Векторлық функциялардың есебі

Кіріспе

Векторлық есеп немесе векторлық талдау – математиканың векторлық өрістерді дифференциалдау және интегралдаумен айналысатын саласы, көбінесе үш өлшемді Евклид кеңістігінде. Векторлық есептеу термині кейде кең ауқымды көп айнымалы есептеу пәнінің синонимі ретінде қолданылады, ол векторлық есептеуді, сондай-ақ ішінара дифференциалдау мен көптік интегралдауды қамтиды. Векторлық есептеу дифференциалдық геометрия және дербес дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде маңызды рөл атқарады. Ол физика және инженерияда кеңінен қолданылады, әсіресе электромагниттік өрістерді, гравитациялық өрістерді және сұйық ағынын сипаттауда. Векторлық есептеу 19 ғасырдың соңында Дж. Уиллард Гиббс және Оливер Хевисайд кватерниондар теориясынан дамытылды, ал Гиббс пен Эдвин Бидвелл Уилсонның 1901 жылы жарық көрген «Векторлық талдау» кітабында нотация мен терминологияның көп бөлігі қалыптасты. Кросс-көбейтіндіні пайдаланатын стандартты түрінде векторлық есептеу жоғары өлшемдерге жалпыланбаса да, сыртқы көбейтіндіні пайдаланатын геометриялық алгебраның баламалы тәсілі бар (толығырақ білу үшін төмен қараңыз).

Скалярлық өрістер

Скалярлы өріс кеңістіктегі әрбір нүктеге скалярлық шаманы қосады. Скаляр – физикалық шаманы көрсететін математикалық сан. Қолданыстағы скалярлы өрістердің мысалдарына кеңістіктегі температура таралуы, сұйықтықтағы қысым таралуы және Хиггс өрісі сияқты спин-нөлдік кванттық өрістер (скалярлық бозон деп аталады) жатады. Осы өрістер скалярлық өріс теориясының зерттелу пәні болып табылады.

Векторлы өрістер

Векторлық өріс – кеңістіктегі әрбір нүктеге векторды сәйкестендіру. Мысалы, жазықтықтағы векторлық өрісті, жазықтықтағы әрбір нүктеге бекітілген, белгілі шамасы және бағыты бар жебелер жиынтығы ретінде көруге болады. Векторлық өрістер көбінесе, мысалы, кеңістікте қозғалатын сұйықтықтың жылдамдығы мен бағытын немесе магниттік немесе гравитациялық күш сияқты күштің күші мен бағытын, нүктеден нүктеге өзгеретін жағдайларды модельдеу үшін қолданылады. Бұл, мысалы, сызық бойында атқарылған жұмысты есептеу үшін пайдаланылуы мүмкін.

Векторлар мен псевдовекторлар

Көбірек дамыған жағдайларда, псевдовекторлық өрістер мен псевдоскалярлық өрістерді тағы да ажыратады, олар векторлық өрістер мен скалярлық өрістермен бірдей, бірақ бағытын өзгертетін түрлендіруде таңбасы өзгереді: мысалы, векторлық өрістің айналымы псевдовекторлық өріс болып табылады, және егер векторлық өріс көлденеңге айналдырылса, айналым қарама-қарсы бағытта болады. Бұл айырмашылық геометриялық алгебрада нақтырақ түсіндіріліп, кеңейтіледі, төменде сипатталғандай.

Оңтайландыру

Бірнеше нақты айнымалылардың үздіксіз дифференциалданатын функциясы үшін, P нүктесі (яғни, кіріс айнымалыларының мәндерінің жиынтығы, ол 'R'^(n) кеңістігіндегі нүкте ретінде қарастырылады) сындық нүкте болып есептеледі, егер функцияның барлық ішінара туындылары P нүктесінде нөлге тең болса, немесе, эквивалентті түрде, оның градиенті нөл болса. Сындық мәндер – функцияның сындық нүктелердегі мәндері. Егер функция тегіс болса, немесе кем дегенде екі рет үздіксіз дифференциалданатын болса, сындық нүкте жергілікті максимум, жергілікті минимум немесе шеке нүктесі болуы мүмкін. Осы жағдайларды екінші туындылардың Гессен матрицасының өзіндік мәндерін қарастыру арқылы ажыратуға болады. Ферма теоремасы бойынша, дифференциалданатын функцияның барлық жергілікті максимумдары мен минимумдары сындық нүктелерде орналасады. Сондықтан, жергілікті максимумдар мен минимумдарды табу үшін, теориялық тұрғыдан, градиенттің нөлдерін және осы нөлдердегі Гессен матрицасының өзіндік мәндерін есептеу жеткілікті.

