Санның маңызды таңбалары

Кіріспе

Кез келген санның өлшемнің шешіміндегі кез келген цифры, нақты емес цифрларға қарамастан.

Маңызды цифрлар, сондай-ақ маңызды цифрлар немесе сиг фиг деп аталады, позициялық белгіде жазылған санның ішінде белгілі бір шаманы жеткізуде сенімділік пен қажеттілікті қамтитын нақты цифрлар. Өлшем нәтижелерін (мысалы, ұзындығы, қысымы, көлемі немесе массасы) көрсету кезінде, егер сандар саны өлшеу құралының шеше алатын мөлшерінен асып кетсе, тек қана шеше алатын сандар саны сенімді болып табылады және сондықтан маңызды деп саналады. Мысалы, егер ұзындықты өлшеу 1 мм-дегі белгілер арасындағы ең кіші арақашықтығы бар биліктегімен 114,8 мм болса, алғашқы үш цифр (1, 1 және 4, 114 мм-ді білдіреді) нақты және маңызды сандар болып табылады. Сонымен қатар, белгісіз, бірақ мәнді цифрлар да маңызды сандарға кіреді. Бұл мысалда соңғы цифр (8-і 0,8 мм-ге тең) де белгісіздігіне қарамастан маңызды болып саналады. Сондықтан бұл өлшемде төрт маңызды сан бар. Тағы бір мысал: көлемі 2,98 л, ± 0,05 л белгісіздікпен өлшенді. Нақты көлем 2,93 л мен 3,03 л аралығында болады. Кейбір цифрлар толық белгісіз болса да, егер олар мәнді болса, олар әлі де маңызды, өйткені олар нақты көлемді белгісіздіктің қолайлы диапазонында көрсетеді. Бұл жағдайда нақты көлем 2,94 л немесе 3,02 л болуы мүмкін, сондықтан барлық үш цифр маңызды болып саналады. Алдыңғы нөлдер. Мысалы, 013 кг екі маңызды санға ие, ал алдыңғы нөлдің маңызы жоқ, өйткені ол массаны көрсетуге әсер етпейді; 013 кг 13 кг-ға тең, сондықтан нөлдің қажеті жоқ. Сол сияқты, 0,056 м жағдайда екі маңызды емес алдыңғы нөлдер бар, өйткені 0,056 м 56 мм-ге тең, сондықтан алдыңғы нөлдер ұзындықты көрсетуге ықпал етпейді. 1500 м өлшеуде, егер олар тек ондықтар мен бірліктер үшін тұрса, соңғы нөлдер маңызды емес (өлшеу ажыратылуы 100 м деп есептейміз). Бұл жағдайда 1500 м 1500 м нақты мәнінің орнына ұзындығы шамамен 1500 м екенін көрсетеді. Бастапқы деректерге қарағанда жоғары дәлдікті немесе аспаптың ажыратылымынан жоғары дәлдікті қамтамасыз ететін есептеулерден туындайтын жалған цифрлар. Ондық саннан кейінгі нөлдің мәні бар (мысалы, 1,0) және мұндай ондық санды нөлден кейін қосу кезінде абай болу керек. Осылайша, 1.0 жағдайында екі маңызды сан бар, ал 1 (ондықсыз) бір маңызды санға ие. Санның маңызды цифрларының ішіндегі ең маңызды цифр - ең үлкен экспонент мәні бар цифр (сол жақтағы ең маңызды цифр / цифр), ал ең аз маңызды цифр - ең төменгі экспонент мәні бар цифр (оң жақтағы ең маңызды цифр / цифр). Мысалы, "123" санының "1" саны ең маңызды сан, ол жүзді (102) білдіреді, ал "3" саны ең аз маңызды сан, ол бірді (100) білдіреді. Дұрыс емес дәлдігін білдірмеу үшін сандар жиі дөңгелектенеді. Мысалы, өлшеу құралы тек ең жақын граммға (0,001 кг) дәлдік беретін болса, өлшеуді 12,34525 кг деп көрсету қате дәлдік тудырады. Бұл жағдайда маңызды сандар сол жақтан ең төменгі саннан бастап алғашқы бес сан (1, 2, 3, 4 және 5) болып табылады, ал сан осы маңызды сандарға дөңгелектенеді, нәтижесінде 12,345 кг нақты мән болады. Дөңгелектеу қатесі (осы мысалда 0,00025 кг = 0,25 г) сандық ажыратылысты немесе дәлдікті шамалайды. Сандар, сонымен қатар, қарапайымдылық үшін дөңгелектендірілуі мүмкін, бірақ өлшеу дәлдігін көрсету үшін міндетті емес, мысалы, жаңалықтарды таратудың тиімділігі үшін. Маңыздылық арифметикасы есептеулер арқылы маңыздылықты сақтау үшін шамамен есептелген ережелердің жиынтығын қамтиды. Алдыға қарай ғылыми ережелерді белгісіздіктің таралуы деп атайды. Төменде радикс 10 (негізгі 10, ондық сандар) деп есептеледі. (Бұл ұғымдарды басқа негіздерге қолдану үшін соңғы бөлімді қараңыз.)

