Значимые цифры и правила их определения

Введение

Любая цифра числа в пределах его разрешения измерения, в отличие от ложных цифр. Значимые цифры, также называемые значимыми цифрами или сиг-фигами, – это конкретные цифры в числе, записанном в позиционной системе счисления, которые несут как достоверность, так и необходимость в передаче определенного значения. При представлении результата измерения (например, длины, давления, объема или массы), если количество цифр превышает возможности разрешения измерительного прибора, только цифры в пределах этого разрешения являются надежными и, следовательно, считаются значимыми. Например, если измерение длины дает 114,8 мм, а линейка имеет наименьший интервал между делениями в 1 мм, первые три цифры (1, 1 и 4, представляющие 114 мм) являются определенными и составляют значимые цифры. Кроме того, в значимые цифры включаются и неопределенные, но имеющие значение цифры. В этом примере последняя цифра (8, вносящая вклад 0,8 мм) также считается значимой, несмотря на ее неопределенность. Таким образом, в этом измерении содержится четыре значимые цифры. Другой пример – измерение объема 2,98 л с неопределенностью ± 0,05 л. Фактический объем находится в диапазоне от 2,93 л до 3,03 л. Даже если некоторые цифры не известны точно, они все равно являются значимыми, если несут информацию, поскольку указывают на фактический объем в пределах допустимого диапазона неопределенности. В этом случае фактический объем может быть 2,94 л или, возможно, 3,02 л, поэтому все три цифры считаются значимыми. Ведущие нули. Например, 013 кг имеет две значимые цифры – 1 и 3, в то время как ведущий ноль незначим, поскольку он не влияет на указание массы; 013 кг эквивалентно 13 кг, что делает ноль излишним. Аналогично, в случае 0,056 м, есть два незначимых ведущих нуля, поскольку 0,056 м равно 56 мм, таким образом, ведущие нули не вносят вклад в указание длины. Завершающие нули, используемые в качестве заполнителей. В измерении 1500 м завершающие нули незначимы, если они просто обозначают разряды десятков и единиц (при условии, что разрешение измерения составляет 100 м). В этом случае 1500 м указывает на то, что длина приблизительно равна 1500 м, а не на точное значение 1500 м. Ложные цифры, возникающие в результате вычислений, приводящих к более высокой точности, чем исходные данные, или измерения, представленные с большей точностью, чем разрешение прибора. Нуль после десятичной запятой (например, 1,0) является значимым, и следует соблюдать осторожность при добавлении такой десятичной дроби с нулем. Таким образом, в случае 1,0 имеется две значимые цифры, тогда как 1 (без десятичной запятой) имеет одну значимую цифру. Среди значимых цифр числа наиболее значимая цифра – это цифра с наибольшим показателем степени (крайняя левая значимая цифра), а наименее значимая цифра – это цифра с наименьшим показателем степени (крайняя правая значимая цифра). Например, в числе "123" "1" является наиболее значимой цифрой, представляющей сотни (10²), в то время как "3" является наименее значимой цифрой, представляющей единицы (10⁰). Чтобы избежать передачи вводящего в заблуждение уровня точности, числа часто округляются. Например, представление измерения как 12,34525 кг, когда измерительный прибор обеспечивает точность только до ближайшего грамма (0,001 кг), создаст ложную точность. В этом случае значимыми являются первые пять цифр (1, 2, 3, 4 и 5) от самой левой цифры, и число должно быть округлено до этих значимых цифр, в результате чего получится 12,345 кг как точное значение. Ошибка округления (в этом примере 0,00025 кг = 0,25 г) приближает числовое разрешение или точность. Числа также могут быть округлены для упрощения, не обязательно для указания точности измерения, например, для оперативности в новостных репортажах. Арифметика значимых цифр включает в себя набор приближенных правил для сохранения значимости при вычислениях. Более продвинутые научные правила известны как распространение неопределенностей. В дальнейшем предполагается система счисления с основанием 10 (десятичные числа). (См. раздел о единицах измерения в конце для расширения этих понятий на другие системы счисления.)

