Кіріспе
Алгебралық геометрияда, алгебралық жабық k өрістегі проекциялық алуантүрлілік – k үстіндегі проекциялық n кеңістігінің ішкі жиыны, ол k коэффициенттері бар n + 1 айнымалының гомогенді полиномдарының шекті жиынтығының нөлдік жиыны болып табылады, бұл жиынтық анықтамалық идеалды тудырады, яғни алуантүрліліктің анықтамалық идеалы. Балама түрінде, алгебралық алуантүрлілік проективті болып есептеледі, егер оны Зариски жабық ішкі алуантүрлілігі ретінде ендіруге болады. Проективті алуантүрлілік, егер оның өлшемі бірге тең болса, проективті қисық; егер өлшемі екіге тең болса, проективті бет; ал егер оның өлшемі құрамдас проективті кеңістіктің өлшемінен бірге кем болса, проективті гипербет болып табылады. Соңғы жағдайда, ол бір гомогенді полиномның нөлдер жиыны болып табылады. Егер X – біртекті жайқы идеал I арқылы анықталған проективті алуантүрлілік болса, онда бөлімдік сақина X-тің біртекті координаталық сақинасы деп аталады. X-тің дәрежесі және өлшемі сияқты негізгі инварианттары осы сыныпталған сақинаның Гильберт полиномынан оқылады. Проективті алуантүрліліктер көптеген жолдармен туындайды. Олар толық, яғни "жетіспейтін" нүктелер жоқ. Жалпы жағдайда керісінше дұрыс емес, бірақ Чоу леммасы осы екі ұғымның тығыз байланысын сипаттайды. Алуантүрліліктің проективті екенін көрсету үшін X-тегі түзу бундельдерін немесе бөлгіштерді зерттеу қажет. Проективті алуантүрліліктердің ерекше ерекшелігі – бушақ когомологиясының шектілігі. Тегіс проективті алуантүрліліктер үшін Серр дуалдығы Поанкаре дуалдығының аналогы ретінде қарастырылады. Бұл сондай-ақ проективті қисықтар үшін Риман-Рох теоремасына, яғни 1 өлшемді проективті алуантүрліліктерге алып келеді. Проективті қисықтар теориясы өте бай, оның ішінде қисықтың туысы бойынша жіктелуі бар. Жоғары өлшемді проективті алуантүрліліктерді жіктеу бағдарламасы табиғи түрде проективті алуантүрліліктердің модульдерін құруға әкеледі. Гильберт схемалары Гильберт полиномымен берілген жабық ішкі схемаларды параметризациялайды. Грасманн схемалары ерекше жағдай болып табылатын Гильберт схемалары өздері де схемалар болып табылады. Геометриялық инвариант теориясы басқа тәсіл ұсынады. Классикалық тәсілдерге Тейхмюллер кеңістігі және Чоу алуантүрліліктері жатады. Күрделі проективті алуантүрліліктер үшін, яғни X-ті анықтайтын полиномдардың күрделі коэффициенттері болған кезде, классикалық теорияға дейінгі өте бай теория қол жетімді. Жалпы алғанда, GAGA принципі проективті күрделі аналитикалық кеңістіктердің (немесе көпүрліліктердің) геометриясы проективті күрделі алуантүрліліктердің геометриясына эквивалентті екенін айтады. Мысалы, X-тегі голоморфты векторлық бундельдер теориясы (жалпы алғанда, когерентті аналитикалық бундельдер) алгебралық векторлық бундельдер теориясымен сәйкес келеді. Чоу теоремасы проективті кеңістіктің ішкі жиыны голоморфты функциялардың жиынтығының нөлдік жиыны болып табылады, егер және тек егер ол гомогенді полиномдардың нөлдік жиыны болса. Күрделі проективті алуантүрліліктер үшін аналитикалық және алгебралық әдістердің үйлесімі Ходж теориясы сияқты салаларға алып келеді.
