Введение

Рациональная функция вида (az + b)/(cz + d).

В геометрии и комплексном анализе преобразование Мёбиуса комплексной плоскости — это рациональная функция вида

от одной комплексной переменной z, где коэффициенты a, b, c, d — комплексные числа, удовлетворяющие условию ad − bc ≠ 0. Геометрически преобразование Мёбиуса можно получить, сначала применив обратную стереографическую проекцию из плоскости на единичную сферу, перемещая и вращая сферу в новое положение и ориентацию в пространстве, а затем применив стереографическую проекцию для отображения сферы обратно в плоскость. Эти преобразования сохраняют углы, отображают каждую прямую линию в линию или окружность, и каждую окружность — в линию или окружность. Преобразования Мёбиуса являются проективными преобразованиями комплексной проективной прямой. Они образуют группу, называемую группой Мёбиуса, которая является проективной линейной группой PGL(2, ℂ). Вместе со своими подгруппами, они имеют многочисленные применения в математике и физике. Геометрии Мёбиуса и их преобразования обобщают этот случай на любое число измерений над другими полями. Преобразования Мёбиуса названы в честь Августа Фердинанда Мёбиуса и являются примером гомографий, линейных дробных преобразований, билинейных преобразований и спиновых преобразований (в теории относительности).

Обзор

Преобразования Мёбиуса определяются на расширенной комплексной плоскости (т. е. комплексной плоскости, дополненной точкой в бесконечности). Стереографическая проекция отождествляет её со сферой, которая затем называется сферой Римана; альтернативно, расширенную комплексную плоскость можно рассматривать как комплексную проективную линию. Преобразования Мёбиуса — это биективные конформные отображения сферы Римана на себя, то есть автоморфизмы сферы Римана как комплексного многообразия; альтернативно, они являются автоморфизмами расширенной комплексной плоскости как алгебраического многообразия. Поэтому множество всех преобразований Мёбиуса образует группу относительно композиции. Эта группа называется группой Мёбиуса и иногда обозначается . Группа Мёбиуса изоморфна группе сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства и, следовательно, играет важную роль при изучении гиперболических 3-многообразий. В физике единичный компонент группы Лоренца действует на небесную сферу так же, как группа Мёбиуса действует на сферу Римана. Фактически, эти две группы изоморфны. Наблюдатель, ускоряющийся до релятивистских скоростей, увидит, что картина созвездий, видимая вблизи Земли, непрерывно преобразуется в соответствии с бесконечно малыми преобразованиями Мёбиуса. Это наблюдение часто принимается за отправную точку теории твисторов. Определенные подгруппы группы Мёбиуса образуют группы автоморфизмов других односвязных поверхностей Римана (комплексной плоскости и гиперболической плоскости). Таким образом, преобразования Мёбиуса играют важную роль в теории поверхностей Римана. Фундаментальная группа каждой поверхности Римана является дискретной подгруппой группы Мёбиуса (см. группу Фукса и группу Клейна). Особенно важной дискретной подгруппой группы Мёбиуса является модульная группа; она играет центральную роль в теории многих фракталов, модульных форм, эллиптических кривых и уравнений Пелля. Преобразования Мёбиуса могут быть определены в более общем виде в пространствах размерности n > 2 как биективные конформные отображения, сохраняющие ориентацию, из n-сферы в n-сферу. Такое преобразование является наиболее общей формой конформного отображения области. Согласно теореме Лиувиля, преобразование Мёбиуса можно представить как композицию сдвигов, подобий, ортогональных преобразований и инверсий.

Фиксированные точки

Каждая нетождественная трансформация Мёбиуса имеет две фиксированные точки на сфере Римана. Фиксированные точки считаются с учётом кратности; параболические преобразования – это те, у которых фиксированные точки совпадают. Одна или обе из этих фиксированных точек могут быть точкой на бесконечности.

Элементарные свойства

Преобразование Мёбиуса эквивалентно последовательности более простых преобразований. Композиция выявляет многие свойства преобразования Мёбиуса.