Significant figures, also referred to as significant digits or sig figs, are specific digits within a number written in positional notation that carry both reliability and necessity in conveying a particular quantity. When presenting the outcome of a measurement (such as length, pressure, volume, or mass), if the number of digits exceeds what the measurement instrument can resolve, only the number of digits within the resolution's capability are dependable and therefore considered significant. For instance, if a length measurement yields 114.8 mm, using a ruler with the smallest interval between marks at 1 mm, the first three digits (1, 1, and 4, representing 114 mm) are certain and constitute significant figures. Further, digits that are uncertain yet meaningful are also included in the significant figures. In this example, the last digit (8, contributing 0.8 mm) is likewise considered significant despite its uncertainty. Therefore, this measurement contains four significant figures. Another example involves a volume measurement of 2.98 L with an uncertainty of ± 0.05 L. The actual volume falls between 2.93 L and 3.03 L. Even if certain digits are not completely known, they are still significant if they are meaningful, as they indicate the actual volume within an acceptable range of uncertainty. In this case, the actual volume might be 2.94 L or possibly 3.02 L, so all three digits are considered significant. Leading zeros. For instance, 013 kg has two significant figures—1 and 3—while the leading zero is insignificant since it does not impact the mass indication; 013 kg is equivalent to 13 kg, rendering the zero unnecessary. Similarly, in the case of 0.056 m, there are two insignificant leading zeros since 0.056 m is the same as 56 mm, thus the leading zeros do not contribute to the length indication. Trailing zeros when they serve as placeholders. In the measurement 1500 m, the trailing zeros are insignificant if they simply stand for the tens and ones places (assuming the measurement resolution is 100 m). In this instance, 1500 m indicates the length is approximately 1500 m rather than an exact value of 1500 m.
Spurious digits that arise from calculations resulting in a higher precision than the original data or a measurement reported with greater precision than the instrument's resolution. A zero after a decimal (e. g., 1.0) is significant, and care should be used when appending such a decimal of zero. Thus, in the case of 1.0, there are two significant figures, whereas 1 (without a decimal) has one significant figure. Among a number's significant digits, the most significant digit is the one with the greatest exponent value (the leftmost significant digit/figure), while the least significant digit is the one with the lowest exponent value (the rightmost significant digit/figure). For example, in the number "123" the "1" is the most significant digit, representing hundreds (102), while the "3" is the least significant digit, representing ones (100). To avoid conveying a misleading level of precision, numbers are often rounded. For instance, it would create false precision to present a measurement as 12.34525 kg when the measuring instrument only provides accuracy to the nearest gram (0.001 kg). In this case, the significant figures are the first five digits (1, 2, 3, 4, and 5) from the leftmost digit, and the number should be rounded to these significant figures, resulting in 12.345 kg as the accurate value. The rounding error (in this example, 0.00025 kg = 0.25 g) approximates the numerical resolution or precision. Numbers can also be rounded for simplicity, not necessarily to indicate measurement precision, such as for the sake of expediency in news broadcasts. Significance arithmetic encompasses a set of approximate rules for preserving significance through calculations. More advanced scientific rules are known as the propagation of uncertainty. Radix 10 (base 10, decimal numbers) is assumed in the following. (See unit in the last place for extending these concepts to other bases.)