A projective variety is a projective curve if its dimension is one; it is a projective surface if its dimension is two; it is a projective hypersurface if its dimension is one less than the dimension of the containing projective space; in this case it is the set of zeros of a single homogeneous polynomial. If X is a projective variety defined by a homogeneous prime ideal I, then the quotient ring
is called the homogeneous coordinate ring of X. Basic invariants of X such as the degree and the dimension can be read off the Hilbert polynomial of this graded ring. Projective varieties arise in many ways. They are complete, which roughly can be expressed by saying that there are no points "missing". The converse is not true in general, but Chow's lemma describes the close relation of these two notions. Showing that a variety is projective is done by studying line bundles or divisors on X. A salient feature of projective varieties are the finiteness constraints on sheaf cohomology. For smooth projective varieties, Serre duality can be viewed as an analog of Poincaré duality. It also leads to the Riemann–Roch theorem for projective curves, i. e., projective varieties of dimension 1. The theory of projective curves is particularly rich, including a classification by the genus of the curve. The classification program for higher dimensional projective varieties naturally leads to the construction of moduli of projective varieties. Hilbert schemes parametrize closed subschemes of with prescribed Hilbert polynomial. Hilbert schemes, of which Grassmannians are special cases, are also projective schemes in their own right. Geometric invariant theory offers another approach. The classical approaches include the Teichmüller space and Chow varieties. A particularly rich theory, reaching back to the classics, is available for complex projective varieties, i. e., when the polynomials defining X have complex coefficients. Broadly, the GAGA principle says that the geometry of projective complex analytic spaces (or manifolds) is equivalent to the geometry of projective complex varieties. For example, the theory of holomorphic vector bundles (more generally coherent analytic sheaves) on X coincide with that of algebraic vector bundles. Chow's theorem says that a subset of projective space is the zero locus of a family of holomorphic functions if and only if it is the zero locus of homogeneous polynomials. The combination of analytic and algebraic methods for complex projective varieties lead to areas such as Hodge theory.
Толық сорттарға қатынасы
Анықтама бойынша, әртүрлілік толық болады, егер ол k-ден артық болса. Қасиеттіліктің бағалау критерийі дұрыс әртүрлілікте "жоғалған" нүктелер жоқ деген түсінікті білдіреді. Толық және проективті сорттар арасында тығыз байланыс бар: бір жағынан, проективті кеңістік, демек кез келген проективті сорт толық. Жалпы, керісінше дұрыс емес. Алайда:
С тегіс қисығы тек қана толық болса, проективті болады. Бұл C-ді k(C)/k функциялық өрісінің дискретті бағалау сақиналары жиынымен сәйкестендіру арқылы дәлелденеді. Бұл жиын Зариски–Риман кеңістігі деп аталатын Зарискидің табиғи топологиясына ие. Чуа леммасы кез келген толық X сорты үшін проективті Z сорты және Z → X бирационалдық морфизмнің бар екенін көрсетеді. (Сонымен қатар, нормализация арқылы бұл проективті сорттың қалыпты екенін қарастыруға болады.) Проективті сорттың кейбір қасиеттері толықтығынан туындайды. Мысалы,
кез келген проективті X сорты үшін k-ден. Бұл факт Лиувилль теоремасының алгебралық аналогы болып табылады (байланысты, компактты кешенді көптүрліліктегі кез келген голоморфтық функция тұрақты). Шындығында, күрделі проективті сорттардағы күрделі аналитикалық геометрия мен алгебралық геометрия арасындағы ұқсастық одан да жоғары, төменде түсіндірілгендей. Квазипроективті сорттар, анықтама бойынша, проективті сорттардың ашық ішкі сорттары болып табылады. Бұл сорттар класына аффинді сорттар кіреді. Аффинді сорттар көбінесе толық (немесе проективті) болмайды. Шын мәнінде, аффинді сорттың проективті ішкі сортының өлшемі нөл болуы керек. Өйткені тек тұрақтылар ғана проективті сорттағы жайылған тұрақты функциялар болып табылады.