Формула обратного преобразования

Существование обратного преобразования Мёбиуса и его явной формулы легко выводится из композиции обратных функций более простых преобразований. А именно, определим функции g1, g2, g3, g4 так, чтобы каждая gi была обратной к fi. Тогда композиция

дает формулу для обратного преобразования.

Сохранение углов и обобщенных кругов

Из этого разложения следует, что преобразования Мёбиуса наследуют все нетривиальные свойства инверсии круга. Например, доказательство сохранения углов сводится к доказательству сохранения углов при инверсии круга, поскольку остальные типы преобразований – это растяжения и изометрии (сдвиг, отражение, вращение), которые сохраняют углы по определению. Более того, преобразования Мёбиуса отображают обобщённые окружности в обобщённые окружности, так как инверсия круга обладает этим свойством. Обобщённая окружность – это либо окружность, либо прямая, причём последняя рассматривается как окружность, проходящая через точку на бесконечности. Следует отметить, что преобразование Мёбиуса не обязательно отображает окружности в окружности, а прямые в прямые: оно может переводить одни в другие. Даже если преобразование отображает окружность в другую окружность, оно не обязательно отображает центр первой окружности в центр второй окружности.

Сохранение поперечного соотношения

Поперечные отношения инвариантны относительно преобразований Мёбиуса. То есть, если преобразование Мёбиуса отображает четыре различные точки в четыре различные точки соответственно, то

Если одна из точек является точкой на бесконечности, то поперечное отношение должно быть определено как соответствующий предел; например, поперечное отношение для точек равно

Поперечное отношение четырех различных точек является вещественным тогда и только тогда, когда существует прямая или окружность, проходящая через эти точки. Это еще один способ показать, что преобразования Мёбиуса сохраняют обобщенные окружности.

Сочетание

Две точки z1 и z2 являются сопряжёнными относительно обобщённой окружности C, если, для любой обобщённой окружности D, проходящей через z1 и z2 и пересекающей C в двух точках a и b, четвёрка (z1, z2; a, b) образует гармоническое отношение (то есть их двойное отношение равно −1). Это свойство не зависит от выбора окружности D. Это свойство также иногда называют симметрией относительно прямой или окружности. Две точки z и z* являются сопряжёнными относительно прямой, если они симметричны относительно этой прямой. Две точки являются сопряжёнными относительно окружности, если они переходят друг в друга при инверсии относительно этой окружности. Точка z* является сопряжённой к z, когда L – прямая, определяемая вектором, исходящим из точки z0 и направленным на eiθ. Это можно явно выразить как:

Точка z* является сопряжённой к z, когда C – окружность радиуса r с центром в точке z0. Это можно явно выразить как:

Поскольку преобразования Мёбиуса сохраняют обобщённые окружности и двойные отношения, они также сохраняют сопряжённость.

Эквивалентность преобразования Мёбиуса на сфере Римана

Поскольку вышеуказанная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ad − bc не равен нулю, это устанавливает отождествление действия группы преобразований Мёбиуса с действием PGL(2, C) на комплексной проективной прямой. При этом отождествлении вышеуказанная матрица соответствует преобразованию Мёбиуса.

Это отождествление является групповым изоморфизмом, поскольку умножение на ненулевой скаляр не изменяет элемент PGL(2, C), и, поскольку такое умножение заключается в умножении всех элементов матрицы на этот скаляр, оно не изменяет соответствующее преобразование Мёбиуса.

Другие группы

Для любого поля K можно аналогичным образом отождествить группу PGL(2, K) проективных линейных автоморфизмов с группой дробно-линейных преобразований. Это широко используется, например, при изучении гомографий вещественной прямой и её применений в оптике. Если разделить на квадратный корень из её определителя, то получится матрица с определителем, равным единице. Это индуцирует сюръективный групповой гомоморфизм из специальной линейной группы SL(2, C) в PGL(2, C), ядром которого является . Это позволяет показать, что группа Мёбиуса является трехмерной комплексной группой Ли (или шестимерной вещественной группой Ли), которая является полупростой и некомпактной, и что SL(2, C) является двойным накрытием PSL(2, C). Поскольку SL(2, C) простосвязна, она является универсальным накрытием группы Мёбиуса, а фундаментальная группа группы Мёбиуса — Z2.

