Введение

Изучение классической оптики с использованием преобразований Фурье

Фоурие́вская оптика — это изучение классической оптики с использованием преобразований Фурье (ПФ), в котором рассматриваемая волново́я форма представляется как состоящая из комбинации или суперпозиции плоских волн. Она имеет некоторые параллели с принципом Гюйгенса — Френеля, в котором волновой фронт рассматривается как состоящий из комбинации сферических волновых фронтов (также называемых фазовыми фронтами), сумма которых образует изучаемый волновой фронт. Ключевое различие заключается в том, что Фоурье́вская оптика рассматривает плоские волны как естественные мо́ды распространения среды, в отличие от принципа Гюйгенса — Френеля, где сферические волны возникают в физической среде. Искривлённый фазовый фронт может быть синтезирован из бесконечного числа этих «естественных мод», то есть из плоских фазовых фронтов волн, ориентированных в разных направлениях в пространстве. Когда расширяющаяся сферическая волна находится далеко от своих источников, она локально касается плоско́го фазового фронта (одной плоской волны из бесконечного спектра), который перпендикулярен радиальному направлению распространения. В этом случае создаётся дифракционная картина Фраунгофера, исходящая из единого сферического волнового фазового центра. В ближнем поле не существует единого чётко определённого сферического волнового фазового центра, поэтому волновой фронт не касается сферической поверхности. В этом случае формируется дифракционная картина Френеля, исходящая из расширенного источника, состоящего из распределения (физически идентифицируемых) сферических источников волн в пространстве. В ближнем поле для представления волны Френеля вблизи, даже локально, необходим полный спектр плоских волн. «Широкую» волну, движущуюся вперёд (например, расширяющуюся океанскую волну, направляющуюся к берегу), можно рассматривать как бесконечное количество «плоских волновых мод», все из которых могут (при столкновении с чем-либо, например, с камнем на пути) рассеиваться независимо друг от друга. Эти математические упрощения и вычисления относятся к области анализа и синтеза Фурье — вместе они позволяют описать, что происходит, когда свет проходит через различные щели, линзы или зеркала, изогнутые в ту или иную сторону, или полностью или частично отражается. Фоурье́вская оптика составляет значительную часть теории, лежащей в основе методов обработки изображений, а также приложений, где необходимо извлекать информацию из оптических источников, таких как квантовая оптика. Если выразиться немного сложнее, аналогично концепции частоты и времени, используемой в традиционной теории преобразования Фурье, Фоурье́вская оптика использует пространственную частотную область (kx, ky) как сопряжённую пространственной (x, y) области. Такие термины и понятия, как теория преобразований, спектр, полоса пропускания, оконные функции и дискретизация из одномерной обработки сигналов, обычно используются. Фоурье́вская оптика играет важную роль в высокоточных оптических приложениях, таких как фотолитография, где рисунок на маске, который должен быть спроецирован на пластины для производства полупроводниковых чипов, настолько плотный, что свет (например, DUV или EUV), исходящий из маски, дифрактируется, и каждый дифрагированный луч может соответствовать различной пространственной частоте (kx, ky). Из-за обычно неравномерных рисунков на масках, простой анализ дифракционной решётки может не предоставить подробную информацию о том, как свет дифрактируется от каждой маски.

Связь между оптикой Фурье и разрешением изображения

Рассмотрим систему визуализации, в которой ось z является оптической осью системы, а плоскость объекта (предназначенная для формирования изображения на плоскости изображения системы) – это плоскость в. На плоскости объекта пространственная часть комплексной волны описывается картезианской компонентой, как показано выше, с ограничениями , где каждое – действительное число, и где. Формирование изображения – это реконструкция волны на плоскости объекта (содержащей информацию о рисунке на плоскости объекта) на плоскости изображения посредством правильного распространения волны от плоскости объекта к плоскости изображения (например, представьте себе формирование изображения в воздушном пространстве). Волна на плоскости объекта, полностью соответствующая рисунку, в принципе описывается незатухающим обратным преобразованием Фурье , где принимает бесконечный диапазон действительных чисел. Это означает, что для заданной частоты света можно сформировать изображение только части полного рисунка из-за вышеупомянутых ограничений на ; (1) мелкая деталь, представление которой в обратном преобразовании Фурье требует пространственных частот , где – поперечные волновые числа, удовлетворяющие , не может быть полностью сформирована, поскольку волны с такими не существуют для данного света (это явление известно как дифракционный предел), и (2) пространственные частоты с , но близкие к , что соответствует большим углам выхода волны относительно оптической оси, требуют системы визуализации с высокой числовой апертурой (NA), которая дорога и сложна в изготовлении. В случае (1), даже если допускаются комплексные продольные волновые числа (в результате неизвестного взаимодействия между светом и рисунком на плоскости объекта, которая обычно представляет собой твердый материал), они приводят к затуханию света вдоль оси (усиление света вдоль оси физически бессмысленно, если между плоскостью объекта и плоскостью изображения нет материала для усиления, что обычно и происходит). Следовательно, волны с такими могут не достичь плоскости изображения, которая обычно находится на достаточно большом расстоянии от плоскости объекта. В контексте фотолитографии электронных компонентов эти факторы (1) и (2) являются причинами, по которым для формирования изображения более мелких деталей интегральных схем на фоторезисте на подложке требуется свет с более высокой частотой (меньшей длиной волны, а следовательно, большей величиной ) или система визуализации с более высокой NA. В результате машины, реализующие такую оптическую литографию, становятся все более сложными и дорогими, что значительно увеличивает стоимость производства электронных компонентов.