Мысалдар және негізгі инварианттар
Анықтама бойынша, полиномдық сақинадағы кез келген гомогендік идеал проекциялық схеманы тудырады (түрлілікті алу үшін оның жай идеал болуы керек). Осыған байланысты, проективті сорттардың көптеген мысалдары бар. Төмендегі тізімде ерекше зерттелгендіктен назар аударуға лайық проективті сорттардың әр түрлі кластары келтірілген. Күрделі проективті сорттардың маңызды класы, яғни жағдай , әрі қарай төменде талқыланады. Екі проективті кеңістіктің көбейтіндісі проективті болады. Шындығында, нақты енгізу (Сегре енгізуі деп аталады) бар. Салдарынан, k-дағы проективті сорттардың көбейтіндісі де проективті болады. Плюкер енгізуі Грассмандықтанды проективті сорт ретінде көрсетеді. Жоғарғы үшбұрышты матрицалардың кіші тобына қатысты жалпы сызықтық топтың бөліндісі сияқты жалауша сорттары да проективті, бұл алгебралық топтар теориясындағы маңызды факт.
As a consequence, the product of projective varieties over k is again projective. The Plücker embedding exhibits a Grassmannian as a projective variety. Flag varieties such as the quotient of the general linear group modulo the subgroup of upper triangular matrices, are also projective, which is an important fact in the theory of algebraic groups.
Секциялардың сақинасы
X проективті түрлік, ал L оның үстіндегі сызық бумасы болсын. Онда келесі градуирленген сақина
is called the ring of sections of L. If L is ample, then Proj of this ring is X. Moreover, if X is normal and L is very ample, then is the integral closure of the homogeneous coordinate ring of X determined by L; i. e., so that pulls back to L.
For applications, it is useful to allow for divisors (or divisors) not just line bundles; assuming X is normal, the resulting ring is then called a generalized ring of sections. If is a canonical divisor on X, then the generalized ring of sections
is called the canonical ring of X. If the canonical ring is finitely generated, then Proj of the ring is called the canonical model of X. The canonical ring or model can then be used to define the Kodaira dimension of X.
L-дің қималар сақинасы деп аталады. Егер L кең болса, онда осы сақинаның Proj-і X-ке тең болады. Сонымен қатар, егер X қалыпты және L өте кең болса, онда L-мен анықталатын X-тің біртекті координаттық сақинасының интегралды жабылуы болады; яғни, L-ге кері тартылады. Қолданбалар үшін сызық бундеттерін ғана емес, бөлгіштерді (немесе бөлгіштерді) де қарастыру пайдалы; X қалыпты деп есептегенде, алынған сақина жалпыланған қималар сақинасы деп аталады. Егер X-тің каноникалық бөлгіші болса, онда жалпыланған қималар сақинасы X-тің каноникалық сақинасы деп аталады. Егер каноникалық сақина шекті түрде туындаса, онда сақинаның Proj-і X-тің каноникалық моделі деп аталады. Каноникалық сақина немесе модель X-тің Кодайра өлшемін анықтау үшін қолданылуы мүмкін.
is called the ring of sections of L. If L is ample, then Proj of this ring is X. Moreover, if X is normal and L is very ample, then is the integral closure of the homogeneous coordinate ring of X determined by L; i. e., so that pulls back to L.
For applications, it is useful to allow for divisors (or divisors) not just line bundles; assuming X is normal, the resulting ring is then called a generalized ring of sections. If is a canonical divisor on X, then the generalized ring of sections
is called the canonical ring of X. If the canonical ring is finitely generated, then Proj of the ring is called the canonical model of X. The canonical ring or model can then be used to define the Kodaira dimension of X.
