Кіріспе
(az + b)/(cz + d) түріндегі рационалды функция. Геометрия және күрделі талдауда күрделі жазықтықтың Мёбиус түрлендіруі – z бір күрделі айнымалының рационалды функциясы; мұнда a, b, c, d коэффициенттері ad − bc ≠ 0 шартын қанағаттандыратын күрделі сандар болып табылады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, Мёбиус түрлендіруін жазықтықтан бірлік сфераға кері стереографиялық проекцияны қолдану арқылы, содан кейін сфераны кеңістіктегі жаңа орынға және бағдарға жылжыту және айналдыру арқылы, және түпкілікті сферадан жазықтыққа стереографиялық проекцияны қолдану арқылы алуға болады. Бұл түрлендірулер бұрыштарды сақтайды, кез келген түзу сызықты түзу сызыққа немесе шеңберге, ал кез келген шеңберді түзу сызыққа немесе шеңберге бейнелейді. Мёбиус түрлендірулері – күрделі проективті түзудің проективті түрлендірулері. Олар Мёбиус тобы деп аталатын топты құрайды, ол проективті сызықтық топ PGL(2, ℂ) болып табылады. Кіші топтарымен бірге, олар математика мен физикада көптеген қолданысқа ие. Мёбиус геометриясы және олардың түрлендірулері бұл жағдайды басқа өрістердегі кез келген өлшемге жалпылайды. Мёбиус түрлендірулері Август Фердинанд Мёбиус құрметіне аталған; олар гомографиялардың, сызықтық бөлшек түрлендірулердің, билинейрлік түрлендірулердің және спиндік түрлендірулердің (салыстырмалылық теориясында) мысалы болып табылады.
In geometry and complex analysis, a Möbius transformation of the complex plane is a rational function of the form
of one complex variable z; here the coefficients a, b, c, d are complex numbers satisfying ad − bc ≠ 0. Geometrically, a Möbius transformation can be obtained by first applying the inverse stereographic projection from the plane to the unit sphere, moving and rotating the sphere to a new location and orientation in space, and then applying a stereographic projection to map from the sphere back to the plane. These transformations preserve angles, map every straight line to a line or circle, and map every circle to a line or circle. The Möbius transformations are the projective transformations of the complex projective line. They form a group called the Möbius group, which is the projective linear group PGL(2, C). Together with its subgroups, it has numerous applications in mathematics and physics. Möbius geometries and their transformations generalize this case to any number of dimensions over other fields. Möbius transformations are named in honor of August Ferdinand Möbius; they are an example of homographies, linear fractional transformations, bilinear transformations, and spin transformations (in relativity theory).
Шолу
Мёбиус түрлендірулері кеңейтілген күрделі жазықтықта (яғни шексіз нүктемен толықтырылған күрделі жазықтықта) анықталады. Стереографиялық проекция оны сферамен сәйкестендіреді, бұл сфера Риман сферасы деп аталады; сондай-ақ, оны күрделі проекциялық түзу деп қарастыруға болады. Мёбиус түрлендірулері – Риман сферасынан өзіне биективті конформальды бейнелеулер, яғни Риман сферасының күрделі көптүрлілік ретіндегі автоморфизмдері; басқаша айтқанда, олар алгебралық санның автоморфизмдері. Сондықтан, барлық Мёбиус түрлендірулерінің жиыны құралым бойынша топты құрайды. Бұл топ Мёбиус тобы деп аталады және кейде белгіленеді. Мёбиус тобы гиперболалық 3 кеңістігінің бағдарды сақтайтын изометрияларының тобына изоморфты және демек, гиперболалық 3 көптүрліліктерді зерттеуде маңызды рөл атқарады. Физикада Лоренц тобының байланысты компоненті аспан сферасына Мёбиус тобының Риман сферасына әсер ететіндей әсер етеді. Шындығында, бұл екі топ изоморфты. Релятивистік жылдамдыққа дейін үдетілген бақылаушы Жерге жақын жердегі жұлдыздық шоқтардың суретін Мёбиус түрлендірулеріне сәйкес үздіксіз түрленетінін көреді. Бұл байқау көбінесе твистор теориясының бастапқы нүктесі ретінде алынады. Мёбиус тобының белгілі бір кіші топтары басқа жай байланысқан Риман беттерінің (кешенді жазықтық және гиперболалық жазықтық) автоморфизм топтарын құрайды. Осылайша, Мёбиус түрлендірулері Риман беттерінің теориясында маңызды рөл атқарады. Кез келген Риман бетінің негізгі тобы – Мёбиус тобының дискретті кіші тобы (Фукс тобы және Клейн тобы). Мёбиус тобының ерекше маңызды дискретті кіші тобы – модульдік топ; ол көптеген фракталдар, модульдік формалар, эллиптік қисықтар және Пель теңдеулері теориясының негізі болып табылады. Мёбиус түрлендірулерін n > 2 өлшемді кеңістіктерде n сферадан n сфераға бағдарды сақтайтын биективті конформальды бейнелеулер ретінде жалпылауға болады. Мұндай түрлендіру доменнің конформальды бейнелеуінің ең жалпы түрі болып табылады. Лиувилль теоремасына сәйкес, Мёбиус түрлендіруін аудармалардың, ұқсастықтардың, ортогональды түрлендірулердің және инверсиялардың құрамы ретінде беруге болады.
