Вириал теоремасы: статистикалық механикадағы жүйелердің кинетикалық және потенциалдық энергиясы арасындағы қатынас. Тепе-теңдіксіз жүйелерге де қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Статистикалық механика теоремасы
Theorem of statistical mechanics
Статистикалық механикада вириал теоремасы консервативті күшпен (тек жұмысымен сипатталатын күштер) байланысты дискретті бөлшектердің тұрақты жүйесінің жалпы кинетикалық энергиясының уақыт бойынша орташа мәнін жүйедегі жалпы потенциалдық энергиямен байланыстыратын жалпы теңдеуді ұсынады. Математикалық тұрғыдан теорема былай тұжырымдалады:
In statistical mechanics, the virial theorem provides a general equation that relates the average over time of the total kinetic energy of a stable system of discrete particles, bound by a conservative force (forces characterized exclusively by their work), with that of the total potential energy of the system. Mathematically, the theorem states
мұнда T – N бөлшектердің жалпы кинетикалық энергиясы, 'F'k – 'r'k' позициясында орналасқан k-шы бөлшекке әсер ететін күш, ал бұрыштық жақшалар – жақша ішіндегі шаманың уақыт бойынша орташа мәнін білдіреді. Теңдеудің оң жағындағы «вириал» сөзі латын тіліндегі «күш» немесе «энергия» мағынасын беретін «vis» сөзінен шыққан және 1870 жылы Рудольф Клаузиус бұл сөздің техникалық анықтамасын берген. Вириал теоремасының маңызы – ол статистикалық механикада қарастырылатын, дәл шешімі жоқ өте күрделі жүйелер үшін де орташа жалпы кинетикалық энергияны есептеуге мүмкіндік береді; бұл орташа жалпы кинетикалық энергия тепе-теңдік теоремасы арқылы жүйенің температурасына байланысты. Алайда, вириал теоремасы температура түсінігіне тәуелді емес және тіпті жылулық тепе-теңдікте емес жүйелер үшін де қолданылады. Вириал теоремасы әр түрлі жолдармен, ең бастысы – тензорлық формада жалпыландырылған. Егер жүйенің кез келген екі бөлшегі арасындағы күш 1=V(r) = αr^(n) потенциалдық энергиясынан туындаса, ол бөлшектер аралық қашықтықтың n-ші дәрежесіне пропорционалды болса, онда вириал теоремасы қарапайым түйінге ие болады:
where T is the total kinetic energy of the N particles, 'F'k represents the force on the kth particle, which is located at position 'r'k, and angle brackets represent the average over time of the enclosed quantity. The word virial for the right hand side of the equation derives from vis, the Latin word for "force" or "energy", and was given its technical definition by Rudolf Clausius in 1870. The significance of the virial theorem is that it allows the average total kinetic energy to be calculated even for very complicated systems that defy an exact solution, such as those considered in statistical mechanics; this average total kinetic energy is related to the temperature of the system by the equipartition theorem. However, the virial theorem does not depend on the notion of temperature and holds even for systems that are not in thermal equilibrium. The virial theorem has been generalized in various ways, most notably to a tensor form. If the force between any two particles of the system results from a potential energy 1=V(r) = αr^(n) that is proportional to some power n of the interparticle distance r, the virial theorem takes the simple form
Осылайша, орташа жалпы кинетикалық энергияның екі есесі орташа жалпы потенциалдық энергияның n есесіне тең. Егер V(r) қашықтықтағы екі бөлшектің арасындағы потенциалдық энергияны білдірсе, ал VTOT жүйенің жалпы потенциалдық энергиясын, яғни жүйедегі барлық бөлшек жұптары үшін потенциалдық энергия V(r) қосындысын білдіреді. Мұндай жүйенің кең таралған мысалы – өз гравитациясымен бірге ұсталатын жұлдыз, онда n тең −1.
Thus, twice the average total kinetic energy equals n times the average total potential energy Whereas V(r) represents the potential energy between two particles of distance r, VTOT represents the total potential energy of the system, i. e., the sum of the potential energy V(r) over all pairs of particles in the system. A common example of such a system is a star held together by its own gravity, where n equals −1.