Бір сандағы маңызды сандарды анықтау ережесі

Санның маңызды цифрларын анықтау үшін қай цифрлардың маңызды екенін білу керек, бұл санның өлшенетін, алынатын немесе өңделетін дәлдігін білуді талап етеді. Мысалы, ең кішкентай өлшенетін масса 0,001 г болса, онда 0,00234 г ретінде берілген өлшемде "4" пайдалы емес және оны тастау керек, ал "3" пайдалы және оны жиі сақтау керек. Берілген өлшеу немесе хабарлау дәлдігіндегі нөлден басқа цифрлар маңызды болып табылады. 91 екі маңызды цифрға ие (9 және 1), егер олар өлшеуге рұқсат етілген цифрлар болса. 123.45 сандары өлшеу дәлдігі шегінде болса, онда бес маңызды цифр (1, 2, 3, 4 және 5) болады. Егер дәлдігі 0,1 болса, онда 5 деген сан 4 маңызды цифрдың нақты мәні 123,4 немесе 123,5 болуы мүмкін екенін көрсетеді. Екі маңызды нөлдік емес цифрлар арасындағы нөлдер маңызды (маңызды тұтқынға алынған нөлдер). 101.12003 егерде дәлдігі 0,00001 болса, онда сегіз маңызды цифрдан тұрады. 125.340006 - егер дәлдігі 0,0001 болса, онда жеті маңызды цифр бар: 1, 2, 5, 3, 4, 0 және 0. Бірінші нөлден басқа цифрдың сол жағындағы нөлдер (бастапқы нөлдер) маңызды емес. Егер ұзындық өлшеуіш 0,052 км берсе, онда 0,052 км = 52 м, сондықтан 5 және 2 ғана маңызды; бастапқы нөлдер қай бірлікті қолданғанына байланысты пайда болады немесе жоғалады, сондықтан олар өлшеу шкаласын көрсету үшін қажет емес. 0,00034 - егер дәлдігі 0,00001 болса, онда 2 маңызды цифр (3 және 4). Ондық нүктесі бар санның соңғы нөлден басқа цифрдың оң жағындағы нөлдер (соңғы нөлдер) егер олар өлшеу немесе хабарлау дәлдігінде болса, маңызды болып табылады. 1.200-де төрт маңызды цифр (1, 2, 0, 0) болады, егер оларды өлшеу дәлдігі рұқсат етсе. 0,0980 - өлшемдік дәлдігіне сәйкес келетін үш маңызды цифр (9, 8 және соңғы нөл). 120.000 алты маңызды цифрдан тұрады (1, 2, және одан кейінгі төрт нөл) егер олар бұрынғыдай өлшем дәлдігінде болса. Санның соңғы нөлдері өлшеу немесе хабарлау қасиетіне байланысты маңызды болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. 45,600 санының 3, 4 немесе 5 маңызды цифрлары соңғы нөлдерді қалай пайдаланғанына байланысты. Мысалы, егер жолдың ұзындығы 45600 м деп есептелсе, онда оның ұзындығы 45600 м деп нақты өлшеніп, немесе бұл шамамен болжам болып табылатыны анық емес. Егер бұл шамамен есептелсе, онда нөлден басқа алғашқы үш цифр ғана маңызды, өйткені соңғы нөлдер сенімді де, қажетті де емес; 45600 м ғылыми жазуда 45,6 км немесе 4,56 × 104 м ретінде білдірілуі мүмкін және ешбір өрнекте соңғы нөлдер қажет емес. Дәл санның маңызды цифрларының саны шексіз. Егер бір қаптағы алма саны 4 болса (нақты саны), онда бұл сан 4.0000 (ондық нүктеден оң жақта шексіз нөлдермен). Нәтижесінде, 4 онымен есептер нәтижесіне келетін маңызды цифрлар немесе цифрлар санына әсер етпейді. Математикалық немесе физикалық тұрақтының белгілі цифрларына маңызды цифрлары болады. π - бірнеше бірдей анықтамасы бар нақты сан. Оның нақты ондық кеңейтуіндегі барлық цифрлар 3.14159265358979323 маңызды. Бұл цифрлардың көптеген қасиеттері белгілі болғанымен, мысалы, олар қайталанбайды, өйткені π иррационалды, барлық цифрлар белгілі емес. 2024 жылдың наурызына дейін 102 триллионнан астам цифрлар есептелді. 102 триллион цифрлық шамалауда 102 триллион маңызды цифр бар. Нақты жағдайда цифрлар әлдеқайда аз қолданылады. Күнделікті 3.14 шамасында үш маңызды цифр және 7 дұрыс екілік сан бар. 22/7 шамасында бірдей үш дұрыс ондық сан бар, бірақ 10 дұрыс екілік сан бар. Көптеген калькуляторлар мен компьютерлік бағдарламалар 3.141592653589793 16 сандық кеңейтуді шеше алады, бұл планетааралық навигациялық есептеулер үшін жеткілікті. Планк тұрақтысы нақты мән ретінде анықталады және ол дұрыс анықталады.