The Möbius group is isomorphic to the group of orientation preserving isometries of hyperbolic 3 space and therefore plays an important role when studying hyperbolic 3 manifolds. In physics, the identity component of the Lorentz group acts on the celestial sphere in the same way that the Möbius group acts on the Riemann sphere. In fact, these two groups are isomorphic. An observer who accelerates to relativistic velocities will see the pattern of constellations as seen near the Earth continuously transform according to infinitesimal Möbius transformations. This observation is often taken as the starting point of twistor theory. Certain subgroups of the Möbius group form the automorphism groups of the other simply connected Riemann surfaces (the complex plane and the hyperbolic plane). As such, Möbius transformations play an important role in the theory of Riemann surfaces. The fundamental group of every Riemann surface is a discrete subgroup of the Möbius group (see Fuchsian group and Kleinian group). A particularly important discrete subgroup of the Möbius group is the modular group; it is central to the theory of many fractals, modular forms, elliptic curves and Pellian equations. Möbius transformations can be more generally defined in spaces of dimension n > 2 as the bijective conformal orientation preserving maps from the n sphere to the n sphere. Such a transformation is the most general form of conformal mapping of a domain. According to Liouville's theorem a Möbius transformation can be expressed as a composition of translations, similarities, orthogonal transformations and inversions.
Белгілі нүктелер
Кез келген бірлік емес Мёбиус түрлендіруінің Риман сферасында екі түрақты нүктесі болады. Түрақты нүктелер көптігімен есептеледі; параболалық түрлендірулер – бұл түрақты нүктелердің бір-бірімен сәйкес келетін жағдайлар. Осы түрақты нүктелердің біреуі немесе екеуі де шексіздік нүктесі болуы мүмкін.
Элементарлық қасиеттері
Мёбиус түрлендіруі қарапайым түрлендірулер тізбегімен баламалы. Композиция Мёбиус түрлендіруінің көптеген қасиеттерін айқынды етеді.
Кері түрлендіру формуласы
Кері Мёбиус түрлендіруінің болуы және оның нақты формуласы, қарапайым түрлендірулердің кері функцияларының қосылуы арқылы оңай шығарылады. Яғни, әрбір gi функциясы fi функциясының керісі болатындай етіп g1, g2, g3, g4 функцияларын анықтаңыз. Одан кейін, осы қосылу кері түрлендіру үшін формула береді.
gives a formula for the inverse.