Any digit of a number within its measurement resolution, as opposed to spurious digits

Significant figures, also referred to as significant digits or sig figs, are specific digits within a number written in positional notation that carry both reliability and necessity in conveying a particular quantity. When presenting the outcome of a measurement (such as length, pressure, volume, or mass), if the number of digits exceeds what the measurement instrument can resolve, only the number of digits within the resolution's capability are dependable and therefore considered significant. For instance, if a length measurement yields 114.8 mm, using a ruler with the smallest interval between marks at 1 mm, the first three digits (1, 1, and 4, representing 114 mm) are certain and constitute significant figures. Further, digits that are uncertain yet meaningful are also included in the significant figures. In this example, the last digit (8, contributing 0.8 mm) is likewise considered significant despite its uncertainty. Therefore, this measurement contains four significant figures. Another example involves a volume measurement of 2.98 L with an uncertainty of ± 0.05 L. The actual volume falls between 2.93 L and 3.03 L. Even if certain digits are not completely known, they are still significant if they are meaningful, as they indicate the actual volume within an acceptable range of uncertainty. In this case, the actual volume might be 2.94 L or possibly 3.02 L, so all three digits are considered significant. Leading zeros. For instance, 013 kg has two significant figures—1 and 3—while the leading zero is insignificant since it does not impact the mass indication; 013 kg is equivalent to 13 kg, rendering the zero unnecessary. Similarly, in the case of 0.056 m, there are two insignificant leading zeros since 0.056 m is the same as 56 mm, thus the leading zeros do not contribute to the length indication. Trailing zeros when they serve as placeholders. In the measurement 1500 m, the trailing zeros are insignificant if they simply stand for the tens and ones places (assuming the measurement resolution is 100 m). In this instance, 1500 m indicates the length is approximately 1500 m rather than an exact value of 1500 m.
Spurious digits that arise from calculations resulting in a higher precision than the original data or a measurement reported with greater precision than the instrument's resolution. A zero after a decimal (e. g., 1.0) is significant, and care should be used when appending such a decimal of zero. Thus, in the case of 1.0, there are two significant figures, whereas 1 (without a decimal) has one significant figure. Among a number's significant digits, the most significant digit is the one with the greatest exponent value (the leftmost significant digit/figure), while the least significant digit is the one with the lowest exponent value (the rightmost significant digit/figure). For example, in the number "123" the "1" is the most significant digit, representing hundreds (102), while the "3" is the least significant digit, representing ones (100). To avoid conveying a misleading level of precision, numbers are often rounded. For instance, it would create false precision to present a measurement as 12.34525 kg when the measuring instrument only provides accuracy to the nearest gram (0.001 kg). In this case, the significant figures are the first five digits (1, 2, 3, 4, and 5) from the leftmost digit, and the number should be rounded to these significant figures, resulting in 12.345 kg as the accurate value. The rounding error (in this example, 0.00025 kg = 0.25 g) approximates the numerical resolution or precision. Numbers can also be rounded for simplicity, not necessarily to indicate measurement precision, such as for the sake of expediency in news broadcasts. Significance arithmetic encompasses a set of approximate rules for preserving significance through calculations. More advanced scientific rules are known as the propagation of uncertainty. Radix 10 (base 10, decimal numbers) is assumed in the following. (See unit in the last place for extending these concepts to other bases.)