Пространственная и угловая полоса пропускания

Уравнение выше имеет решающее значение для установления связи между пространственной полосой пропускания (с одной стороны) и угловой полосой пропускания (с другой стороны) в дальней зоне. Обратите внимание, что термин "дальняя зона" обычно означает, что речь идет о сходящейся или расходящейся сферической волне с достаточно четко определенным фазовым центром. Связь между пространственной и угловой полосой пропускания в дальней зоне необходима для понимания свойства низкочастотной фильтрации тонких линз. Условие определения дальней зоны поля см. в разделе 6.1.3. Как только понятие угловой полосы пропускания будет усвоено, специалист по оптике сможет "переключаться" между пространственной и спектральной областями, чтобы быстро получать информацию, которая в противном случае была бы труднодоступна, опираясь только на пространственные соображения или лучевую оптику. Например, любая полоса пропускания источника, выходящая за пределы угла края первой линзы (Этот угол края определяет полосу пропускания оптической системы), не будет захвачена системой для обработки. Как дополнительное замечание, специалисты по электромагнетизму разработали альтернативный метод расчета электрического поля в дальней зоне, который не требует интегрирования по стационарной фазе. Они разработали концепцию, известную как "фиктивные магнитные токи", обычно обозначаемые M, и определяемые как

В этом уравнении предполагается, что единичный вектор в направлении z указывает в полупространство, где будут проводиться расчеты для дальней зоны. Эти эквивалентные магнитные токи получаются с использованием принципов эквивалентности, которые, в случае бесконечной плоской границы раздела, позволяют "изобразить" любые электрические токи J, в то время как фиктивные магнитные токи получаются из электрического поля апертуры, умноженного на два (см. Scott [1998]). Затем излучаемое электрическое поле рассчитывается из магнитных токов с использованием уравнения, аналогичного уравнению для магнитного поля, излучаемого электрическим током. Таким образом, получается векторное уравнение для излучаемого электрического поля, выраженное через электрическое поле апертуры, и вывод не требует использования идей, связанных со стационарной фазой.