Жалпылау

Векторлық есептеуді басқа 3-өлшемді кеңістіктерге және одан да жоғары өлшемді кеңістіктерге жалпылауға болады.

Түрлі 3-көптік

Векторлық есептеу бастапқыда Евклидтік 3 кеңістігі үшін анықталады, оның 3 өлшемді нақты векторлық кеңістіктен өзгеше қосымша құрылымы бар, атап айтқанда: ішкі көбейтінді (скалярлық көбейтінді) арқылы анықталатын норма (ұзындық туралы түсінік беру), бұл өз кезегінде бұрыш туралы түсінік береді, сондай-ақ сол және оң жақты бағдар туралы түсінік береді. Бұл құрылымдар көлем формасын және векторлық есептеуде кеңінен қолданылатын векторлық көбейтіндіні (көлденең көбейтінді) тудырады. Градиент пен дивергенцияны есептеу үшін тек ішкі көбейтінді ғана қажет, ал керлеу мен векторлық көбейтіндіге координата жүйесінің бағдары да ескерілуі керек (толықрақ мәлімет үшін қараңыз). Векторлық есептеуді басқа 3 өлшемді нақты векторлық кеңістіктерде де анықтауға болады, егер оларда ішкі көбейтінді (немесе жалпы алғанда симметриялық дегенерацияланбаған форма) және бағдар болса; бұл Евклид кеңістігіне изоморфизмге қарағанда аз мәліметтерді талап етеді, себебі ол координаталар жиынтығын (есептеу жүйесін) қажет етпейді, бұл векторлық есептеудің айналуларға қатысты өзгермейтін (инвариантты) екенін көрсетеді (арнайы ортогональды топ SO(3)). Көбірек жалпылаған түрде, векторлық есептеу кез келген 3 өлшемді бағдарланған Римандық көптүрлілікте немесе жалпы алғанда псевдо-Римандық көптүрлілікте анықталуы мүмкін. Бұл құрылым жай ғана әрбір нүктедегі жанама кеңістіктің ішкі көбейтіндісі (жалпы алғанда, симметриялық дегенерацияланбаған форма) және бағдарға ие екенін, немесе жаһандық тұрғыдан симметриялық дегенерацияланбаған метрикалық тензор мен бағдарға ие екенін білдіреді, және бұл векторлық есептеу әрбір нүктедегі жанама векторлар арқылы анықталатындықтан жұмыс істейді.