Правила определения значимых цифр в числе

Определение значимых цифр в числе требует понимания того, какие цифры несут информацию, что, в свою очередь, требует знания разрешения, с которым число было измерено, получено или обработано. Например, если минимальная измеримая масса составляет 0,001 г, то в измерении, данном как 0,00234 г, цифра "4" не является полезной и должна быть отброшена, в то время как цифра "3" полезна и часто должна быть сохранена. Значимыми являются все цифры, отличные от нуля, в пределах заданного разрешения измерения или представления результата. Число 91 имеет две значимые цифры (9 и 1), если они соответствуют разрешению измерения. Число 123,45 имеет пять значимых цифр (1, 2, 3, 4 и 5), если они находятся в пределах разрешения измерения. Если разрешение, например, составляет 0,1, то цифра 5 указывает на то, что истинное значение с четырьмя значащими цифрами с одинаковой вероятностью может быть 123,4 или 123,5. Нули, находящиеся между двумя значимыми цифрами, отличными от нуля, являются значимыми (заключенные нули). Число 101,12003 состоит из восьми значимых цифр, если разрешение составляет 0,00001. Число 125,340006 имеет семь значимых цифр, если разрешение составляет 0,0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 и 0. Нули, расположенные слева от первой ненулевой цифры (ведущие нули), не являются значимыми. Если измерение длины дает 0,052 км, то 0,052 км = 52 м, поэтому значимыми являются только цифры 5 и 2; ведущие нули появляются или исчезают в зависимости от используемой единицы измерения, поэтому они не нужны для указания масштаба измерения. Число 0,00034 имеет 2 значимые цифры (3 и 4), если разрешение составляет 0,00001. Нули, расположенные справа от последней ненулевой цифры (конечные нули) в числе с десятичной точкой, являются значимыми, если они соответствуют разрешению измерения или представления результата. Число 1,200 имеет четыре значимые цифры (1, 2, 0 и 0), если это соответствует разрешению измерения. Число 0,0980 имеет три значимые цифры (9, 8 и последний ноль), если это соответствует разрешению измерения. Число 120,000 состоит из шести значимых цифр (1, 2 и четырех последующих нулей), если, как и ранее, это соответствует разрешению измерения. Конечные нули в целых числах могут быть или не быть значимыми, в зависимости от разрешения измерения или представления результата. Число 45600 имеет 3, 4 или 5 значимых цифр в зависимости от того, как используются последние нули. Например, если длина дороги указана как 45600 м без информации о разрешении представления или измерения, то неясно, было ли измерено точное значение длины дороги как 45600 м или это приблизительная оценка. Если это приблизительная оценка, то значимыми являются только первые три ненулевые цифры, поскольку конечные нули не являются ни надежными, ни необходимыми; 45600 м можно выразить как 45,6 км или как 4,56 × 104 м в научной нотации, и ни одно из этих выражений не требует конечных нулей. Точное число имеет бесконечное количество значимых цифр. Если количество яблок в мешке равно 4 (точное число), то это число равно 4,0000 (с бесконечным количеством нулей справа от десятичной точки). Следовательно, 4 не влияет на количество значимых цифр в результате вычислений с его участием. Математическая или физическая константа имеет значимые цифры, соответствующие известным цифрам. π – конкретное действительное число с несколькими эквивалентными определениями. Все цифры в его точном десятичном представлении 3,14159265358979323 являются значимыми. Хотя многие свойства этих цифр известны – например, они не повторяются, поскольку π иррационально – не все цифры известны. По состоянию на март 2024 года было вычислено более 102 триллионов цифр. Приближение, состоящее из 102 триллионов цифр, имеет 102 триллиона значимых цифр. В практических приложениях используется гораздо меньше цифр. Повседневное приближение 3,14 имеет три значимые цифры и 7 правильных двоичных цифр. Приближение 22/7 имеет те же три правильные десятичные цифры, но 10 правильных двоичных цифр. Большинство калькуляторов и компьютерных программ могут обрабатывать 16-значное представление 3,141592653589793, которого достаточно для расчетов межпланетной навигации. Постоянная Планка определяется как точное значение и поэтому ее более правильно определить как .

