын оптикасының бір бөлігі (мамандардың терминологиясында, ол толқын оптикасының «асимптотикалық нөлдік толқын ұзындығы лиміті» болып табылады) және демек, қолданылуы шектеулі. Оның қай жағдайда дұрыс екенін және қайда қолдануға болмайтынын білуіміз керек, ал қазіргі жағдай – осы қолдануға болмайтын жағдайлардың бірі. Ағымдағы міндетіміз үшін оптикалық құбылыстарды толқын оптикасын қамтитын деңгейде түсінуді кеңейтуіміз керек, онда оптикалық өріс Максвелл теңдеулерінің шешімі ретінде қарастырылады. Бұл жалпы толқын оптикасы Фурье оптикасы құрылғыларының жұмысын дәл түсіндіреді. Бұл бөлімде біз Максвелл теңдеулеріне толығымен қайта оралмаймыз, оның орнына, бастапқы дереккөзсіз ортада жарамды гомогенді Гельмгольц теңдеуінен бастаймыз (Максвелл теңдеулерінен бір деңгей жоғары). Осы теңдеуден біз бос кеңістіктегі шексіз біртекті жазық толқындардың бір өрістік шешім (көптеген мүмкін шешімдердің ішінде) қалай құралатынын көрсетеміз. Осы біртекті жазық толқындар Фурье оптикасын түсінудің негізін құрайды. Жазық толқын спектрінің түсінігі – Фурье оптикасының негізгі құрылымдық тасы. Жазық толқын спектрі – біртекті жазық толқындардың үздіксіз спектрі, және алыс өріс фазалық фронтындағы әрбір жанасу нүктесі үшін спектрде бір жазық толқын компоненті бар. Сол жазық толқын компонентінің амплитудасы сол жанасу нүктесіндегі оптикалық өрістің амплитудасына тең болады. Бұл тек алыс өрісте ғана дұрыс, ол оптикалық көздердің максималды сызықтық өлшемі және толқын ұзындығы арақатынасымен шамамен анықталады (Скотт [1998]). Жазық толқын спектрі кейбір типтегі периодтық дифракциялық торлар үшін дискретті болып есептелуі мүмкін, бірақ шындығында торлардан алынған спектрлер де үздіксіз болады, себебі ешбір физикалық құрылғы нағыз сызықтық спектрді жасау үшін қажетті шексіз кеңдікке ие бола алмайды. Электр сигналдарына ұқсас, оптикадағы жолақтылық – бейненің қаншалықты егжей-тегжейлі екенін көрсететін өлшем; егжей-тегжейлілік неғұрлым жоғары болса, оны бейнелеу үшін соғұрлым кең жолақтылық қажет. DC (Direct Current) электр сигналы тұрақты және тербеліссіз болады; оптикалық оське параллель таралатын жазық толқын кез келген x y жазықтықта тұрақты мәнге ие, сондықтан ол электр сигналының (тұрақты) DC компонентіне ұқсас. Электр сигналдарындағы жолақтылық – сигнал спектріндегі ең жоғары және ең төменгі жиіліктер арасындағы айырмашылыққа байланысты, және жолақтылықты санмен көрсету үшін спектрдің жоғары және төменгі жиіліктерінен бас тарту критерийі қолданылады. Оптикалық жүйелер үшін жолақтылық кеңістіктік жиілік мазмұнына (жолақты кеңістіктік жолақтылық) қатысты, бірақ оның екінші мағынасы да бар. Ол сондай-ақ тиісті жазық толқындардың оптикалық осьтен қаншалықты еңкейгенін өлшейді, сондықтан мұндай жолақтылық көбінесе бұрыштық жолақтылық деп аталады. Электрлік тізбекте қысқа импульс жасау үшін көбірек жиілік жолақтылығы, ал оптикалық жүйеде өткір дақ жасау үшін бұрыштық (немесе кеңістіктік жиілік) жолақтылығы қажет (Беттік таралу функциясы туралы талқылауды қараңыз). Жазық толқын спектрі тіктөртбұрысты координаталардағы біртекті электромагниттік толқын теңдеуінің өзіндік функциясы немесе «табиғи режим» шешімі ретінде табиғи түрде пайда болады (сондай-ақ, Максвелл теңдеуінен көзсіз ортада толқын теңдеуін шығаратын Электромагниттік сәулеленуді немесе Скоттты қараңыз [1998]). Жиілік доменінде, уақыт конвенциясы болғанда, біртекті электромагниттік толқын теңдеуі Гельмгольц теңдеуі деп аталады және келесідей жазылады:

Fourier optics is somewhat different from ordinary ray optics typically used in the analysis and design of focused imaging systems such as cameras, telescopes and microscopes. Ray optics is the very first type of optics that most of us encounter in our lives; it's simple to conceptualize and understand, and works very well in gaining a baseline understanding of common optical devices. Unfortunately, ray optics does not explain the operation of Fourier optical systems, which are in general not focused systems. Ray optics is a subset of wave optics (In the jargon, it is "the asymptotic zero wavelength limit" of wave optics.) and therefore has limited applicability. We have to know when it is valid and when it is not and this is one of those times when it is not. For our current task, we must expand our understanding of optical phenomena to encompass wave optics, in which the optical field is seen as a solution to Maxwell's equations. This more general wave optics accurately explains the operation of Fourier optics devices. In this section, we won't go all the way back to Maxwell's equations, but will start instead with the homogeneous Helmholtz equation (valid in source free media), which is one level of refinement up from Maxwell's equations (Scott [1998]). From this equation, we'll show how infinite uniform plane waves comprise one field solution (out of many possible) in free space. These uniform plane waves form the basis for understanding Fourier optics. The plane wave spectrum concept is the basic foundation of Fourier Optics. The plane wave spectrum is a continuous spectrum of uniform plane waves, and there is one plane wave component in the spectrum for every tangent point on the far field phase front. The amplitude of that plane wave component would be the amplitude of the optical field at that tangent point. Again, this is true only in the far field, roughly defined as the range beyond where is the maximum linear extent of the optical sources and is the wavelength (Scott [1998]). The plane wave spectrum is often regarded as being discrete for certain types of periodic gratings, though in reality, the spectra from gratings are continuous as well, since no physical device can have the infinite extent required to produce a true line spectrum. Likely to electrical signals, bandwidth in optics is a measure of how finely detailed an image is; the finer the detail, the greater the bandwidth required to represent it. A DC (Direct Current) electrical signal is constant and has no oscillations; a plane wave propagating parallel to the optic axis has constant value in any x y plane, and therefore is analogous to the (constant) DC component of an electrical signal. Bandwidth in electrical signals relates to the difference between the highest and lowest frequencies present in the spectrum of a signal, practically with a criterion to cut off high and low frequency edges of the spectrum to represent bandwidth in a number. For optical systems, bandwidth also relates to spatial frequency content (spatial bandwidth), but it also has a secondary meaning. It also measures how far from the optic axis the corresponding plane waves are tilted, and so this type of bandwidth is often referred to also as angular bandwidth. It takes more frequency bandwidth to produce a short pulse in an electrical circuit, and more angular (or, spatial frequency) bandwidth to produce a sharp spot in an optical system (see discussion related to Point spread function). The plane wave spectrum arises naturally as the eigenfunction or "natural mode" solution to the homogeneous electromagnetic wave equation in rectangular coordinates (see also Electromagnetic radiation, which derives the wave equation from Maxwell's equations in source free media, or Scott [1998]). In the frequency domain, with an assumed time convention of , the homogeneous electromagnetic wave equation becomes what is known as the Helmholtz equation and takes the form

мұнда және – ортаның толқын саны.

Оптика жүйелері: жалпы шолу және электрлік сигналдарды өңдеу жүйелерімен ұқсастық