Басқа өлшемдер

Аналитикалық нәтижелердің көпшілігі дифференциалдық геометрияның құралдарын қолдану арқылы, оның ішінде векторлық есептеудің кіші жиынын пайдаланып, жалпы формада оңай түсініледі. Град және див бірден басқа өлшемдерге жалпыланады, сондай-ақ градиент теоремасы, дивергенция теоремасы және Лапласиан (гармоникалық талдауға мүмкіндік береді), ал керл және векторлық көбейту тікелей жалпыланбайды. Жалпы алғанда, (3 өлшемді) векторлық есептеудегі әртүрлі өрістер біркелкі k векторлық өрістер ретінде қарастырылады: скалярлық өрістер – 0 векторлық өрістер, векторлық өрістер – 1 векторлық өрістер, псевдовекторлық өрістер – 2 векторлық өрістер және псевдоскалярлық өрістер – 3 векторлық өрістер. Жоғары өлшемдерде өрістердің қосымша түрлері бар (скалярлық, векторлық, псевдовекторлық немесе псевдоскалярлық, 0, 1, n − 1 немесе n өлшемдеріне сәйкес келеді, бұл 3-өлшемде толық болады), сондықтан (псевдо)скалярлар мен (псевдо)векторлармен ғана жұмыс істеу жеткіліксіз. Кез келген өлшемде, дегенерацияланбаған форманы қабылдасақ, скалярлық функцияның грады – векторлық өріс, ал векторлық өрістің див – скалярлық функция болады, бірақ тек 3-ші немесе 7-ші өлшемде (және тривиальды түрде 0-шы немесе 1-ші өлшемде) ғана векторлық өрістің керлі – векторлық өріс, және тек 3-ші немесе 7-ші өлшемде ғана векторлық көбейту анықталады (басқа өлшемдердегі жалпылаулар 1 вектор алу үшін векторларды қажет етеді немесе антисимметриялық билинейлік өнімдер болып табылатын Lie алгебралары). Град және див-тің жалпылануы, сондай-ақ керлдің қалай жалпылануы Curl § Generalizations бөлімінде егжей-тегжейлі қарастырылған; қысқаша айтқанда, векторлық өрістің керлі – бұл бивекторлық өріс, оны шексіз айналымдардың арнайы ортогоналды Lie алгебрасы ретінде қарастыруға болады; алайда, оны векторлық өріспен сәйкестендіруге болмайды, өйткені өлшемдері әртүрлі – 3 өлшемде айналымдардың 3 өлшемі бар, ал 4 өлшемде айналымдардың 6 өлшемі (және жалпы алғанда n өлшемде айналымдардың өлшемдері). Векторлық есептеудің екі маңызды баламалы жалпылануы бар. Біріншісі, геометриялық алгебра, векторлық өрістердің орнына k векторлық өрістерді қолданады (3 немесе одан аз өлшемде әр k векторлық өрісті скалярлық функциямен немесе векторлық өріспен сәйкестендіруге болады, бірақ бұл жоғары өлшемдерде дұрыс емес). Бұл үш өлшемге тән екі векторлық өрісті қабылдап, векторлық өріс беретін векторлық көбейтуді барлық өлшемдерде бар және екі векторлық өрісті қабылдап, бивекторлық (2 векторлық) өріс беретін сыртқы көбейтумен алмастырады. Бұл көбейту векторлық кеңістіктердегі алгебралық құрылым ретінде Клиффорд алгебраларын тудырады (бағытталуы және дегенерацияланбаған формасы бар). Геометриялық алгебра көбінесе физиканың жалпылауында және басқа да қолданбалы салаларда жоғары өлшемдерде қолданылады. Екінші жалпылау векторлық өрістердің немесе k векторлық өрістердің орнына дифференциалдық формаларды (k ковекторлық өрістерді) қолданады және математикада, әсіресе дифференциалдық геометрияда, геометриялық топологияда және гармоникалық талдауда кеңінен қолданылады, әсіресе бағытталған псевдо-Риманн көптүрліліктері туралы Ходж теориясын тудырады. Осы тұрғыдан алғанда, град, керл және див 0 формалардың, 1 формалардың және 2 формалардың сыртқы туындысына сәйкес келеді, ал векторлық есептеудің негізгі теоремалары – бұл Стокстің теоремасының жалпы түрінің арнайы жағдайлары. Осы екі жалпылаудың тұрғысынан алғанда, векторлық есептеу математикалық жағынан ерекше объектілерді байқалмай анықтайды, бұл ұсынылымды қарапайым етеді, бірақ негізгі математикалық құрылым мен жалпылауларды нашарлайды. Геометриялық алгебра тұрғысынан алғанда, векторлық есептеу k векторлық өрістерді векторлық өрістермен немесе скалярлық функциялармен жасырын түрде сәйкестендіреді: 0 вектор және 3 вектор – скалярлармен, 1 вектор және 2 вектор – векторлармен. Дифференциалдық формалар тұрғысынан алғанда, векторлық есептеу k формаларды скалярлық өрістермен немесе векторлық өрістермен ымырасыз түрде сәйкестендіреді: 0 форма және 3 форма – скалярлық өрістермен, 1 форма және 2 форма – векторлық өрістермен. Осылайша, мысалы, керл табиғи түрде кіріс ретінде векторлық өрісті немесе 1 форманы қабылдайды, бірақ табиғи түрде шығыс ретінде 2 векторлық өрісті немесе 2 форманы (осыдан псевдовекторлық өріс) береді, ол векторлық өріске тікелей векторлық өрісті берудің орнына векторлық өріс ретінде түсіндіріледі; бұл жоғары өлшемдегі векторлық өрістің керлінің векторлық өріс шығару ретінде болмауында көрінеді.