Указываю преобразование на три точки

При заданном множестве из трех различных точек на сфере Римана и втором множестве различных точек w₁, w₂, w₃, существует ровно одно преобразование Мёбиуса, такое что wⱼ = f(zⱼ) для j = 1, 2, 3. (Иными словами: действие группы Мёбиуса на сфере Римана является 3-транзитивным.) Существует несколько способов определения преобразования по заданным наборам точек.

Классификация

В дальнейшем обсуждении мы будем исходить из того, что представляющая матрица нормализована так, что 1 = det(mathfrak{H}) = ad – bc = 1. Нетождественные преобразования Мёбиуса обычно классифицируются на четыре типа: параболические, эллиптические, гиперболические и локсодромические, при этом гиперболические являются подклассом локсодромических. Эта классификация имеет как алгебраическое, так и геометрическое значение. Геометрически, различные типы приводят к различным преобразованиям комплексной плоскости, что иллюстрируется на рисунках ниже. Четыре типа можно различить по величине следа. След инвариантен относительно сопряжения, то есть

и, следовательно, каждый элемент класса сопряженности имеет один и тот же след. Любое преобразование Мёбиуса можно представить в виде матрицы с определителем, равным единице (путем умножения элементов матрицы на подходящий скаляр). Два преобразования Мёбиуса (оба отличные от тождественного) с det(mathfrak{H}) = 1 сопряжены тогда и только тогда, когда

Локсодромические трансформации

Трансформация считается локсодромической, если не принадлежит интервалу [0, 4]. Трансформация является локсодромической тогда и только тогда, когда … Исторически навигация по локсодроме или румбовой линии подразумевает путь с постоянным пеленгом; результирующий путь представляет собой логарифмическую спираль, форма которой аналогична трансформациям комплексной плоскости, производимым локсодромическим преобразованием Мёбиуса. См. геометрические фигуры, представленные ниже.

Реальный случай и примечание к терминологии

Над действительными числами (если коэффициенты должны быть действительными) не существует негиперболических локсодромических преобразований, и классификация состоит из эллиптических, параболических и гиперболических, как и для действительных конических сечений. Терминология связана с рассмотрением половины абсолютной величины следа, |tr|/2, как эксцентриситета преобразования – деление на 2 корректирует размерность, поэтому тождественное преобразование имеет эксцентриситет 1 (tr/n иногда используется как альтернатива следу по этой причине), а абсолютная величина корректирует тот факт, что след определен с точностью до множителя ±1 из-за работы в PSL. В качестве альтернативы можно использовать половину квадрата следа в качестве приближения к квадрату эксцентриситета, как было сделано выше; эти классификации (но не точные значения эксцентриситета, поскольку возведение в квадрат и взятие абсолютной величины – разные операции) согласуются для действительных следов, но не для комплексных следов. Та же терминология используется для классификации элементов SL(2, R) (двулистное накрытие), и аналогичные классификации применяются и в других случаях. Локсодромические преобразования являются по сути комплексным явлением и соответствуют комплексным эксцентриситетам.