Жобалау қисықтары
Бір өлшемді проекциялық схемалар проекциялық қисықтар деп аталады. Проекциялық қисықтар теориясының көп бөлігі тегіс проекциялық қисықтарға арналған, себебі қисықтардың сингулярлықтарын қалыпқа келтіру арқылы шешуге болады, бұл тұрақты функциялар сақинасының интегралды жабылуын жергілікті түрде алудан тұрады. Тегіс проекциялық қисықтар, егер және тек қана олардың функциялық өрістері изоморфты болса, изоморфты болады. Шешімді кеңейтімдерді немесе теңдес тегіс проекциялық қисықтарды зерттеу алгебралық сандар теориясының маңызды саласы болып табылады. Бір туысқан тегіс проекциялық қисық эллиптік қисық деп аталады. Риман-Рох теоремасының салдары ретінде, мұндай қисықты жабық субвариант ретінде енгізуге болады. Жалпы алғанда, кез келген (тегіс) проекциялық қисықты енгізуге болады (дәлелдеу үшін Secant variety#Examples қараңыз). Керісінше, үшінші дәрежелі кез келген тегіс жабық қисық туысқан формуласы бойынша бір туысқа ие және осылайша эллиптік қисық болып табылады. Екі дәрежелі шекті морфизм болған жағдайда, екіден үлкен немесе оған тең туысқан тегіс толық қисық гиперэллиптикалық қисық деп аталады.
or equivalently smooth projective curves over is an important branch in algebraic number theory. A smooth projective curve of genus one is called an elliptic curve. As a consequence of the Riemann–Roch theorem, such a curve can be embedded as a closed subvariety in In general, any (smooth) projective curve can be embedded in (for a proof, see Secant variety#Examples). Conversely, any smooth closed curve in of degree three has genus one by the genus formula and is thus an elliptic curve. A smooth complete curve of genus greater than or equal to two is called a hyperelliptic curve if there is a finite morphism of degree two.
Жобалы гиперүстіңектер
Кез келген азайтылмайтын, кодименсиясы бірге тең жабық жиын гипербет болып табылады; яғни, кейбір гомогенді азайтылмайтын полиномның нөлдік жиынтығы.
Абель сорттары
Проективті түрлілік X-тың тағы бір маңызды инварианты - X-тың Пикард тобы, X-тағы түзу шоғырлардың изоморфизм кластарының жиынтығы. Ол изоморфты және демек, ішкі ұғым (енгізуге тәуелсіз). Мысалы, Пикард тобы градус шешу арқылы изоморфты. -тың ядросы ғана емес абстрактілі абельдік топ, сонымен қатар X-тың Якобтық түрлілігі деп аталатын түрлілігі бар, Jac(X), оның нүктелері осы топқа тең. (Жақсы) қисықтың Якобианы қисықты зерттеуде маңызды рөл атқарады. Мысалы, эллиптік қисық E-нің Якобианы - E-нің өзі. g туысы бар X қисығы үшін Jac(X) өлшемі g-ға тең. Якобиан сияқты толық және топтық құрылымы бар түрліліктер Нильс Абельдің құрметіне абельдік түрліліктер деп аталады. Аффиндік алгебралық топтарға, мысалы , қарағанда айқын контраст, мұндай топтар әрқашан коммутативті, сондықтан олардың аты осылай. Сонымен қатар, олар кең шоғырды қабылдайды және демек, проективті болады. Екінші жағынан, Абель схемасы проективті болмауы мүмкін. Абельдік түрліліктерге эллиптік қисықтар, Якоб түрліліктері және K3 беттері жатады.
Varieties, such as the Jacobian variety, which are complete and have a group structure are known as abelian varieties, in honor of Niels Abel. In marked contrast to affine algebraic groups such as , such groups are always commutative, whence the name. Moreover, they admit an ample line bundle and are thus projective. On the other hand, an abelian scheme may not be projective. Examples of abelian varieties are elliptic curves, Jacobian varieties and K3 surfaces.