Identifying the significant figures in a number requires knowing which digits are meaningful, which requires knowing the resolution with which the number is measured, obtained, or processed. For example, if the measurable smallest mass is 0.001 g, then in a measurement given as 0.00234 g the "4" is not useful and should be discarded, while the "3" is useful and should often be retained. Non zero digits within the given measurement or reporting resolution are significant. 91 has two significant figures (9 and 1) if they are measurement allowed digits. 123.45 has five significant digits (1, 2, 3, 4 and 5) if they are within the measurement resolution. If the resolution is, say, 0.1, then the 5 shows that the true value to 4 sig figs is equally likely to be 123.4 or 123.5. Zeros between two significant non zero digits are significant (significant trapped zeros). 101.12003 consists of eight significant figures if the resolution is to 0.00001. 125.340006 has seven significant figures if the resolution is to 0.0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0, and 0. Zeros to the left of the first non zero digit (leading zeros) are not significant. If a length measurement gives 0.052 km, then 0.052 km = 52 m so 5 and 2 are only significant; the leading zeros appear or disappear, depending on which unit is used, so they are not necessary to indicate the measurement scale. 0.00034 has 2 significant figures (3 and 4) if the resolution is 0.00001. Zeros to the right of the last non zero digit (trailing zeros) in a number with the decimal point are significant if they are within the measurement or reporting resolution. 1.200 has four significant figures (1, 2, 0, and 0) if they are allowed by the measurement resolution. 0.0980 has three significant digits (9, 8, and the last zero) if they are within the measurement resolution. 120.000 consists of six significant figures (1, 2, and the four subsequent zeroes) if, as before, they are within the measurement resolution. Trailing zeros in an integer may or may not be significant, depending on the measurement or reporting resolution. 45,600 has 3, 4 or 5 significant figures depending on how the last zeros are used. For example, if the length of a road is reported as 45600 m without information about the reporting or measurement resolution, then it is not clear if the road length is precisely measured as 45600 m or if it is a rough estimate. If it is the rough estimation, then only the first three non zero digits are significant since the trailing zeros are neither reliable nor necessary; 45600 m can be expressed as 45.6 km or as 4.56 × 104 m in scientific notation, and neither expression requires the trailing zeros. An exact number has an infinite number of significant figures. If the number of apples in a bag is 4 (exact number), then this number is 4.0000 (with infinite trailing zeros to the right of the decimal point). As a result, 4 does not impact the number of significant figures or digits in the result of calculations with it. A mathematical or physical constant has significant figures to its known digits. π is a specific real number with several equivalent definitions. All of the digits in its exact decimal expansion 3.14159265358979323 are significant. Although many properties of these digits are known — for example, they do not repeat, because π is irrational — not all of the digits are known. As of March 2024, more than 102 trillion digits have been calculated. A 102 trillion digit approximation has 102 trillion significant digits. In practical applications, far fewer digits are used. The everyday approximation 3.14 has three significant figures and 7 correct binary digits. The approximation 22/7 has the same three correct decimal digits but has 10 correct binary digits. Most calculators and computer programs can handle the 16 digit expansion 3.141592653589793, which is sufficient for interplanetary navigation calculations. The Planck constant is and is defined as an exact value so that it is more properly defined as .