Тарих
1870 жылы Рудольф Клаузиус 20 жылдық термодинамика зерттеулерінен кейін «Жылуға қолданылатын механикалық теорема туралы» лекциясын Төменгі Рейн аймағының Табиғат және медицина ғылымдары қауымдастығына оқыды. Лекцияда жүйенің орташа вис вивасы оның вириалына тең, яғни орташа кинетикалық энергиясы орташа потенциалдық энергиясына тең екені айтылды. Вириал теоремасын Лагранждың классикалық гравитациялық динамикада қолданылған өзіндігінен тікелей алуға болады, оның бастапқы нысаны Лагранждың 1772 жылы жарияланған «Үш дене проблемасы туралы эссе» кітабында келтірілген. Карл Якобидің N денеге қатысты өзіндіктің жалпылануы және Лапластың өзіндігінің қазіргі түрі классикалық вириал теоремасына өте ұқсас. Дегенмен, теңдеулерді жасауға әкелген түсіндірмелер мүлдем басқаша болды, себебі сол кезде статистикалық динамика термодинамика мен классикалық динамиканың жекелеген зерттеулерін біріктірмеген еді. Кейіннен теореманы Джеймс Клерк Максвелл, Лорд Рэйли, Анри Пуанкаре, Субрахманян Чандрасекар, Энрико Ферми, Пол Леду, Ричард Бадер және Юджин Паркер қолданып, танымал етіп, одан әрі дамытты. Фриц Цвикки вириал теоремасын қолданып, алғаш рет көзге көрінбейтін материяның бар екенін анықтады, ол қазір қара материя деп аталады. Ричард Бадер жалпы жүйенің заряд таралуын вириал теоремасын қанағаттандыратын кинетикалық және потенциалдық энергияларға бөлуге болатынын көрсетті. Оның көптеген қолданыстарының бір мысалы ретінде вириал теоремасы ақ ергежейлі жұлдыздардың тұрақтылығы үшін Чандрасекар шегін шығару үшін қолданылды.
In 1870, Rudolf Clausius delivered the lecture "On a Mechanical Theorem Applicable to Heat" to the Association for Natural and Medical Sciences of the Lower Rhine, following a 20 year study of thermodynamics. The lecture stated that the mean vis viva of the system is equal to its virial, or that the average kinetic energy is equal to the average potential energy. The virial theorem can be obtained directly from Lagrange's identity as applied in classical gravitational dynamics, the original form of which was included in Lagrange's "Essay on the Problem of Three Bodies" published in 1772. Karl Jacobi's generalization of the identity to N bodies and to the present form of Laplace's identity closely resembles the classical virial theorem. However, the interpretations leading to the development of the equations were very different, since at the time of development, statistical dynamics had not yet unified the separate studies of thermodynamics and classical dynamics. The theorem was later utilized, popularized, generalized and further developed by James Clerk Maxwell, Lord Rayleigh, Henri Poincaré, Subrahmanyan Chandrasekhar, Enrico Fermi, Paul Ledoux, Richard Bader and Eugene Parker. Fritz Zwicky was the first to use the virial theorem to deduce the existence of unseen matter, which is now called dark matter. Richard Bader showed the charge distribution of a total system can be partitioned into its kinetic and potential energies that obey the virial theorem. As another example of its many applications, the virial theorem has been used to derive the Chandrasekhar limit for the stability of white dwarf stars.
Үлгілік ерекше жағдай
Бір-біріне тартымды күштер әсер ететін, массасы бірдей 1=N = 2 бөлшекті қарастырайық. Бөлшектер радиусы r шеңберлік орбитаның диаметрлік қарама-қарсы нүктелерінде орналасқан деп есейік. Олардың жылдамдықтары 'v'1(t) және 1='v'2(t) = −'v'1(t) болып табылады, бұл жылдамдықтар 'F'1(t) және 1='F'2(t) = −'F'1(t) күштеріне перпендикуляр. Тиісті шамалар v және F ретінде белгіленеді. t1-ден t2 уақыт аралығындағы жүйедегі орташа кинетикалық энергиясы:
Consider 1=N = 2 particles with equal mass m, acted upon by mutually attractive forces. Suppose the particles are at diametrically opposite points of a circular orbit with radius r. The velocities are 'v'1(t) and 1='v'2(t) = −'v'1(t), which are normal to forces 'F'1(t) and 1='F'2(t) = −'F'1(t). The respective magnitudes are fixed at v and F. The average kinetic energy of the system in an interval of time from t1 to t2 is
Масса орталығын координаталардың басы ретінде қабылдасақ, бөлшектердің координаттары 'r'1(t) және 1='r'2(t) = −'r'1(t) болады, олардың ұзындығы r-ға тең. Тартымды күштер координаталар бағытына қарама-қарсы бағытта әрекет етеді, сондықтан 1='F'1(t) ⋅ 'r'1(t) = 'F'2(t) ⋅ 'r'2(t) = −Fr. Орталыққа тартқыш күш формуласын қолдансақ, 1=F = mv^(2)/r, мына нәтиже шығады:
Taking center of mass as the origin, the particles have positions 'r'1(t) and 1='r'2(t) = −'r'1(t) with fixed magnitude r. The attractive forces act in opposite directions as positions, so 1='F'1(t) ⋅ 'r'1(t) = 'F'2(t) ⋅ 'r'2(t) = −Fr. Applying the centripetal force formula 1=F = mv^(2)/r results in:
қажетті нәтиже. Ескерту: Егер координаталардың басы жылдырылса да, сол нәтижеге жетеміз. Себебі, тең және қарама-қарсы күштер 'F'1(t), 'F'2(t) пен орын ауыстырудың векторлық көбейтіндісі толыққанды жойылады.
as required. Note: If the origin is displaced then we'd obtain the same result. This is because the dot product of the displacement with equal and opposite forces 'F'1(t), 'F'2(t) results in net cancellation.