Тік, шырышты сорттары
X – барлық иррационалды компоненттерінің өлшемі n-ге тең болатын тегіс проективті алгебралық түрлілік болсын. Мұндай жағдайда, жоғары дәрежелі Кэлер дифференциалдарының (яғни алгебралық n-формалардың) шоғы ретінде анықталған каноникалық шоғы ωX – түзуліктік бумбл болады.
Риманның Рох теоремасы
(Тұйық проективті) қисық X үшін, өлшемдік себептерге байланысты H2 және одан жоғары өлшемдер жоғалады, ал құрылымдық шошаның жаһандық қималарының кеңістігі бір өлшемді болады. Осылайша, X қисығының арифметикалық роды – H0(X, ωX) кеңістігінің өлшемімен анықталады. Геометриялық роды – H0(X, ωX) кеңістігінің өлшемі болып табылады. Серре дуалдығы арифметикалық және геометриялық родардың сәйкес келетінін көрсетеді. Олар жай ғана X қисығының роды деп аталады.
Serre duality is also a key ingredient in the proof of the Riemann–Roch theorem. Since X is smooth, there is an isomorphism of groups
from the group of (Weil) divisors modulo principal divisors to the group of isomorphism classes of line bundles. A divisor corresponding to ωX is called the canonical divisor and is denoted by K. Let l(D) be the dimension of Then the Riemann–Roch theorem states: if g is a genus of X,
for any divisor D on X. By the Serre duality, this is the same as:
which can be readily proved. A generalization of the Riemann–Roch theorem to higher dimension is the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, as well as the far reaching Grothendieck–Riemann–Roch theorem.
Серре дуалдығы – Риманн-Рох теоремасын дәлелдеудің маңызды құралы болып табылады. X тегіс болғандықтан, (Вейль) бөлгіштері тобынан (модульдік) негізгі бөлгіштері тобына изоморфизм бар. ωX-ке сәйкес бөлгіш канондық бөлгіш деп аталады және K арқылы белгіленеді. Егер l(D) – D бөлгішінің өлшемі болса, онда Риманн-Рох теоремасы былай тұжырымдалады: егер g – X қисығының роды болса, кез келген D бөлгіші үшін X-те:
Serre duality is also a key ingredient in the proof of the Riemann–Roch theorem. Since X is smooth, there is an isomorphism of groups
from the group of (Weil) divisors modulo principal divisors to the group of isomorphism classes of line bundles. A divisor corresponding to ωX is called the canonical divisor and is denoted by K. Let l(D) be the dimension of Then the Riemann–Roch theorem states: if g is a genus of X,
for any divisor D on X. By the Serre duality, this is the same as:
which can be readily proved. A generalization of the Riemann–Roch theorem to higher dimension is the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, as well as the far reaching Grothendieck–Riemann–Roch theorem.
Серре дуалдығы бойынша, бұл келесідей:
Serre duality is also a key ingredient in the proof of the Riemann–Roch theorem. Since X is smooth, there is an isomorphism of groups
from the group of (Weil) divisors modulo principal divisors to the group of isomorphism classes of line bundles. A divisor corresponding to ωX is called the canonical divisor and is denoted by K. Let l(D) be the dimension of Then the Riemann–Roch theorem states: if g is a genus of X,
for any divisor D on X. By the Serre duality, this is the same as:
which can be readily proved. A generalization of the Riemann–Roch theorem to higher dimension is the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, as well as the far reaching Grothendieck–Riemann–Roch theorem.
мұны оңай дәлелдеуге болады. Риманн-Рох теоремасының жоғары өлшемдерге жалпыламасы – Хирцебрух-Риманн-Рох теоремасы, сондай-ақ Гротендик-Риманн-Рох теоремасы.
