Введение
Исчисление векторно-значных функций
Векторный анализ — это раздел математики, посвященный дифференцированию и интегрированию векторных полей, преимущественно в трехмерном евклидовом пространстве. Термин «векторный анализ» иногда используется как синоним более широкой области многомерного исчисления, которая включает в себя векторный анализ, а также частное дифференцирование и кратные интегралы. Векторный анализ играет важную роль в дифференциальной геометрии и в изучении частных дифференциальных уравнений. Он широко применяется в физике и инженерии, особенно при описании электромагнитных полей, гравитационных полей и течения жидкости. Векторный анализ был разработан на основе теории кватернионов Дж. Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом в конце XIX века, а большая часть обозначений и терминологии была установлена Гиббсом и Эдвином Бидвеллом Уилсоном в их книге 1901 года «Векторный анализ». В своей стандартной форме, использующей векторное произведение, векторный анализ не обобщается на более высокие размерности, но альтернативный подход геометрической алгебры, использующий внешнее произведение, позволяет это сделать (см. ниже для получения дополнительной информации).
Скалярные поля
Скалярное поле связывает скалярную величину с каждой точкой пространства. Скаляр – это математическое число, представляющее физическую величину. Примеры скалярных полей в приложениях включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля со спином ноль (известные как скалярные бозоны), такие как поле Хиггса. Эти поля являются предметом изучения теории скалярных полей.
Векторные поля
Векторное поле — это отображение, сопоставляющее вектор каждой точке пространства. Например, векторное поле на плоскости можно представить как множество стрелок с определенной величиной и направлением, прикрепленных к каждой точке плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или величины и направления некоторой силы, такой как магнитная или гравитационная, изменяющихся от точки к точке. Это может быть использовано, например, для вычисления работы, совершаемой вдоль линии.
Векторы и псевдовекторы
В более продвинутых подходах дополнительно различают псевдовекторные и псевдоскалярные поля, которые идентичны векторным и скалярным полям, за исключением того, что они меняют знак при преобразовании, меняющем ориентацию: например, ротор векторного поля является псевдовекторным полем, и если отразить векторное поле, то ротор будет указывать в противоположном направлении. Это различие проясняется и подробно рассматривается в геометрической алгебре, как описано ниже.
Оптимизация
Для непрерывно дифференцируемой функции нескольких вещественных переменных, точка P (то есть набор значений входных переменных, рассматриваемый как точка в Rⁿ) является критической, если все частные производные функции равны нулю в точке P, или, что эквивалентно, если её градиент равен нулю. Критические значения – это значения функции в критических точках. Если функция гладкая или, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируема, критическая точка может быть локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой. Различные случаи можно различить, рассматривая собственные значения гессианской матрицы вторых производных. Согласно теореме Ферма, все локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции достигаются в критических точках. Следовательно, для нахождения локальных максимумов и минимумов теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения гессианской матрицы в этих нулях.
Обобщения
Векторное исчисление также может быть обобщено на другие трёхмерные многообразия и пространства более высокой размерности.
Различные 3-многообразные
Векторное исчисление изначально определяется для евклидова 3-мерного пространства, которое обладает дополнительной структурой, помимо простого трехмерного вещественного векторного пространства, а именно: норма (определяющая понятие длины), задаваемая через внутреннее произведение (скалярное произведение), которое, в свою очередь, определяет понятие угла, и ориентация, определяющая понятия право- и левосторонняя система координат. Эти структуры порождают форму объёма, а также векторное произведение, которое широко используется в векторном исчислении. Для вычисления градиента и дивергенции достаточно внутреннего произведения, в то время как для вычисления ротора и векторного произведения также необходимо учитывать ориентацию системы координат (см. подробности). Векторное исчисление может быть определено на других трехмерных вещественных векторных пространствах, если они обладают внутренним произведением (или, в более общем случае, симметричной невырожденной формой) и ориентацией; это требует меньше данных, чем изоморфизм в евклидово пространство, поскольку не требует задания системы координат (системы отсчета), что отражает инвариантность векторного исчисления относительно вращений (специальной ортогональной группы SO(3)). В более общем смысле, векторное исчисление может быть определено на любом трехмерном ориентированном римановом многообразии или, в более широком смысле, псевдоримановом многообразии. Эта структура означает, что касательное пространство в каждой точке имеет внутреннее произведение (или, в более общем случае, симметричную невырожденную форму) и ориентацию, или, глобально, существует симметричный невырожденный метрический тензор и ориентация. Это работает, поскольку векторное исчисление определяется в терминах касательных векторов в каждой точке.