Мысалдар
Вириал теоремасы периодтық қозғалыс үшін ерекше қарапайым формаға ие. Оны сызықтық емес осцилляторлар үшін бұзылыс есептеулер жүргізуге болады. Сондай-ақ, орталық потенциалдағы қозғалысты зерттеу үшін де қолданылуы мүмкін.
The virial theorem has a particularly simple form for periodic motion. It can be used to perform perturbative calculation for nonlinear oscillators. It can also be used to study motion in a central potential.
Қара зат
1933 жылы Фриц Цвикки Вириал теоремасын қолданып, Кома шоғырының массасын есептеді және шамамен 450-ге жуық масса айырмашылығын анықтады, оны "қара материя" салдары деп түсіндірді. 1937 жылы ол талдауды жетілдіріп, шамамен 500-ге жуық айырмашылықты тапты.
In 1933, Fritz Zwicky applied the virial theorem to estimate the mass of Coma Cluster, and discovered a discrepancy of mass of about 450, which he explained as due to "dark matter". He refined the analysis in 1937, finding a discrepancy of about 500.
Деректер
1903 жылы ішінара қайта басылды. Генри Пуанкаре 1911 жылы протожұлдыздық бұлттан (кейін космогония деп аталған) Күн жүйесінің қалыптасу мәселесіне вириал теоремасының бір түрін дәлелдеді және қолданды. 1945 жылы Леду вириал теоремасының вариациялық түрін жасады. Паркер, Чандрасекар және Ферми вириал теоремасының тензорлық түрін жасады. 1964 жылы Поллард кері квадрат заңы жағдайында вириал теоремасының келесі жалпыламасын белгіледі: Басқа жағдайда шекаралық мүше қосылуы тиіс.
Zwicky which was partially reprinted in 1903. Henri Poincaré proved and applied a form of the virial theorem in 1911 to the problem of formation of the Solar System from a proto stellar cloud (then known as cosmogony). A variational form of the virial theorem was developed in 1945 by Ledoux. A tensor form of the virial theorem was developed by Parker, Chandrasekhar and Fermi. The following generalization of the virial theorem has been established by Pollard in 1964 for the case of the inverse square law:
A boundary term otherwise must be added.
Астрофизикада
Вириал теоремасы астрофизикада жиі қолданылады, әсіресе жүйенің гравитациялық потенциалдық энергиясын оның кинетикалық немесе жылулық энергиясына қатысты анықтауда. Кейбір жалпы вириалдық қатынастар:
The virial theorem is frequently applied in astrophysics, especially relating the gravitational potential energy of a system to its kinetic or thermal energy. Some common virial relations are
массасы M, радиусы R, жылдамдығы v және температурасы T үшін. Тұрақтылар – Ньютонның гравитациялық тұрақтысы G, Болцман тұрақтысы kB және протон массасы mp. Аталған қатынастар шамамен ғана екенін, ал көбінесе басты сандық коэффициенттер (мысалы, немесе ) толығымен ескерілмейді екенін атап өту керек.
for a mass M, radius R, velocity v, and temperature T. The constants are Newton's constant G, the Boltzmann constant kB, and proton mass mp. Note that these relations are only approximate, and often the leading numerical factors (e. g. or ) are neglected entirely.
Жұлдыздар
Вириал теоремасы жұлдыздардың ядроларына қатысты қолданылады, гравитациялық потенциалдық энергия мен жылулық кинетикалық энергия (яғни температура) арасындағы байланысты белгілей отырып. Негізгі тізбектегі жұлдыздар өз ядроларында сутегін гелийге айналдырғанда, ядроның орташа молекулалық массасы артады және өз салмағын ұстап тұру үшін жеткілікті қысымды сақтау үшін оның қысылуы керек. Бұл қысылу оның потенциалдық энергиясын азайтады және вириал теоремасы бойынша оның жылу энергиясын арттырады. Энергия жоғалған кезде де ядроның температурасы артады, бұл теріс жылу сыйымдылығына тең. Бұл процесс негізгі тізбектен кейін де жалғаса береді, егер ядро дегенерацияға ұшырамаса, себебі дегенерация қысымды температурадан тәуелсіз етеді және n = -1 вириалдық қатынасы осыдан кейін күшін жояды.
The virial theorem is applicable to the cores of stars, by establishing a relation between gravitational potential energy and thermal kinetic energy (i. e. temperature). As stars on the main sequence convert hydrogen into helium in their cores, the mean molecular weight of the core increases and it must contract to maintain enough pressure to support its own weight. This contraction decreases its potential energy and, the virial theorem states, increases its thermal energy. The core temperature increases even as energy is lost, effectively a negative specific heat. This continues beyond the main sequence, unless the core becomes degenerate since that causes the pressure to become independent of temperature and the virial relation with n equals −1 no longer holds.