Белсенді белгісіздік

Егер соңғы маңызды сан тікелей көрсетілмесе, ол белгісіздікті білдіруі мүмкін. Мысалы,
1.234 × 2 = 0.468 ≈ 2
1.234 × 2.0 = 2.68 ≈ 2.5
0.01234 × 2 = 0.0468 ≈ 0.02
бір, екі және бір маңызды санға дейін дөңгеленген. (Бұл жерде 2-нің нақты сан емес екені ескеріледі). Бірінші мысал үшін, бірінші көбейту коэффициентінде төрт маңызды сан бар, ал екіншісінде – бір маңызды сан. Ең аз маңызды санға ие фактор – тек бір маңызды саны бар екінші фактор, сондықтан соңғы есептелген нәтижеде де бір маңызды сан болуы керек.

Ерекшелік

Бірлікті аудару кезінде, егер осы дөңгелектеу ережесі сақталса, нәтижедегі шамаланған қате алдыңғы бірліктегіден қанағаттандырмас деңгейде жоғары болуы мүмкін; мысалы, 8 дюймнің шамаланған қатесі ±0,5 дюйм = ±1,27 см. Егер ол сантиметрге аударылып, көбейту және бөлуге арналған дөңгелектеу ережесі қолданылса, онда 0,32 см ≈ 20 см, шамаланған қатесі ±5 см болады. Егер бұл шамаланған қате тым жоғары деп есептелсе, бірлік аудару нәтижесіндегі дұрыс маңызды цифрлар 2,32 см ≈ 20 см болуы мүмкін, бұл ±0,5 см шамаланған қатемен. Жоғарыдағы дөңгелектеу ережесін қолданудың тағы бір ерекше жағдайы – санды бүтін санға көбейту, мысалы, 1,234 × 9. Егер аталған ереже сақталса, нәтиже 1,234 × 9,000 = 11,16 ≈ 11,11 болып дөңгелектеледі. Дегенмен, бұл көбейту іс жүзінде 1,234 санын өзіне 9 рет қосуға тең, яғни 1,234 + 1,234 + ... + 1,234. Сондықтан, төменде сипатталған қосу және алуға арналған дөңгелектеу ережесі дұрыс дөңгелектеу тәсілі болып табылады. Нәтижесінде, соңғы жауап 1,234 + 1,234 + ... + 1,234 = 11,10 = 11,106 (бір маңызды цифрдың артуы).

Логарифм және антилогарифм

Нормалдастырылған санның 10-дық логарифмі (яғни, a × 10b, мұнда 1 ≤ a < 10 және b – бүтін сан) ондық бөлігіне (мантисса деп аталады) дейін дөңгелектенеді, осылайша мантиссаның маңызды цифрлары нормалдастырылған санның маңызды цифрларымен бірдей болады. log10(3.000 × 104) = log10(104) + log10(3.000) = 4.000000 (нақты сан, сондықтан маңызды цифрлары шексіз) + 0.477212547 = 4.477212547 ≈ 4.4771. Нормалдастырылған санның антилогарифмін есептегенде, нәтиже антилогарифтелетін санның ондық бөлігіндегі маңызды цифрлар санына сәйкес дөңгелектенеді. 104.4771 = 2998.5318119 ≈ 30000 = 3.000 × 104.