Serre duality is also a key ingredient in the proof of the Riemann–Roch theorem. Since X is smooth, there is an isomorphism of groups
from the group of (Weil) divisors modulo principal divisors to the group of isomorphism classes of line bundles. A divisor corresponding to ωX is called the canonical divisor and is denoted by K. Let l(D) be the dimension of Then the Riemann–Roch theorem states: if g is a genus of X,
for any divisor D on X. By the Serre duality, this is the same as:
which can be readily proved. A generalization of the Riemann–Roch theorem to higher dimension is the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, as well as the far reaching Grothendieck–Riemann–Roch theorem.
Гилберт схемалары
Хилберт схемалары проективті схеманың барлық жабық субварианттарын параметрлейді, яғни Хилберт схемасының нүктелері (функционалдық мағынада) Х схемасының жабық субсхемаларына сәйкес келеді. Осылайша, Хилберт схемасы модульдік кеңістіктің мысалы болып табылады, яғни оның нүктелері басқа геометриялық объектілерді параметрлейтін геометриялық объект. Нақтырақ айтқанда, Хилберт схемасы Хилберт полиномы белгілі бір көпмүшеге тең жабық субварианттарды параметрлейді. Гротендиктің терең теоремасы бойынша, k-дан астам схема бар, сондықтан кез келген k-схемасы T үшін биекция бар.
Бұл сәйкестік картасына сәйкес келетін жабық субсхема әмбебап отбасы деп аталады. Егер схемасы үшін, онда бұл r жазықтықтағы Грассман схемасы деп аталады, ал егер X проективті схема болса, онда бұл X схемасындағы r жазықтықтағы Фано схемасы деп аталады.
Күрделі проективті сорттар
Бұл бөлімде барлық алгебралық сорттар кешенді алгебралық сорттар болып табылады. Кешенді проективті сорттар теориясының маңызды ерекшелігі – алгебралық және аналитикалық әдістердің үйлесімі. Бұл теориялар арасындағы байланыс келесі арқылы қамтамасыз етіледі: кез келген кешенді полином сонымен қатар голоморфтық функция болғандықтан, кез келген кешенді сорт X кешенді аналитикалық кеңістік тудырады, белгіленеді . Сонымен қатар, X-тің геометриялық қасиеттері -тің қасиеттерінде көрінеді. Мысалы, соңғысы кешенді жіккіш болса және тек қана X тегіс болса; ол тығыз болса және тек қана X проекциялық кеңістік үстінен дұрыс болса ғана.
ГАГА және Чоу теоремасы
Чоу теоремасы аналитикалық геометриядан алгебралық геометрияға өтудің таңғажайып жолын ұсынады. Ол комплекс проективті кеңістіктің кез келген аналитикалық субварианты алгебралық екенін көрсетеді. Теореманы белгілі бір өсу шартын қанағаттандыратын голоморфтық функцияның міндетті түрде алгебралық екендігін айту ретінде түсіндіруге болады: «проективті» осы өсу шартын қамтамасыз етеді. Теоремадан мынаны қорытуға болады: Комплекс проективті кеңістіктегі мероморфтық функциялар рационалды. Егер алгебралық сорттар арасындағы алгебралық бейнелеу аналитикалық изоморфизм болса, онда ол (алгебралық) изоморфизм болады. (Бұл бөлім күрделі анализдегі негізгі факті болып табылады.) Атап айтқанда, Чоу теоремасы проективті сорттар арасындағы голоморфтық бейнелеу алгебралық екенін білдіреді. (мұндай бейнелеудің графигін қарастырыңыз.) Проективті сорттағы кез келген голоморфтық векторлық шоғыр бірегей алгебралық векторлық шоғырмен индукцияланады. Проективті сорттағы кез келген голоморфтық түзу шоғыр – бөлгіштің түзу шоғыры. Чоу теоремасын Серренің GAGA принципі арқылы көрсетуге болады. Оның негізгі теоремасы мынадай:
Meromorphic functions on the complex projective space are rational. If an algebraic map between algebraic varieties is an analytic isomorphism, then it is an (algebraic) isomorphism. (This part is a basic fact in complex analysis.) In particular, Chow's theorem implies that a holomorphic map between projective varieties is algebraic. (consider the graph of such a map.) Every holomorphic vector bundle on a projective variety is induced by a unique algebraic vector bundle. Every holomorphic line bundle on a projective variety is a line bundle of a divisor. Chow's theorem can be shown via Serre's GAGA principle. Its main theorem states:
Let X be a projective scheme over Then the functor associating the coherent sheaves on X to the coherent sheaves on the corresponding complex analytic space Xan is an equivalence of categories. Furthermore, the natural maps
are isomorphisms for all i and all coherent sheaves on X.
