Кіріспе
Сандар теориясында p(n) бөлу функциясы нөлдік емес бүтін сан n-нің мүмкін бөлістерінің санын көрсетеді. Мысалы, p(4) = 5, өйткені 4 санының бес бөлісі бар: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2 және 4. Бөлу функциясы үшін жабық түрдегі формула белгісіз, бірақ оны дәл есептеуге мүмкіндік беретін асимптотикалық кеңейтулер мен рекурренттік қатынастар бар. Ол аргументінің квадрат түбірінің экспоненциалдық функциясы ретінде өседі. Оның туынды функциясының кері шамасы – Эйлер функциясы; Эйлердің бесбұрышты сандар теоремасы бойынша, бұл функция аргументінің бесбұрышты сандардың дәрежелерінің алма кезектес қосындысы болып табылады. Шриниваса Раманужан бөлу функциясы модульдік арифметикада маңызды үлгілерге ие екенін бірінші болып тапты, бұл қазір Раманужанның сәйкестіктері деп аталады. Мысалы, егер n саның ондық жазылымы 4 немесе 9 цифрымен аяқталса, онда n саның бөлістерінің саны 5-ке бөлінеді.
In number theory, the partition function p(n) represents the number of possible partitions of a non negative integer n. For instance, 1=p(4) = 5 because the integer 4 has the five partitions 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2, and 4. No closed form expression for the partition function is known, but it has both asymptotic expansions that accurately approximate it and recurrence relations by which it can be calculated exactly. It grows as an exponential function of the square root of its argument. The multiplicative inverse of its generating function is the Euler function; by Euler's pentagonal number theorem this function is an alternating sum of pentagonal number powers of its argument. Srinivasa Ramanujan first discovered that the partition function has nontrivial patterns in modular arithmetic, now known as Ramanujan's congruences. For instance, whenever the decimal representation of n ends in the digit 4 or 9, the number of partitions of n will be divisible by 5.
Қалпына келтіру функциясы
Жалпы алғанда, табиғи сандардың A кіші жиынының элементтерімен ғана шектелген бөліктерді қарастыру мүмкін (мысалы, бөліктердің ең жоғары мәніне шектеу), немесе бөліктер санына, немесе бөліктер арасындағы ең үлкен айырмаға шектеу қоюға болады. Әрбір нақты шектеу, өзіне тән қасиеттері бар сәйкес бөлік функциясын тудырады. Ең көп тараған мысалдар төменде берілген.
Ойлер мен Глейшер теоремасы
Екі маңызды мысал — тек тақ бүтін сандардан немесе тек жұп бүтін сандардан тұратын бөлімдер, олардың сәйкес бөлім функциялары жиі және деп белгіленеді. Эйлердің теоремасы қатаң бөлімдердің саны, тек тақ сандардан тұратын бөлімдердің санына тең екенін көрсетеді: барлық n үшін. Бұл Глейшер теоремасымен жалпыланады, ол кез келген бөліктің қайталану саны d-ден аспаса, ондағы бөлімдердің саны, d-ға бөлінетін саны жоқ бөлімдердің санына тең болады.
A theorem from Euler shows that the number of strict partitions is equal to the number of partitions with only odd parts: for all n, This is generalized as Glaisher's theorem, which states that the number of partitions with no more than d 1 repetitions of any part is equal to the number of partitions with no part divisible by d.