Локсодромические преобразования

Если ρ и α отличны от нуля, то трансформация называется локсодромической. Эти преобразования, как правило, перемещают все точки по S-образным траекториям из одной фиксированной точки в другую. Слово "локсодром" происходит от греческого: "λοξος (loxos) – наклонный + δρόμος (dromos) – путь". При движении по постоянному курсу – если поддерживать направление, например, северо-восток, в конечном итоге можно оказаться плывущим вокруг северного полюса по логарифмической спирали. На проекции Меркатора такой курс является прямой линией, поскольку северный и южный полюса проецируются в бесконечность. Угол, под которым локсодром пересекает линии долготы (то есть его наклон, "крутизна" спирали), является аргументом k. Разумеется, преобразования Мёбиуса могут иметь свои две фиксированные точки в любом месте, а не только на северном и южном полюсах. Но любая локсодромическая трансформация сопряжена с преобразованием, которое перемещает все точки вдоль таких локсодромов. Если взять однопараметровую подгруппу, порожденную любой локсодромической трансформацией Мёбиуса, то получим непрерывное преобразование, при котором каждая трансформация в подгруппе фиксирует одни и те же две точки. Все остальные точки движутся по определенному семейству кривых, от первой фиксированной точки к второй фиксированной точке. В отличие от гиперболического случая, эти кривые не являются дугами окружностей, а определенными кривыми, которые при стереографической проекции со сферы на плоскость выглядят как спиральные кривые, бесконечно часто закручивающиеся против часовой стрелки вокруг одной фиксированной точки и бесконечно часто закручивающиеся по часовой стрелке вокруг другой фиксированной точки. В общем случае, две фиксированные точки могут быть любыми двумя различными точками на сфере Римана. Вероятно, вы можете догадаться о физической интерпретации в случае, когда две фиксированные точки равны 0 и ∞: наблюдатель, который одновременно вращается (с постоянной угловой скоростью) вокруг некоторой оси и движется вдоль этой оси, увидит, как вид ночного неба преобразуется в соответствии с однопараметровой подгруппой локсодромических преобразований с фиксированными точками 0 и ∞, а ρ и α определяются соответственно величинами фактической линейной и угловой скоростей.

Итерация преобразования

Если преобразование имеет фиксированные точки γ1, γ2 и характерную постоянную k, то будет иметь… Это может быть использовано для итерации преобразования или для его анимации, разбивая его на шаги. На этих изображениях показаны три точки (красная, синяя и черная), непрерывно итерируемые под воздействием преобразований с различными характерными константами. Эти изображения демонстрируют, что происходит при преобразовании круга в гиперболическом, эллиптическом и локсодромическом преобразованиях. На эллиптических и локсодромических изображениях значение α равно 1/10.

Более высокие размеры

В более высоких измерениях преобразование Мёбиуса является гомеоморфизмом 1= \overline{\mathbb R^n}, одноточечной компактификацией 1= \mathbb R^n, представляющей собой конечную композицию инверсий в сферах и отражений в гиперплоскостях. Теорема Лиувиля в конформной геометрии утверждает, что в размерности, большей или равной трем, все конформные преобразования являются преобразованиями Мёбиуса. Каждое преобразование Мёбиуса можно привести к виду

где , , является ортогональной матрицей, а равно 0 или 2. Группа преобразований Мёбиуса также называется группой Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса, сохраняющие ориентацию, образуют связную компоненту единицы в группе Мёбиуса. В размерности 1=n = 2 преобразования Мёбиуса, сохраняющие ориентацию, являются точно отображениями сферы Римана, рассмотренными здесь. Преобразования, меняющие ориентацию, получаются из них посредством комплексного сопряжения. Область определения преобразований Мёбиуса, то есть 1= \overline{\R^n}, гомеоморфна n-мерной сфере. Канонический изоморфизм между этими двумя пространствами — это преобразование Кэйли, которое само по себе является преобразованием Мёбиуса 1= \overline{\R^{n + 1} }. Эта идентификация означает, что преобразования Мёбиуса также можно рассматривать как конформные изоморфизмы n-мерной сферы, а вместе с действием группы Мёбиуса они образуют геометрическую структуру (в смысле программы Эрлангена Кляйна), называемую геометрией Мёбиуса.

Гиперболическое пространство

Как видно выше, группа Мёбиуса PSL(2, C) действует на пространство Минковского как группа изометрий, сохраняющих начало координат, ориентацию пространства и направление времени. Ограничиваясь точками, где Q = 1 в положительном световом конусе, которые образуют модель гиперболического пространства H³, мы видим, что группа Мёбиуса действует на H³ как группа изометрий, сохраняющих ориентацию. Фактически, группа Мёбиуса совпадает с группой изометрий, сохраняющих ориентацию, гиперболического пространства H³. Если мы используем модель шара Пуанкаре, отождествляя единичный шар в R³ с H³, то мы можем рассматривать сферу Римана как "конформную границу" H³. Каждая изометрия H³, сохраняющая ориентацию, порождает преобразование Мёбиуса на сфере Римана, и наоборот.