Введение

В алгебраической геометрии проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем k – это подмножество некоторого проективного n-пространства над k, являющееся нулевым множеством конечного семейства однородных многочленов от n+1 переменных с коэффициентами в k, порождающих простой идеал – определяющий идеал многообразия. Эквивалентно, алгебраическое многообразие называется проективным, если его можно вложить как зарыски-замкнутое подмногообразие в проективное пространство. Проективное многообразие является проективной кривой, если его размерность равна одному; проективной поверхностью, если его размерность равна двум; проективной гиперповерхностью, если его размерность на единицу меньше размерности содержащего проективного пространства; в этом случае оно является множеством нулей единственного однородного многочлена. Если X – проективное многообразие, определяемое однородным простым идеалом I, то факторкольцо

называется однородным координатным кольцом X. Основные инварианты X, такие как степень и размерность, могут быть определены по полиному Гильберта этого градуированного кольца. Проективные многообразия возникают различными способами. Они полны, что приблизительно можно выразить тем, что в них нет "отсутствующих" точек. Обратное утверждение не всегда верно, но лемма Чоу описывает тесную связь между этими двумя понятиями. Доказательство того, что многообразие является проективным, осуществляется путем изучения линейных расслоений или дивизоров на X. Характерной особенностью проективных многообразий является конечность ограничений на когомологии пучков. Для гладких проективных многообразий двойственность Серре может рассматриваться как аналог двойственности Пуанкаре. Она также приводит к теореме Римана-Роха для проективных кривых, то есть проективных многообразий размерности 1. Теория проективных кривых особенно богата и включает классификацию по роду кривой. Программа классификации для многообразий большей размерности естественным образом приводит к построению модулей проективных многообразий. Схемы Гильберта параметризуют замкнутые подсхемы с заданным полиномом Гильберта. Схемы Гильберта, частным случаем которых являются грассманианы, также сами по себе являются проективными схемами. Геометрическая инвариантная теория предлагает другой подход. К классическим подходам относятся пространство Тейхмюллера и многообразия Чоу. Особенно богатая теория, восходящая к классическим работам, доступна для комплексных проективных многообразий, то есть когда многочлены, определяющие X, имеют комплексные коэффициенты. В широком смысле принцип GAGA утверждает, что геометрия проективных комплексно-аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Например, теория голоморфных векторных расслоений (в более общем случае когерентных аналитических пучков) на X совпадает с теорией алгебраических векторных расслоений. Теорема Чоу утверждает, что подмножество проективного пространства является нулевым множеством семейства голоморфных функций тогда и только тогда, когда оно является нулевым множеством однородных многочленов. Сочетание аналитических и алгебраических методов для комплексных проективных многообразий приводит к таким областям, как теория Ходжа.

Отношение к полным сортам

По определению, многообразие является полным, если оно правильное над k. Валуативный критерий правильности выражает интуицию, что в правильном многообразии нет "отсутствующих" точек. Существует тесная связь между полными и проективными многообразиями: с одной стороны, проективное пространство и, следовательно, любое проективное многообразие является полным. Обратное, как правило, неверно. Однако:

Гладкая кривая C является проективной тогда и только тогда, когда она полная. Это доказывается путем отождествления C с множеством колец дискретного нормирования поля функций k(C) над k. Это множество имеет естественную топологию Зариски, называемую пространством Зариски — Римана. Лемма Чоу утверждает, что для любого полного многообразия X существует проективное многообразие Z и бирациональный морфизм Z → X. (Более того, посредством нормализации можно предположить, что это проективное многообразие нормальное.) Некоторые свойства проективного многообразия вытекают из полноты. Например,

для любого проективного многообразия X над k. Этот факт является алгебраическим аналогом теоремы Лиувиля (любая голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии является постоянной). На самом деле, сходство между комплексно-аналитической геометрией и алгебраической геометрией на комплексных проективных многообразиях простирается гораздо дальше, как объясняется ниже. Квазипроективные многообразия, по определению, — это открытые подмногообразия проективных многообразий. К этому классу многообразий относятся аффинные многообразия. Аффинные многообразия почти никогда не бывают полными (или проективными). Фактически, проективное подмногообразие аффинного многообразия должно иметь размерность нуль. Это связано с тем, что только константы являются глобально регулярными функциями на проективном многообразии.