Плосковальный волновой спектр: основа оптики Фурье

Фурье-оптика несколько отличается от обычной лучевой оптики, обычно используемой в анализе и проектировании систем фокусированной визуализации, таких как камеры, телескопы и микроскопы. Лучевая оптика – это первый тип оптики, с которым большинство из нас сталкивается в жизни; её легко концептуализировать и понять, и она очень хорошо работает для получения базового понимания общих оптических устройств. К сожалению, лучевая оптика не объясняет работу оптических систем Фурье, которые, как правило, не являются фокусирующими системами. Лучевая оптика является подмножеством волновой оптики (в терминологии это «асимптотический предел нулевой длины волны» волновой оптики) и, следовательно, имеет ограниченную применимость. Мы должны знать, когда она допустима, а когда нет, и это один из тех случаев, когда она недействительна. Для нашей текущей задачи мы должны расширить наше понимание оптических явлений, включив волновую оптику, в которой оптическое поле рассматривается как решение уравнений Максвелла. Эта более общая волновая оптика точно объясняет работу устройств Фурье-оптики. В этом разделе мы не будем возвращаться к уравнениям Максвелла, а начнем с однородного уравнения Гельмгольца (действительного в областях, свободных от источников), которое является одним уровнем усовершенствования по сравнению с уравнениями Максвелла (Скотт [1998]). Из этого уравнения мы покажем, как бесконечные однородные плоские волны составляют одно из возможных полевых решений в свободном пространстве. Эти однородные плоские волны являются основой для понимания оптики Фурье. Концепция спектра плоских волн – это фундаментальный принцип оптики Фурье. Спектр плоских волн представляет собой непрерывный спектр однородных плоских волн, и в спектре существует один компонент плоской волны для каждой точки касания на фазовом фронте дальнего поля. Амплитуда этого компонента плоской волны соответствует амплитуде оптического поля в этой точке касания. Это справедливо только в дальней зоне, приблизительно определяемой как область, находящаяся за пределами, где – максимальный линейный размер оптических источников, а – длина волны (Скотт [1998]). Спектр плоских волн часто рассматривается как дискретный для определенных типов периодических дифракционных решеток, хотя на самом деле спектры от решеток также непрерывны, поскольку ни одно физическое устройство не может иметь бесконечного размера, необходимого для получения истинного линейного спектра. Подобно электрическим сигналам, полоса пропускания в оптике является мерой детализации изображения; чем выше детализация, тем больше полоса пропускания, необходимая для её представления. Постоянный (DC) электрический сигнал не изменяется во времени и не имеет колебаний; плоская волна, распространяющаяся параллельно оптической оси, имеет постоянное значение в любой плоскости xy и, следовательно, аналогична (постоянной) DC-компоненте электрического сигнала. Полоса пропускания в электрических сигналах определяется разницей между наивысшей и наименьшей частотами, присутствующими в спектре сигнала, практически с использованием критерия отсечения высоких и низких частотных границ спектра для количественной оценки полосы пропускания. Для оптических систем полоса пропускания также связана с пространственным частотным содержанием (пространственная полоса пропускания), но имеет и вторичное значение. Она также измеряет угол наклона соответствующих плоских волн относительно оптической оси, поэтому этот тип полосы пропускания часто называют угловой полосой пропускания. Для создания короткого импульса в электрической цепи требуется большая частотная полоса пропускания, а для создания резкого пятна в оптической системе требуется большая угловая (или пространственная частотная) полоса пропускания (см. обсуждение, связанное с функцией рассеяния точки). Спектр плоских волн естественно возникает как собственная функция или «естественный мод» решения однородного электромагнитного волнового уравнения в прямоугольных координатах (см. также Электромагнитное излучение, которое выводит волновое уравнение из уравнений Максвелла в областях, свободных от источников, или Скотт [1998]). В частотной области, при принятом временном соглашении , однородное электромагнитное волновое уравнение принимает вид известного как уравнение Гельмгольца и имеет вид

где и – волновое число среды.

Оптические системы: общий обзор и аналогия с электрическими системами обработки сигналов

В общем обзоре оптическая система состоит из трех частей: входной плоскости, выходной плоскости и набора компонентов между этими плоскостями, которые преобразуют изображение f, сформированное во входной плоскости, в другое изображение g, сформированное в выходной плоскости. Выходное изображение оптической системы g связано с входным изображением f посредством свертки входного изображения с функцией импульсного отклика оптической системы h (известной как функция рассеяния точки для фокусированных оптических систем). Функция импульсного отклика однозначно определяет поведение «вход-выход» оптической системы. По соглашению, оптическая ось системы принимается за ось z. В результате, оба изображения и функция импульсного отклика являются функциями поперечных координат x и y. Импульсный отклик оптической системы визуализации – это поле на выходной плоскости, которое формируется при размещении в входной плоскости (обычно на оси, то есть на оптической оси) идеального математического точечного источника света, представляющего собой импульсный вход в систему. На практике для определения точного импульсного отклика не требуется идеальный точечный источник. Это связано с тем, что любая полоса пропускания источника, выходящая за пределы полосы пропускания рассматриваемой оптической системы, все равно не имеет значения (поскольку она даже не может быть зарегистрирована оптической системой), поэтому она не требуется для определения импульсного отклика. Источнику необходимо иметь хотя бы такую же (угловую) полосу пропускания, как и оптическая система. Оптические системы обычно относятся к одной из двух категорий. Первая – это обычные фокусированные оптические системы визуализации (например, камеры), в которых входная плоскость называется плоскостью объекта, а выходная – плоскостью изображения. Оптическое поле в плоскости изображения (выходной плоскости системы визуализации) должно быть высококачественным воспроизведением оптического поля в плоскости объекта (входной плоскости системы визуализации). Функция импульсного отклика оптической системы визуализации должна приближаться к двумерной дельта-функции в точке (или в линейно масштабированной точке) на выходной плоскости, соответствующей положению импульса (идеального точечного источника) на входной плоскости. Фактическая функция импульсного отклика системы визуализации обычно напоминает функцию Эйри, радиус которой порядка длины волны используемого света. В этом случае функция импульсного отклика обычно называется функцией рассеяния точки, поскольку математическая точка света в плоскости объекта была размыта в функцию Эйри в плоскости изображения. Второй тип – это системы оптической обработки изображений, в которых необходимо обнаружить и выделить значимую особенность в оптическом поле на входной плоскости. В этом случае импульсный отклик такой системы должен быть близкой репликой (изображением) этой особенности, которую ищут в поле входной плоскости, чтобы свертка импульсного отклика (изображения желаемой особенности) с полем входной плоскости создала яркое пятно в месте расположения особенности на выходной плоскости. Именно этот последний тип систем оптической обработки изображений является предметом данного раздела. В разделе 6.2 представлена одна аппаратная реализация операций оптической обработки изображений, описанных в этом разделе.