Identifying the significant figures in a number requires knowing which digits are meaningful, which requires knowing the resolution with which the number is measured, obtained, or processed. For example, if the measurable smallest mass is 0.001 g, then in a measurement given as 0.00234 g the "4" is not useful and should be discarded, while the "3" is useful and should often be retained. Non zero digits within the given measurement or reporting resolution are significant. 91 has two significant figures (9 and 1) if they are measurement allowed digits. 123.45 has five significant digits (1, 2, 3, 4 and 5) if they are within the measurement resolution. If the resolution is, say, 0.1, then the 5 shows that the true value to 4 sig figs is equally likely to be 123.4 or 123.5. Zeros between two significant non zero digits are significant (significant trapped zeros). 101.12003 consists of eight significant figures if the resolution is to 0.00001. 125.340006 has seven significant figures if the resolution is to 0.0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0, and 0. Zeros to the left of the first non zero digit (leading zeros) are not significant. If a length measurement gives 0.052 km, then 0.052 km = 52 m so 5 and 2 are only significant; the leading zeros appear or disappear, depending on which unit is used, so they are not necessary to indicate the measurement scale. 0.00034 has 2 significant figures (3 and 4) if the resolution is 0.00001. Zeros to the right of the last non zero digit (trailing zeros) in a number with the decimal point are significant if they are within the measurement or reporting resolution. 1.200 has four significant figures (1, 2, 0, and 0) if they are allowed by the measurement resolution. 0.0980 has three significant digits (9, 8, and the last zero) if they are within the measurement resolution. 120.000 consists of six significant figures (1, 2, and the four subsequent zeroes) if, as before, they are within the measurement resolution. Trailing zeros in an integer may or may not be significant, depending on the measurement or reporting resolution. 45,600 has 3, 4 or 5 significant figures depending on how the last zeros are used. For example, if the length of a road is reported as 45600 m without information about the reporting or measurement resolution, then it is not clear if the road length is precisely measured as 45600 m or if it is a rough estimate. If it is the rough estimation, then only the first three non zero digits are significant since the trailing zeros are neither reliable nor necessary; 45600 m can be expressed as 45.6 km or as 4.56 × 104 m in scientific notation, and neither expression requires the trailing zeros. An exact number has an infinite number of significant figures. If the number of apples in a bag is 4 (exact number), then this number is 4.0000 (with infinite trailing zeros to the right of the decimal point). As a result, 4 does not impact the number of significant figures or digits in the result of calculations with it. A mathematical or physical constant has significant figures to its known digits. π is a specific real number with several equivalent definitions. All of the digits in its exact decimal expansion 3.14159265358979323 are significant. Although many properties of these digits are known — for example, they do not repeat, because π is irrational — not all of the digits are known. As of March 2024, more than 102 trillion digits have been calculated. A 102 trillion digit approximation has 102 trillion significant digits. In practical applications, far fewer digits are used. The everyday approximation 3.14 has three significant figures and 7 correct binary digits. The approximation 22/7 has the same three correct decimal digits but has 10 correct binary digits. Most calculators and computer programs can handle the 16 digit expansion 3.141592653589793, which is sufficient for interplanetary navigation calculations. The Planck constant is and is defined as an exact value so that it is more properly defined as .

Неопределенность

Неопределенность может подразумеваться последней значащей цифрой, если она не указана явно. Например,
1.234 × 2 = 0.468 ≈ 2
1.234 × 2.0 = 2.68 ≈ 2.5
0.01234 × 2 = 0.0468 ≈ 0.02
с одной, двумя и одной значащей цифрой соответственно. (Здесь число 2 считается неточным.) В первом примере первый множитель имеет четыре значащие цифры, а второй – одну. Множитель с наименьшим количеством или наименьшей точностью значащих цифр – второй, содержащий только одну цифру, поэтому окончательный вычисленный результат также должен содержать одну значащую цифру.