Жоғары деңгейде қарастырғанда, оптикалық жүйе үш бөліктен тұрады: кіріс жазықтығы, шығыс жазықтығы және осы жазықтықтар арасындағы компоненттер жиынтығы. Бұл компоненттер кіріс жазықтығында қалыптасқан f бейнесін шығыс жазықтығында қалыптасқан g әртүрлі бейнеге түрлендіреді. Оптикалық жүйенің шығыс бейнесі g, кіріс бейнесі f-ке оптикалық жүйенің импульстік жауап функциясы h арқылы конволюциялану арқылы байланысты. (фокусланған оптикалық жүйелер үшін бұл функция нүктелік таралу функциясы деп аталады). Импульстік жауап функциясы оптикалық жүйенің кіріс-шығыс қасиеттерін бірегей түрде анықтайды. Дәстүр бойынша, жүйенің оптикалық осі z осі ретінде қабылданады. Осының салдарынан, екі бейне де, импульстік жауап функциясы да x және y координаталарының функциялары болып табылады. Оптикалық бейнелеу жүйесінің импульстік жауабы – бұл кіріс жазықтығына (әдетте осьте, яғни оптикалық осьте) идеалды нүктелік жарық көзі, яғни жүйеге берілген импульстік сигнал орналасқанда шығыс жазықтығында пайда болатын өріс. Іс жүзінде, нақты импульстік жауапты анықтау үшін идеалды нүктелік көздің болуы міндетті емес. Себебі, қарастырылып отырған оптикалық жүйенің өткізу қабілетінен тыс жиіліктері бар кез келген сигналдың әсері болмайды (өйткені ол жүйемен қабылданылмайды), сондықтан импульстік жауапты анықтау үшін қажет емес. Сигналдың оптикалық жүйенің жиіліктеріне тең немесе одан жоғары бұрыштық кеңдігі болуы жеткілікті. Оптикалық жүйелер әдетте екі негізгі санатқа бөлінеді. Біріншісі – қарапайым фокустық оптикалық бейнелеу жүйелері (мысалы, камералар), онда кіріс жазықтығы объект жазықтығы, ал шығыс жазықтығы бейне жазықтығы деп аталады. Бейне жазықтығындағы (бейнелеу жүйесінің шығыс жазықтығындағы) оптикалық өріс, объект жазықтығындағы (бейнелеу жүйесінің кіріс жазықтығындағы) оптикалық өрістің жоғары сапалы көшірмесі болуы тиіс. Оптикалық бейнелеу жүйесінің импульстік жауап функциясы, кіріс жазықтығындағы импульстің (идеалды нүктелік көздің) орнына сәйкес келетін шығыс жазықтығындағы орнында (немесе сызықтық түрлендірілген орнында) 2D дельта функциясына жақындауы керек. Бейнелеу жүйесінің нақты импульстік жауап функциясы әдетте Эйри функциясына ұқсайды, оның радиусы қолданылатын жарықтың толқын ұзындығына пропорционал. Бұл жағдайда импульстік жауап функциясы көбінесе нүктелік таралу функциясы деп аталады, өйткені объект жазықтығындағы математикалық жарық нүктесі бейне жазықтығында Эйри функциясы түрінде таралады. Екінші түрі – оптикалық бейне өңдеу жүйелері, онда кіріс жазықтығындағы оптикалық өрістің маңызды ерекшелігі табылып, оқшаулануы керек. Мұндай жүйенің импульстік жауабы кіріс жазықтығындағы ізделіп отырған ерекшеліктің жақын көшірмесі (бейнесі) болуы тиіс, сондықтан импульстік жауаптың (қажетті ерекшеліктің бейнесі) кіріс жазықтығындағы өріспен конволюциясы шығыс жазықтығындағы ерекшелік орнында жарқын нүкте тудырады. Осы бөлімде осы типтегі оптикалық бейне өңдеу жүйесі қарастырылады. 6.2-бөлімде осы бөлімде сипатталған оптикалық бейне өңдеу операцияларының аппараттық іске асырылуы көрсетілген.

In a high level overview, an optical system consists of three parts; an input plane, and output plane, and a set of components between these planes that transform an image f formed in the input plane into a different image g formed in the output plane. The optical system output image g is related to the input image f by convolving the input image with the optical impulse response function of the optical system, h (known as the point spread function, for focused optical systems). The impulse response function uniquely defines the input output behavior of the optical system. By convention, the optical axis of the system is taken as the z axis. As a result, the two images and the impulse response function are all functions of the transverse coordinates, x and y. The impulse response of an optical imaging system is the output plane field which is produced when an ideal mathematical optical field point source of light, that is an impulse input to the system, is placed in the input plane (usually on axis, i. e., on the optical axis). In practice, it is not necessary to have an ideal point source in order to determine an exact impulse response. This is because any source bandwidth which lies outside the bandwidth of the optical system under consideration won't matter anyway (since it cannot even be captured by the optical system), so therefore it's not necessary in determining the impulse response. The source only needs to have at least as much (angular) bandwidth as the optical system. Optical systems typically fall into one of two different categories. The first is ordinary focused optical imaging systems (e. g., cameras), wherein the input plane is called the object plane and the output plane is called the image plane. An optical field in the image plane (the output plane of the imaging system) is desired to be a high quality reproduction of an optical field in the object plane (the input plane of the imaging system). The impulse response function of an optical imaging system is desired to approximate a 2D delta function, at the location (or a linearly scaled location) in the output plane corresponding to the location of the impulse (an ideal point source) in the input plane. The actual impulse response function of an imaging system typically resembles an Airy function, whose radius is on the order of the wavelength of the light used. The impulse response function in this case is typically referred to as a point spread function, since the mathematical point of light in the object plane has been spread out into an Airy function in the image plane. The second type is optical image processing systems, in which a significant feature in the input plane optical field is to be located and isolated. In this case, the impulse response of such a system is desired to be a close replica (picture) of that feature which is being searched for in the input plane field, so that a convolution of the impulse response (an image of the desired feature) against the input plane field will produce a bright spot at the feature location in the output plane. It is this latter type of optical image processing system that is the subject of this section. The section 6.2 presents one hardware implementation of the optical image processing operations described in this section.