Бұрыштар мен жалпыланған шеңберлерді сақтау
Осы жіктеуден Мёбиус түрлендірулері шеңбердің инверсиясының барлық маңызды емес қасиеттерін сақтайтынын көреміз. Мысалы, бұрыштардың сақталуы мәселесі шеңбердің инверсиясы бұрыштарды сақтайтынын дәлелдеуге келтіріледі, себебі қалған түрлендірулер – бұрыштарды өте оңай сақтайтын кеңеюлер және изометриялар (қозғалыс, керісу, бұру) болып табылады. Сонымен қатар, Мёбиус түрлендірулері жалпыланған шеңберлерді жалпыланған шеңберлерге бейнелейді, өйткені шеңбердің инверсиясы осы қасиетке ие. Жалпыланған шеңбер – бұл шеңбер немесе түзу, екіншісі – шексіз нүкте арқылы өтетін шеңбер ретінде қарастырылады. Мёбиус түрлендіруінің шеңберлерді шеңберлерге, ал түзулерді түзулерге бейнелемейтінін ескеру керек: ол оларды араластыра алады. Тіпті егер ол бір шеңберді екінші шеңберге бейнелесе де, бірінші шеңбердің центрін екінші шеңбердің центріне бейнелемейді.
Кроссоралық қатынасты сақтау
Кросс-қатынастар Мёбиус түрлендірулерінде өзгермейді. Яғни, егер Мёбиус түрлендіруі төрт әртүрлі нүктені төрт әртүрлі нүктеге сәйкес түрде бейнелесе, онда:
Егер нүктелердің бірі шексіз нүкте болса, кросс-қатынас тиісті лимит алу арқылы анықталуы керек; мысалы, нүктенің кросс-қатынасы мынадай:
Төрт әртүрлі нүктенің кросс-қатынасы нақты сан болады, егер және тек қана олар бір түзу немесе шеңбер бойында жатса. Бұл Мёбиус түрлендірулерінің обобщаланған шеңберлерді сақтайтынын көрсетудің тағы бір тәсілі.
Қосылым
Екі нүкте z1 және z2 жалпыланған шеңбер C-ға қатысты конъюгат болып табылады, егер, z1 және z2 нүктелерінен өтетін және C-ні екі нүктеде – a және b нүктелерінде кесіп өтетін жалпыланған шеңбер D берілгенде, (z1, z2; a, b) нүктелері гармоникалық қима қатынаста болады (яғни олардың қима қатынасы -1-ге тең). Бұл қасиет D шеңберінің таңдалуына байланысты емес. Бұл қасиет кейде түзу немесе шеңберге қатысты симметриялық болу деп те аталады. Егер z және z* нүктелері түзуге қатысты симметриялық болса, олар сол түзуге қатысты конъюгат болып табылады. Егер екі нүкте шеңберге қатысты инверсия арқылы бір-бірімен алмасса, олар сол шеңберге қатысты конъюгат болады. z нүктесіне z* нүктесі конъюгат болады, егер L – z0 нүктесіндегі eiθ векторымен анықталатын түзу болса. Бұл нақты түрде былай көрсетілуі мүмкін: z нүктесіне z* нүктесі конъюгат, егер C – z0 центріндегі r радиусы бар шеңбер болса. Мёбиус түрлендірулері жалпыланған шеңберлерді және қима қатынастарды сақтайтындықтан, олар конъюгацияны да сақтайды.
The point z∗ is conjugate to z when C is the circle of a radius r, centered about z0. This can be explicitly given as
Since Möbius transformations preserve generalized circles and cross ratios, they also preserve the conjugation.
Риман сферасындағы Мёбиус түрлендіруіне баламалық
Жоғарыда көрсетілген матрицаның анықтағышы ad - bc нөлге тең болмаса ғана ол кері айналатындықтан, бұл Мёбиус түрлендірулері тобының әрекетін күрделі проективті түзуде PGL(2, C) әрекетімен сәйкестендіреді. Осы сәйкестендіруде жоғарыда көрсетілген матрица Мёбиус түрлендіруіне сәйкес келеді. Бұл сәйкестендіру топтық изоморфизм болып табылады, себебі нөлдік емес скалярға көбейту PGL(2, C) элементін өзгертпейді, ал мұндай көбейту матрицаның барлық элементтерін көбейтуден тұратындықтан, сәйкес Мёбиус түрлендіруі де өзгереді.
This identification is a group isomorphism, since the multiplication of by a non zero scalar does not change the element of PGL(2, C), and, as this multiplication consists of multiplying all matrix entries by this does not change the corresponding Möbius transformation.