Площадь входа

Входная плоскость определяется как геометрическое место точек, для которых z = 0. Следовательно, входное изображение f — это

Плоскость выхода

Выходная плоскость определяется как геометрическое место точек, для которых z = d. Следовательно, выходное изображение g — это

2D-сгибание входной функции по отношению к функции импульсной реакции

то есть, внимательный читатель заметит, что вышеприведенный интеграл неявно предполагает, что импульсная характеристика НЕ является функцией положения (x', y') светового импульса во входной плоскости (в противном случае данный тип свертки был бы невозможен). Это свойство известно как сдвиговая инвариантность (Scott [1998]). Ни одна оптическая система не является идеально сдвигоинвариантной: по мере сканирования идеальной математической точки света от оптической оси аберрации в конечном итоге ухудшают импульсную характеристику (известную как кома в фокусирующих системах). Однако высококачественные оптические системы часто "достаточно сдвигоинвариантны" в определенных областях входной плоскости, что позволяет нам рассматривать импульсную характеристику как функцию только разности между координатами входной и выходной плоскостей и, следовательно, использовать приведенное выше уравнение без опасений. Кроме того, это уравнение предполагает единичное увеличение. Если увеличение присутствует, то уравнение принимает вид

что, по сути, масштабирует функцию импульсной характеристики hM от x′ к x = Mx′. В этом случае hM будет масштабированной версией функции импульсной характеристики h аналогичной системы без увеличения, так что hM(x,y) = h(x/M,y/M).

Послесловие: Плосковальный волновой спектр в более широком контексте функционального разложения

Электрические поля могут быть представлены математически множеством различных способов. В подходах Гюйгенса-Френеля или Страттона-Чу электрическое поле представляется как суперпозиция точечных источников, каждый из которых порождает поле, описываемое функцией Грина. Общее поле тогда является взвешенной суммой всех отдельных полей функций Грина. Это, по-видимому, самый естественный способ восприятия электрического поля для большинства людей – вероятно, потому что многие из нас когда-либо рисовали окружности с помощью транспортира и бумаги, примерно так же, как Томас Янг в своей классической работе об эксперименте с двумя щелями. Однако это далеко не единственный способ представления электрического поля, которое также может быть выражено как спектр синусоидально изменяющихся плоских волн. Кроме того, Фриц Зернике предложил иное функциональное разложение, основанное на его полиномах Зернике, определенных на единичном диске. Полиномы Зернике третьего (и более низких) порядков соответствуют обычным аберрациям линз. Еще одно функциональное разложение можно построить с использованием функций Синка и функций Эйри, как в формуле интерполяции Уиттекера-Шеннона и теореме отсчетов Найквиста-Шеннона. Все эти функциональные разложения полезны в различных ситуациях. Специалист в области оптики, располагающий этими различными формами представления, получает более глубокое понимание природы этих замечательных полей и их свойств. Эти различные подходы к рассмотрению поля не являются противоречивыми; скорее, изучая их взаимосвязь, можно часто получить более глубокое понимание природы волновых полей.

Функциональный разложение и собственные функции

Двойные темы разложения по собственным функциям и функционального разложения, обе из которых лишь вкратце упоминались здесь, не являются полностью независимыми. Разложение по собственным функциям для определенных линейных операторов, определенных на заданной области, часто приводит к счетному бесконечному множеству ортогональных функций, которые образуют базис в этой области. В зависимости от оператора и размерности (а также формы и граничных условий) его области, в принципе возможно множество различных типов функциональных разложений.