Исключение

При пересчете единиц измерения, подразумеваемая неопределенность результата может оказаться неприемлемо выше, чем в исходной единице, если следовать данному правилу округления. Например, 8 дюймов имеет подразумеваемую неопределенность ±0,5 дюйма = ±1,27 см. Если перевести это значение в сантиметры и применить правило округления для умножения и деления, то 0,32 см ≈ 20 см с подразумеваемой неопределенностью ±5 см. Если такая неопределенность представляется чрезмерно завышенной, то более корректным количеством значащих цифр в результате пересчета единиц измерения будет 2,32 см ≈ 20 см с подразумеваемой неопределенностью ±0,5 см. Другое исключение из применения вышеуказанного правила округления – умножение числа на целое число, например, 1,234 × 9. Если следовать этому правилу, то результат округляется как 1,234 × 9,000 = 11,16 ≈ 11,11. Однако, по сути, это умножение представляет собой сложение 1,234 девять раз: 1,234 + 1,234 + … + 1,234. Поэтому правило округления для сложения и вычитания, описанное ниже, является более подходящим подходом. В результате, окончательный ответ будет 1,234 + 1,234 + … + 1,234 = 11,10 = 11,106 (увеличение количества значащих цифр на одну).

Логарифмы и антилогарифмы

Логарифм с основанием 10 нормализованного числа (т. е. a × 10b, где 1 ≤ a < 10 и b – целое число) округляется таким образом, чтобы его десятичная часть (называемая мантиссой) имела столько же значащих цифр, сколько значащих цифр в нормализованном числе. log10(3.000 × 104) = log10(104) + log10(3.000) = 4.000000 (точное число, следовательно, бесконечное количество значащих цифр) + 0.477212547 = 4.477212547 ≈ 4.4771. При вычислении антилогарифма нормализованного числа результат округляется до количества значащих цифр, равного количеству значащих цифр в десятичной части числа, для которого вычисляется антилогарифм. 104.4771 = 2998.5318119 ≈ 30000 = 3.000 × 104.

Окружить только по итоговому результату расчета

При выполнении многоэтапных вычислений не округляйте результаты промежуточных вычислений; сохраняйте максимально возможное количество знаков (как минимум на один знак больше, чем допускает правило округления для каждого этапа) до завершения всех вычислений, чтобы избежать накопления ошибок округления при отслеживании или записи существенных цифр в каждом промежуточном результате. Затем округлите конечный результат, например, до наименьшего числа существенных цифр (для умножения или деления) или до позиции самой левой последней существенной цифры (для сложения или вычитания) среди исходных данных в конечном расчете. (2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.694 × 1.2 = 4.3328 ≈ 4.4. (2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15943 + 1.2 = 4.59943 ≈ 4.4.

Оценка дополнительной цифры

При использовании линейки в качестве первой оцененной цифры следует брать наименьшую отметку. Например, если наименьшая отметка линейки равна 0,1 см, а показание составляет 4,5 см, то результат будет 4,5 (±0,1 см) или в диапазоне от 4,4 см до 4,6 см, соответствующих интервалу между наименьшими отметками. Однако на практике измерение обычно можно оценить визуально с точностью, превышающей интервал между наименьшими отметками линейки; например, в вышеуказанном случае можно оценить значение между 4,51 см и 4,53 см. Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной с точностью до наименьшей отметки, а сами отметки могут быть расположены не идеально равномерно. Однако, при использовании нормальной линейки хорошего качества, можно оценивать значения с точностью до десятых между ближайшими отметками, чтобы получить дополнительный знак после запятой. Несоблюдение этого требования добавляет погрешность при считывании линейки к возможной погрешности ее калибровки.

Оценка в статистике

При оценке доли особей, несущих определенный признак в популяции, на основе случайной выборки из этой популяции, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допустимую размером данной выборки.

Отношение к точности и точности измерений

Традиционно в различных технических областях под "точностью" понимается близость данного измерения к его истинному значению, а под "прецизионностью" – стабильность этого измерения при многократном повторении. Таким образом, можно быть "точно неверным". В стремлении отразить то, как термин "точность" фактически используется в научном сообществе, был разработан недавний стандарт ISO 5725, который сохраняет прежнее определение прецизионности, но определяет термин "истинность" как близость данного измерения к его истинному значению, а термин "точность" – как сочетание истинности и прецизионности. (Более подробное обсуждение представлено в статье "Точность и прецизионность"). В любом случае, количество значащих цифр приблизительно соответствует прецизионности, а не точности или более новому понятию истинности.