Басқа топтар
Кез келген K өрісі үшін проективті сызықтық автоморфизмдердің PGL(2, K) тобын фракциялық сызықтық түрлендірулер тобымен сәйкес етуге болады. Бұл кеңінен қолданылады; мысалы, нақты түзудің гомографияларын зерттеуде және оптикадағы қолданыстарында. Егер оның анықтамасын квадрат түбіріне бөлсек, бірге анықтамасы бар матрица аламыз. Бұл SL(2, C) арнайы сызықтық тобынан PGL(2, C) тобына ядросы болып табылатын сюръективті топ гомоморфизмін тудырады. Бұл Мёбиус тобының 3 өлшемді кешенді Ли тобы (немесе 6 өлшемді нақты Ли тобы) екенін көрсетуге мүмкіндік береді, ол жартылай жай және шексіз емес, ал SL(2, C) – PSL(2, C) тобының екі еселі жабылуы. SL(2, C) жай байланысқандықтан, ол Мёбиус тобының әмбебап жабылуы болып табылады, ал Мёбиус тобының негізгі тобы Z2 болып табылады.
Үш нүктеге түрлендіруді анықтау
Риман сферасындағы үш өзгеше нүктелер жиыны және 1= w 1,w 2,w 3 өзгеше нүктелер жиыны берілгенде, дәл бір Мёбиус түрлендіруі болады, оған 1= j=1,2,3 үшін (басқаша айтқанда: Мёбиус тобының Риман сферасындағы әрекеті үштік транзитивті.) Берілген нүктелер жиындарынан оны анықтаудың бірнеше жолы бар.
Жіктеу
Келесі талқылауда біз әрқашан бейнелеу матрицасы нормаланған деп есептейміз, сондықтан 1= \det{\mathfrak{H} }=ad-bc=1. Бірдейлік трансформациясы емес Мёбиус трансформациялары әдетте төрт типке бөлінеді: параболалық, эллиптік, гиперболалық және локсодромалық, мұнда гиперболалық типтер локсодромалық типтердің кіші классы болып табылады. Классификация алгебралық және геометриялық маңызға ие. Геометриялық тұрғыдан алғанда, әр түрлі типтер кешен жазықтықтың әр түрлі трансформацияларына әкеледі, бұл төмендегі суреттерде көрсетілген. Төрт типті із бойынша ажыратуға болады. Із конъюгация кезінде өзгермейді, яғни конъюгация класының әрбір мүшесінің ізі бірдей болады. Кез келген Мёбиус трансформациясын оның бейнелеу матрицасының детерминанты бірге тең болатындай етіп жазуға болады (қажетті скалярмен элементтерін көбейту арқылы). Екі Мёбиус трансформациясы (екеуі де бірдейлік трансформациясына тең емес) олар конъюгацияланған жағдайда ғана конъюгацияланған болып саналады.
Non identity Möbius transformations are commonly classified into four types, parabolic, elliptic, hyperbolic and loxodromic, with the hyperbolic ones being a subclass of the loxodromic ones. The classification has both algebraic and geometric significance. Geometrically, the different types result in different transformations of the complex plane, as the figures below illustrate. The four types can be distinguished by looking at the trace The trace is invariant under conjugation, that is,
and so every member of a conjugacy class will have the same trace. Every Möbius transformation can be written such that its representing matrix has determinant one (by multiplying the entries with a suitable scalar). Two Möbius transformations (both not equal to the identity transform) with are conjugate if and only if
Локсодромалық түрлендірулер
Трансформация егер [0, 4] аралығында болмаса, локсодромалық деп аталады. Трансформация локсодромалық болып табылады, егер және тек егер. Тарихи тұрғыдан, локсодрома немесе румб сызығы бойынша навигация тұрақты бағытты сақтайтын жолға сілтеме жасайды; нәтижесінде пайда болатын жол логарифмдік спираль болып табылады, бұл формасы локсодромалық Мёбиус трансформациясы күрделі жазықтықта жасайтын трансформацияларға ұқсас. Төмендегі геометриялық суреттерді қараңыз.
Historically, navigation by loxodrome or rhumb line refers to a path of constant bearing; the resulting path is a logarithmic spiral, similar in shape to the transformations of the complex plane that a loxodromic Möbius transformation makes. See the geometric figures below.