Другие размеры
Большинство аналитических результатов легко понять в более общей форме, используя аппарат дифференциальной геометрии, подмножеством которой является векторный анализ. Градиент и дивергенция сразу же обобщаются на другие размерности, как и теорема о градиенте, теорема о дивергенции и лапласиан (приводящий к гармоническому анализу), в то время как ротор и векторное произведение не обобщаются столь прямолинейно. С общей точки зрения, различные поля в (3-мерном) векторном анализе единообразно рассматриваются как k-векторные поля: скалярные поля – это 0-векторные поля, векторные поля – это 1-векторные поля, псевдовекторные поля – это 2-векторные поля, а псевдоскалярные поля – это 3-векторные поля. В более высоких размерностях существуют дополнительные типы полей (скалярные, векторные, псевдовекторные или псевдоскалярные, соответствующие 0, 1, n-1 или n измерениям, что исчерпывающе для размерности 3), поэтому нельзя ограничиваться только (псевдо)скалярами и (псевдо)векторами. В любой размерности, предполагая вырожденную форму, градиент скалярной функции является векторным полем, а дивергенция векторного поля – скалярной функцией, но только в размерностях 3 или 7 (и тривиально в размерностях 0 или 1) ротор векторного поля является векторным полем, и только в 3 или 7 измерениях можно определить векторное произведение (обобщения в других размерностях либо требуют, чтобы векторы давали 1 вектор, либо являются альтернативными алгебрами Ли, которые представляют собой более общие антисимметричные билинейные произведения). Обобщение градиента и дивергенции, а также способы обобщения ротора подробно описаны в разделе Curl § Обобщения; вкратце, ротор векторного поля является бивекторным полем, которое можно интерпретировать как специальную ортогональную алгебру Ли бесконечно малых вращений; однако его нельзя отождествить с векторным полем, поскольку размерности различаются: в 3 измерениях 3 измерения вращений, а в 4 измерениях – 6 (и в общем случае n измерений вращений в n измерениях). Существует два важных альтернативных обобщения векторного анализа. Первое, геометрическая алгебра, использует k-векторные поля вместо векторных полей (в 3 или менее измерениях каждое k-векторное поле можно отождествить со скалярной функцией или векторным полем, но это неверно в более высоких размерностях). Это заменяет векторное произведение, специфичное для 3 измерений, которое принимает два векторных поля и выдает векторное поле, внешним произведением, которое существует во всех измерениях и принимает два векторных поля, выдавая бивекторное (2-векторное) поле. Этот продукт дает алгебры Клиффорда как алгебраическую структуру на векторных пространствах (с ориентацией и невырожденной формой). Геометрическая алгебра в основном используется в обобщениях физики и других прикладных областей на более высокие размерности. Второе обобщение использует дифференциальные формы (k-ковекторные поля) вместо векторных полей или k-векторных полей и широко используется в математике, особенно в дифференциальной геометрии, геометрической топологии и гармоническом анализе, в частности, приводя к теории Ходжа на ориентированных псевдоримановых многообразиях. С этой точки зрения, градиент, ротор и дивергенция соответствуют внешней производной 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно, а ключевые теоремы векторного анализа являются частными случаями общей формы теоремы Стокса. С точки зрения обоих этих обобщений, векторный анализ неявно отождествляет математически различные объекты, что упрощает представление, но делает основную математическую структуру и обобщения менее ясными. С точки зрения геометрической алгебры, векторный анализ неявно отождествляет k-векторные поля с векторными полями или скалярными функциями: 0-векторы и 3-векторы со скалярами, 1-векторы и 2-векторы с векторами. С точки зрения дифференциальных форм, векторный анализ неявно отождествляет k-формы со скалярными полями или векторными полями: 0-формы и 3-формы со скалярными полями, 1-формы и 2-формы с векторными полями. Таким образом, например, ротор естественным образом принимает в качестве входных данных векторное поле или 1-форму, но естественным образом выдает 2-векторное поле или 2-форму (следовательно, псевдовекторное поле), которое затем интерпретируется как векторное поле, а не напрямую преобразует векторное поле в векторное поле; это отражается в том, что ротор векторного поля в более высоких размерностях не выдает векторное поле.