Кіріс жазықтығы

Кіріс жазықтығы z = 0 болатын барлық нүктелердің орны ретінде анықталады. Сондықтан кіріс бейнесі f –

Шығару жазықтығы

Шығу жазықтығы z = d тең болатын барлық нүктелердің орны ретінде анықталады. Сондықтан шығыс бейнесі g –

Импульстік жауап функциясына қарсы кіріс функциясының 2D ырғағы

Яғни, назарлы оқырман жоғарыдағы интеграл импульстік жауаптың кіріс жазықтығындағы жарық импульсінің орналасуының (x', y') функциясы емес деп ескеретін болады (егер бұл жағдай болмаса, мұндай конволюция мүмкін емес). Бұл қасиет ауысу инварианттығы (Скотт [1998]) деп аталады. Ешбір оптикалық жүйе толық ауысу инвариантты емес: идеалдық, математикалық жарық нүктесі оптикалық осьтен алысқа жылжытылғанда, аберрациялар импульстік жауапты бірте-бірте нашарлатады (фокустаушы бейнелеу жүйелерінде кома деп аталады). Дегенмен, жоғары сапалы оптикалық жүйелер кіріс жазықтығының белгілі бір аймақтарында "жеткілікті ауысу инварианттығына" ие, сондықтан импульстік жауапты тек кіріс және шығыс жазықтықтарының координаттары арасындағы айырмашылықтың функциясы деп қарастырып, жоғарыдағы теңдеуді еш қорқусыз қолдануға болады. Сондай-ақ, бұл теңдеу бірлік үлкеюді қарастырады. Егер үлкею болса, онда теңдеу мына түрге енеді:

Бұл негізінен импульстік жауап функциясын hM-ді x′-ден x = Mx′-ге аударады. Теңдеуде hM, ұқсас, үлкейтпеген жүйенің h импульстік жауап функциясының үлкейтілген нұсқасы болады, сондықтан hM(x,y) = h(x/M,y/M).

Кейінгі сөз: Функционалдық ыдыраудың кең мағынасындағы жазық толқын спектрі

Электр өрістерін математикалық тұрғыдан әртүрлі жолдармен бейнелеуге болады. Гюйгенс-Френель немесе Страттон Чу көзқарастарында электр өрісі нүктелік көздердің суперпозициясы ретінде көрсетіледі, олардың әрқайсысы Грин функциясының өрісін тудырады. Жалпы өріс – барлық жеке Грин функциясы өрістерінің салмақталған қосындысы. Көптеген адамдар үшін электр өрісін қарастырудың ең табиғи жолы осы болар, себебі біздің көпшілігіміз бір кездері қағазға сызғышпен шеңберлер салып көргенбіз, дәл Томас Янгтың екі жарық саңылауы эксперименті туралы классикалық мақаласында сипаттағандай. Дегенмен, бұл электр өрісін бейнелеудің жалғыз жолы емес, оны синусоидальды түрде өзгеретін жазық толқындар спектрі ретінде де көрсетуге болады. Сонымен қатар, Фриц Зернике өзінің Зернике полиномдарына негізделген, бірлік дискіде анықталған тағы бір функционалдық жіктеуді ұсынды. Үшінші (және төменгі) ретті Зернике полиномдары қалыпты линза аберрацияларына сәйкес келеді. Синк функциялары мен Эйри функциялары арқылы да бір функционалдық жіктеу жасауға болады, мысалы, Уиттакер-Шеннон интерполяция формуласында және Найквист-Шеннон дискреттеу теоремасында. Барлық функционалдық жіктеулер әртүрлі жағдайларда пайдалы. Осы әртүрлі бейнелеу формаларына қол жеткізе алатын оптика ғалымы осы керемет өрістердің табиғаты мен қасиеттерін тереңірек түсінуге мүмкіндік алады. Бұл әртүрлі көзқарастар бір-бірімен қарама-қайшы емес, керісінше, олардың байланыстарын зерттеу арқылы толқындық өрістердің табиғатын одан да тереңірек түсінуге болады.

Функционалдық ыдырау және меншікті функциялар

Эгенфункциялардың кеңеюі және функционалдық ыдырау екі маңызды тақырып, олар туралы бұл жерде қысқаша айтылды, бірақ олар толыққанды тәуелсіз емес. Белгілі бір доменде анықталған сызықтық операторларға қатысты эгенфункциялардың кеңеюі көбінесе сол доменді қамтитын санаулы шексіз ортогональды функциялар жиынтығын тудырады. Операторға және оның доменінің өлшемділігіне (сондай-ақ пішініне және шекаралық шарттарына) байланысты, теориялық тұрғыдан алуан түрлі функционалдық ыдыраулар мүмкін.