Х проективті схема болсын. Онда Х-тегі когерентті қаптамаларды сәйкес келетін комплекс аналитикалық кеңістіктегі Xan когерентті қаптамаларымен байланыстыратын функтор категориялардың эквиваленттілігі болып табылады. Сонымен қатар, барлық i және Х-тегі барлық когерентті қаптамалар үшін табиғи бейнелеулер изоморфизмдер болып табылады.
Meromorphic functions on the complex projective space are rational. If an algebraic map between algebraic varieties is an analytic isomorphism, then it is an (algebraic) isomorphism. (This part is a basic fact in complex analysis.) In particular, Chow's theorem implies that a holomorphic map between projective varieties is algebraic. (consider the graph of such a map.) Every holomorphic vector bundle on a projective variety is induced by a unique algebraic vector bundle. Every holomorphic line bundle on a projective variety is a line bundle of a divisor. Chow's theorem can be shown via Serre's GAGA principle. Its main theorem states:
Let X be a projective scheme over Then the functor associating the coherent sheaves on X to the coherent sheaves on the corresponding complex analytic space Xan is an equivalence of categories. Furthermore, the natural maps
are isomorphisms for all i and all coherent sheaves on X.
Күрделі тори және күрделі абельдік сорттар
Абельдік түрге байланысты күрделі көптік А – компактты күрделі Лай тобы болып табылады. Олардың мынадай формада болатыны көрсетілген және оларды күрделі тори деп те атайды. Мұнда g – тордың өлшемі, ал L – тор (периодтық тор деп те аталады). Жоғарыда айтылған біркелкілік теоремасына сәйкес, 1 өлшемді кез келген тор 1 өлшемді абельдік түрден, яғни эллиптік қисықтан туындайды. Шындығында, L-ге байланысты Вейерштрасс эллиптік функциясы белгілі бір дифференциалдық теңдемені қанағаттандырады және салдарынан жабық ендіруді анықтайды:
and are also referred to as complex tori. Here, g is the dimension of the torus and L is a lattice (also referred to as period lattice). According to the uniformization theorem already mentioned above, any torus of dimension 1 arises from an abelian variety of dimension 1, i. e., from an elliptic curve. In fact, the Weierstrass's elliptic function attached to L satisfies a certain differential equation and as a consequence it defines a closed immersion:
There is a p adic analog, the p adic uniformization theorem. For higher dimensions, the notions of complex abelian varieties and complex tori differ: only polarized complex tori come from abelian varieties.
p-адық аналогы бар, p-адық біркелкілік теоремасы. Жоғары өлшемдер үшін күрделі абельдік сорттар мен күрделі тори ұғымдары өзгеше: абельдік сорттардан тек поляризацияланған күрделі торилер ғана шығады.
and are also referred to as complex tori. Here, g is the dimension of the torus and L is a lattice (also referred to as period lattice). According to the uniformization theorem already mentioned above, any torus of dimension 1 arises from an abelian variety of dimension 1, i. e., from an elliptic curve. In fact, the Weierstrass's elliptic function attached to L satisfies a certain differential equation and as a consequence it defines a closed immersion:
There is a p adic analog, the p adic uniformization theorem. For higher dimensions, the notions of complex abelian varieties and complex tori differ: only polarized complex tori come from abelian varieties.