Примеры и основные инварианты

По определению, любой однородный идеал в кольце многочленов порождает проективную схему (для получения многообразия требуется, чтобы идеал был простым). В этом смысле примеров проективных многообразий предостаточно. В следующем списке перечислены различные классы проективных многообразий, заслуживающие внимания, поскольку они были особенно интенсивно изучены. Важный класс комплексных проективных многообразий, то есть случай , обсуждается подробнее ниже. Произведение двух проективных пространств является проективным. Более того, существует явное погружение (называемое погружением Сегре). Как следствие, произведение проективных многообразий над k снова является проективным. Погружение Плюккера представляет собой грассманиан как проективное многообразие. Флаговые многообразия, такие как фактор общей линейной группы по подгруппе верхнетреугольных матриц, также являются проективными, что является важным фактом в теории алгебраических групп.

Кольцо секций

Пусть X — проективное многообразие, а L — линейное расслоение на нем. Тогда градуированное кольцо

называется кольцом сечений L. Если L является обильным, то Proj этого кольца равен X. Более того, если X нормально и L сильно обильно, то интегральное замыкание однородного координатного кольца X определяется L; то есть, так что обратное отображение переводит его в L.

Для приложений полезно рассматривать делители (или Q-делители), а не только линейные расслоения; предполагая, что X нормально, полученное кольцо называется обобщенным кольцом сечений. Если — канонический делитель на X, то обобщенное кольцо сечений

называется каноническим кольцом X. Если каноническое кольцо конечно порождено, то Proj этого кольца называется канонической моделью X. Каноническое кольцо или модель затем могут быть использованы для определения размерности Кодаиры X.

Проективные кривые

Проективные схемы размерности один называются проективными кривыми. Значительная часть теории проективных кривых посвящена гладким проективным кривым, поскольку сингулярности кривых могут быть разрешены нормализацией, которая заключается в локальном взятии интегрального замыкания кольца регулярных функций. Гладкие проективные кривые изоморфны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Изучение конечных расширений или, эквивалентно, гладких проективных кривых над является важной областью алгебраической теории чисел. Гладкая проективная кривая рода один называется эллиптической кривой. Как следствие теоремы Римана — Роха, такая кривая может быть вложена как замкнутое подмногообразие в . В общем случае, любая (гладкая) проективная кривая может быть вложена в (доказательство см. в разделе Секантовое многообразие#Примеры). Обратно, любая гладкая замкнутая кривая в степени три имеет род один по формуле рода и, следовательно, является эллиптической кривой. Гладкая полная кривая рода, большего или равного двум, называется гипереллиптической кривой, если существует конечный морфизм степени два.

Проективные гиперповерхности

Каждое неразложимое замкнутое подмножество кодимензии один является гиперповерхностью, то есть множеством нулей некоторого однородного неразложимого многочлена.

Абелевы сорта

Другой важный инвариант проективного многообразия X — это группа Пикара X, множество классов изоморфизма прямых расслоений на X. Она изоморфна и, следовательно, является внутренним понятием (не зависящим от вложения). Например, группа Пикара из изоморфна через отображение степени. Ядро не только является абстрактной абелевой группой, но существует многообразие, называемое якобиевым многообразием X, Jac(X), чьи точки равны этой группе. Якобиан (гладкой) кривой играет важную роль в изучении кривой. Например, якобиан эллиптической кривой E является самой E. Для кривой X рода g, Jac(X) имеет размерность g.

Многообразия, такие как якобиево многообразие, которые полны и имеют групповую структуру, называются абелевыми многообразиями в честь Нильса Абеля. В резком контрасте с аффинными алгебраическими группами, такими как , такие группы всегда коммутативны, отсюда и название. Более того, они допускают изобильное линейное расслоение и, следовательно, являются проективными. С другой стороны, абелева схема может не быть проективной. Примерами абелевых многообразий являются эллиптические кривые, якобиевы многообразия и поверхности K3.

Гладкие проецирующие сорта

Пусть X — гладкое проективное многообразие, все необратимые компоненты которого имеют размерность n. В этой ситуации канонический пучок ωX, определяемый как пучок дифференциалов Кэлера старшей степени (то есть алгебраических n-форм), является линейным расслоением.

Теорема Римана и Роха

Для (гладкой проективной) кривой X, H2 и выше исчезают по размерностным соображениям, а пространство глобальных сечений структурного пучка одномерно. Таким образом, арифметический род X равен размерности по определению, а геометрический род X равен размерности H0(X, ωX). Двойственность Серре, следовательно, подразумевает, что арифметический и геометрический роды совпадают. Их просто будут называть родом X.