Most of the analytic results are easily understood, in a more general form, using the machinery of differential geometry, of which vector calculus forms a subset. Grad and div generalize immediately to other dimensions, as do the gradient theorem, divergence theorem, and Laplacian (yielding harmonic analysis), while curl and cross product do not generalize as directly. From a general point of view, the various fields in (3 dimensional) vector calculus are uniformly seen as being k vector fields: scalar fields are 0 vector fields, vector fields are 1 vector fields, pseudovector fields are 2 vector fields, and pseudoscalar fields are 3 vector fields. In higher dimensions there are additional types of fields (scalar, vector, pseudovector or pseudoscalar corresponding to 0, 1, n − 1 or n dimensions, which is exhaustive in dimension 3), so one cannot only work with (pseudo)scalars and (pseudo)vectors. In any dimension, assuming a nondegenerate form, grad of a scalar function is a vector field, and div of a vector field is a scalar function, but only in dimension 3 or 7 (and, trivially, in dimension 0 or 1) is the curl of a vector field a vector field, and only in 3 or 7 dimensions can a cross product be defined (generalizations in other dimensionalities either require vectors to yield 1 vector, or are alternative Lie algebras, which are more general antisymmetric bilinear products). The generalization of grad and div, and how curl may be generalized is elaborated at Curl § Generalizations; in brief, the curl of a vector field is a bivector field, which may be interpreted as the special orthogonal Lie algebra of infinitesimal rotations; however, this cannot be identified with a vector field because the dimensions differ – there are 3 dimensions of rotations in 3 dimensions, but 6 dimensions of rotations in 4 dimensions (and more generally dimensions of rotations in n dimensions). There are two important alternative generalizations of vector calculus. The first, geometric algebra, uses k vector fields instead of vector fields (in 3 or fewer dimensions, every k vector field can be identified with a scalar function or vector field, but this is not true in higher dimensions). This replaces the cross product, which is specific to 3 dimensions, taking in two vector fields and giving as output a vector field, with the exterior product, which exists in all dimensions and takes in two vector fields, giving as output a bivector (2 vector) field. This product yields Clifford algebras as the algebraic structure on vector spaces (with an orientation and nondegenerate form). Geometric algebra is mostly used in generalizations of physics and other applied fields to higher dimensions. The second generalization uses differential forms (k covector fields) instead of vector fields or k vector fields, and is widely used in mathematics, particularly in differential geometry, geometric topology, and harmonic analysis, in particular yielding Hodge theory on oriented pseudo Riemannian manifolds. From this point of view, grad, curl, and div correspond to the exterior derivative of 0 forms, 1 forms, and 2 forms, respectively, and the key theorems of vector calculus are all special cases of the general form of Stokes' theorem. From the point of view of both of these generalizations, vector calculus implicitly identifies mathematically distinct objects, which makes the presentation simpler but the underlying mathematical structure and generalizations less clear. From the point of view of geometric algebra, vector calculus implicitly identifies k vector fields with vector fields or scalar functions: 0 vectors and 3 vectors with scalars, 1 vectors and 2 vectors with vectors. From the point of view of differential forms, vector calculus implicitly identifies k forms with scalar fields or vector fields: 0 forms and 3 forms with scalar fields, 1 forms and 2 forms with vector fields. Thus for example the curl naturally takes as input a vector field or 1 form, but naturally has as output a 2 vector field or 2 form (hence pseudovector field), which is then interpreted as a vector field, rather than directly taking a vector field to a vector field; this is reflected in the curl of a vector field in higher dimensions not having as output a vector field.