Тек қана түпкілікті есептеу нәтижесі бойынша дөңгелектеу

Бірнеше кезеңді есептеулерді орындағанда, аралық кезеңдердің есептеу нәтижелерін дөңгелетпеңіз; жинақталған дөңгелету қателіктеріне жол бермеу үшін, әрбір аралық нәтижедегі маңызды цифрларды қадағалау немесе тіркеу кезінде, барлық есептеулер аяқталғанға дейін мүмкіндігінше көп цифрды (әр кезең үшін дөңгелету ережесіне қарағанда кем дегенде бір цифр артық) сақтаңыз. Содан кейін, соңғы нәтижені, мысалы, соңғы есептеудегі кіріс мәндері арасындағы ең аз маңызды цифрлар санына (көбейту немесе бөлу үшін) немесе соңғы маңызды цифрдың ең сол жақ орнына (қосу немесе алу үшін) дейін дөңгелетіңіз. (2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.694 × 1.2 = 4.3328 ≈ 4.4. (2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15943 + 1.2 = 4.59943 ≈ 4.4.

Қосымша санның бағасы

Билеушіні пайдаланғанда, бастапқыда ең кіші белгіні бірінші бағаланған сан ретінде қолдану керек. Мысалы, егер билеушінің ең кіші белгісі 0,1 см болса және 4,5 см оқылса, онда нәтиже 4,5 (±0,1 см) немесе ең кіші белгі аралығы бойынша 4,4 см-ден 4,6 см-ге дейін болады. Дегенмен, практикада өлшеуді көзбен, билеушінің ең кіші белгісі аралығынан да жақынрақ бағалауға болады. Мысалы, жоғарыдағы жағдайда, оны 4,51 см мен 4,53 см аралығында деп бағалауға болады. Сондай-ақ, билеушінің жалпы ұзындығы ең кіші белгінің дәлдігіне сай келмеуі мүмкін, ал белгілер әрбір бірлікте мінсіз орналаспауы да мүмкін. Бірақ, сапалы билеуші болған жағдайда, ең жақын екі белгі арасындағы ондықтарды бағалау арқылы қосымша ондық разрядқа қол жеткізуге болады. Мұны жасаудан бас тартса, билеушіні оқу қатесі, билеушінің калибрлену қатесіне қосылады.

Статистикалық бағалау

Халықта белгілі бір ерекшелікке ие адамдардың үлесін бағалау кезінде, сол халықтың кездейсоқ алынған үлгісінен есептелген маңызды цифрлардың саны, осы үлгінің мөлшерімен шектелген ең жоғары дәлдіктен аспауы керек.

Өлшеудегі дәлдік пен дәлдікпен байланысы

Дәстүрлі түрде, әртүрлі техникалық салаларда "дәлдік" дегеніміз – берілген өлшемнің нақты мәніне қаншалықты жақын екендігін білдіреді; ал "қатаңдық" – сол өлшемнің көп рет қайталанғанда қаншалықты тұрақты екендігін көрсетеді. Осылайша, "қатеге қатаң" болу мүмкін. Ғылыми қауымда "дәлдік" терминінің нақты қолданылуын көрсету мақсатында, жақындағы ISO 5725 стандарты қатаңдықтың бұрынғы анықтамасын сақтайды, бірақ "шындыққа жақындық" терминін берілген өлшемнің нақты мәніне жақындығы ретінде анықтайды және "дәлдік" терминін шындыққа жақындық пен қатаңдықтың үйлесімі ретінде пайдаланады. (Толық ақпарат алу үшін дәлдік және қатаңдық туралы мақалаға қараңыз.) Екі жағдайда да маңызды цифрлардың саны қатаңдыққа сәйкес келеді, дәлдікке немесе жаңа түсінікке сәйкес келмейді.