Нақты жағдай және терминология туралы ескерту
Нақты сандар аясында (егер коэффициенттер нақты болуы тиіс болса), гиперболалық емес локсодромалық түрлендірулер жоқ, және жіктеме эллипстік, параболалық және гиперболалық болып бөлінеді, бұл нақты коникаларға тән. Бұл терминология түрлендірудің эксцентриситетін іздің абсолютті мәнінің жартысы, |tr|/2, деп қарастыруға байланысты – 2-ге бөлу өлшемді түзету үшін жасалады, сондықтан толық сәйкестіктің эксцентриситеті 1-ге тең (осы себепті ізге балама ретінде tr/n қолданылуы мүмкін), ал абсолюттік мән PSL-де жұмыс істеу кезінде ±1 көбейткішіне дейін анықталатын ізді түзетуге мүмкіндік береді. Балама ретінде, эксцентриситеттің квадратына шамамен іздің жартысының квадратын пайдалануға болады, бұл жоғарыда көрсетілгендей; бұл жіктемелер (бірақ нақты эксцентриситет мәндері емес, себебі квадраттау және абсолюттік мән әртүрлі) нақты іздер үшін сәйкес келеді, бірақ кешенді іздер үшін сәйкес келмейді. SL(2, R) элементтерін жіктеу үшін де осы терминология қолданылады (екі еселі жабу), және басқа да жерлерде ұқсас жіктемелер қолданылады. Локсодромалық түрлендірулер негізінен кешенді құбылыс болып табылады және кешенді эксцентриситеттерге сәйкес келеді.
Локсодромалық түрлендірулер
Егер ρ және α екеуі де нөлден өзгеше болса, онда түрлендіру локсодромалық деп аталады. Бұл түрлендірулер S пішінді жолдармен барлық нүктелерді бір тұрақты нүктеден екіншісіне жылжытады. "Локсодром" сөзі грек тілінен: "λοξος (loxos), көлбеу + δρόμος (dromos), бағыт". Тұрақты бағыт бойынша жүзіп бара жатқанда – егер сіз (мысалы) солтүстік-шығыс бағытын сақтап жүрсеңіз, ақырында солтүстік полюстің айналасын логарифмдік спираль бойынша айналып өтесіз. Меркатор проекциясында мұндай бағыт түзу сызық болып табылады, себебі солтүстік және оңтүстік полюстер шексіздікке проекцияланады. Локсодроманың бойлық сызықтарына қатысты құрайтын бұрышы (яғни оның еңістігі, спиральдің "қисықтығы") k аргументі болып табылады. Әрине, Мёбиус түрлендірулерінің екі тұрақты нүктесі тек солтүстік және оңтүстік полюстерде ғана емес, кез келген жерде орналасуы мүмкін. Бірақ кез келген локсодромалық түрлендіру осындай локсодромалар бойынша барлық нүктелерді жылжытатын түрлендіруге эквивалентті болады. Егер кез келген локсодромалық Мёбиус түрлендіруі тудырған бір параметрлік кіші топты алсақ, біз үздіксіз түрлендіруді аламыз, яғни кіші топтағы әрбір түрлендіру бірдей екі нүктені бекітеді. Барлық басқа нүктелер белгілі бір қисықтар бойымен, бірінші тұрақты нүктеден екінші тұрақты нүктеге қарай қозғалады. Гиперболалық жағдайдан айырмашылығы, бұл қисықтар дөңгелек доғалар емес, шардан жазықтыққа стереографиялық проекцияда спиральді қисықтар ретінде көрінеді, олар бір тұрақты нүктеде сағат тіліне қарсы бағытта шексіз көп рет бұрылады және екінші тұрақты нүктеде сағат тілімен шексіз көп рет бұрылады. Жалпы, екі тұрақты нүкте Риман сферасындағы кез келген екі әртүрлі нүкте болуы мүмкін. Егер екі тұрақты нүкте 0 және ∞ болса, онда физикалық мағынасын болжауға болады: бір осьтің айналасында тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналып, сонымен қатар сол ось бойымен қозғалатын бақылаушы түнгі аспанның көрінісін 0 және ∞ тұрақты нүктелері бар локсодромалық түрлендірулердің бір параметрлік кіші тобына сәйкес өзгергенін көреді, ал ρ және α нақты сызықтық және бұрыштық жылдамдықтардың шамасына сәйкес анықталады.