Двойственность Серре также является ключевым элементом в доказательстве теоремы Римана — Роха. Поскольку X гладкая, существует изоморфизм групп

от группы (Вейля) делителей по модулю главных делителей в группу классов изоморфизма линейных расслоений. Делитель, соответствующий ωX, называется каноническим делителем и обозначается K. Пусть l(D) — размерность Тогда теорема Римана — Роха утверждает: если g — род X,

для любого делителя D на X. По двойственности Серре это эквивалентно:

что может быть легко доказано. Обобщением теоремы Римана — Роха на более высокие размерности является теорема Хирцебруха — Римана — Роха, а также далеко идущая теорема Гротендика — Римана — Роха.

Схемы Гильберта

Схемы Гильберта параметризуют все замкнутые подмногообразия проективной схемы X в том смысле, что точки (в смысле функтора) H соответствуют замкнутым подсхемам X. Таким образом, схема Гильберта является примером пространства модулей, то есть геометрического объекта, точки которого параметризуют другие геометрические объекты. Более точно, схема Гильберта параметризует замкнутые подмногообразия, чей полином Гильберта равен заданному полиному P. Это глубокая теорема Гротендика о том, что существует схема над k, такая, что для любой k-схемы T существует биекция.

Замкнутая подсхема, соответствующая тождественному отображению, называется универсальной семьей. Для случая , схема Гильберта называется грассманианом r-мерных плоскостей в и, если X является проективной схемой, то называется схемой Фано r-мерных плоскостей на X.

Комплексные проективные сорта

В этом разделе все алгебраические многообразия — комплексные алгебраические многообразия. Ключевой особенностью теории комплексных проективных многообразий является сочетание алгебраических и аналитических методов. Переход между этими теориями обеспечивается следующим: поскольку любой комплексный многочлен также является голоморфной функцией, любое комплексное многообразие X порождает комплексное аналитическое пространство, обозначаемое . Более того, геометрические свойства X отражаются в свойствах ; например, последнее является комплексным многообразием тогда и только тогда, когда X гладкое, и компактно тогда и только тогда, когда X является надлежащим над .

Теорема ГАГА и Чоу

Теорема Чоу предоставляет поразительный способ перехода в обратном направлении, от аналитической к алгебраической геометрии. Она утверждает, что каждая аналитическая подвариация комплексного проективного пространства является алгебраической. Эту теорему можно интерпретировать как утверждение о том, что голоморфная функция, удовлетворяющая определенному условию роста, обязательно является алгебраической: "проективность" обеспечивает это условие роста. Из теоремы можно вывести следующее:

Мероморфные функции на комплексном проективном пространстве рациональны. Если алгебраическое отображение между алгебраическими многообразиями является аналитическим изоморфизмом, то оно является (алгебраическим) изоморфизмом. (Эта часть – базовый факт в комплексном анализе.) В частности, теорема Чоу подразумевает, что голоморфное отображение между проективными многообразиями является алгебраическим. (рассмотрите график такого отображения.) Каждый голоморфный векторный расслоение на проективном многообразии индуцируется единственным алгебраическим векторным расслоением. Каждое голоморфное линейное расслоение на проективном многообразии является линейным расслоением дивизора. Теорему Чоу можно доказать с помощью принципа GAGA Серра. Его основная теорема гласит:

Пусть X – проективная схема над Тогда функтор, сопоставляющий когерентные пучки на X когерентным пучкам на соответствующем комплексно-аналитическом пространстве Xan, является эквивалентностью категорий. Более того, естественные отображения

являются изоморфизмами для всех i и всех когерентных пучков на X.

Комплексные тори против комплексных абелевых сортов

Комплексное многообразие, связанное с абелевым многообразием A, является компактной комплексной группой Ли. Можно показать, что они имеют вид

и также называются комплексными торами. Здесь g — размерность тора, а L — решетка (также называемая решеткой периодов). Согласно теореме об униформизации, упомянутой выше, любой тор размерности 1 возникает из абелева многообразия размерности 1, то есть из эллиптической кривой. Фактически, эллиптическая функция Вейерштрасса, присоединенная к L, удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению и, как следствие, определяет замкнутое погружение:

Существует p-адический аналог — теорема о p-адической униформизации. Для более высоких размерностей понятия комплексных абелевых многообразий и комплексных торов различаются: только поляризованные комплексные торы происходят из абелевых многообразий.