Трансформацияны қайталау
Егер трансформацияда γ1, γ2 бекітілген нүктелері және k сипаттамалық тұрақтысы болса, онда бұл трансформацияны итерациялауға немесе оны қадамдарға бөліп анимациялауға болады. Бұл суреттер әртүрлі сипаттамалық тұрақтылары бар трансформациялар астында үздіксіз итерацияланатын үш нүктені (қызыл, көк және қара) көрсетеді. Ал бұл суреттер гиперболалық, эллипстік және локсодромалық түрлендірулер арқылы шеңберді түрлендірген кезде не болатынын көрсетеді. Эллипстік және локсодромалық суреттерде α мәні 1/10-ға тең.
This can be used to iterate a transformation, or to animate one by breaking it up into steps. These images show three points (red, blue and black) continuously iterated under transformations with various characteristic constants. And these images demonstrate what happens when you transform a circle under Hyperbolic, Elliptical, and Loxodromic transforms. In the elliptical and loxodromic images, the value of α is 1/10.
Жоғары өлшемдер
Жоғары өлшемдерде Мёбиус түрлендіруі – 1= \overline{\mathbb R^n} гомеоморфизмі, 1= \mathbb R^n бір нүктелік тығыздалуы, ол сфералардағы инверсиялар мен гипержазықтықтағы көрістірулердің шекті композициясы болып табылады. Лиувилл теоремасы конформды геометрияда кемінде үш өлшемде барлық конформды түрлендірулер Мёбиус түрлендірулері екенін айтады. Кез келген Мёбиус түрлендіруін мына түрге келтіруге болады:
мұнда , , – ортогональды матрица, ал – 0 немесе 2. Мёбиус түрлендірулерінің тобы Мёбиус тобы деп те аталады. Бағдарды сақтайтын Мёбиус түрлендірулері Мёбиус тобындағы бірлікке байланысқан компонент құрайды. 1=n = 2 өлшемде бағдарды сақтайтын Мёбиус түрлендірулері осы жерде қарастырылған Риман сферасының бейнелеулерімен сәйкес келеді. Бағытты өзгертетіндер олардан комплекс конъюгация арқылы алынады. Мёбиус түрлендірулерінің анықталу облысы, яғни 1= \overline{\R^n}, n өлшемді сфераға гомеоморфты. Бұл екі кеңістіктің арасындағы канондық изоморфизм – Кейли түрлендіруі, ол өзі 1= \overline{\R^{n + 1} } Мёбиус түрлендіруі болып табылады. Бұл сәйкестік Мёбиус түрлендірулерін n сферасының конформды изоморфизмі ретінде қарастыруға мүмкіндік береді, ал Мёбиус тобының әрекеті Клейннің Эрланген бағдарламасы мағынасындағы Мёбиус геометриясы деп аталатын геометриялық құрылымды құрайды.
Гиперболалық кеңістік
Жоғарыда көрсетілгендей, Мёбиус тобы PSL(2, C) Минковский кеңістігінде бастау нүктесін, кеңістіктің бағытын және уақыт бағытын сақтайтын изометриялар тобы ретінде әрекет етеді. 1=Q=1 оң жарық конусындағы нүктелерді шектегенде, бұл нүктелер гиперболалық 3-кеңістік H-тің моделін құрайды, Мёбиус тобы H-де бағдарды сақтайтын изометриялар тобы ретінде әрекет ететінін көреміз. Шындығында, Мёбиус тобы гиперболалық 3-кеңістіктің бағдарды сақтайтын изометриялар тобымен тең. Егер біз Пуанкаре шар моделін пайдаланып, R3-тегі бірлік шарды H-мен сәйкестендірсек, онда Риман сферасын H-тің "конформдық шекарасы" деп қарастыруға болады. H-тің бағдарды сақтайтын әрбір изометриясы Риман сферасында Мёбиус түрлендіруін тудырады және керісінше.