Введение

Теорема статистической механики

В статистической механике теорема вириала представляет собой общее уравнение, связывающее среднее по времени полной кинетической энергии стабильной системы дискретных частиц, связанных консервативной силой (силы, характеризующиеся исключительно своей работой), с полной потенциальной энергией системы. Математически теорема утверждает, что

где T – это полная кинетическая энергия N частиц, 'F'k – сила, действующая на k-ю частицу, находящуюся в положении 'r'k, а угловые скобки обозначают среднее по времени заключенного в них выражения. Слово "вириал" для правой части уравнения происходит от латинского слова *vis*, означающего "сила" или "энергия", и получило свое техническое определение от Рудольфа Клаузиуса в 1870 году. Значение теоремы вириала заключается в том, что она позволяет рассчитать среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, не имеющих точного решения, таких как системы, рассматриваемые в статистической механике; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температурой системы теоремой об равнораспределении энергии. Однако теорема вириала не зависит от понятия температуры и справедлива даже для систем, не находящихся в тепловом равновесии. Теорема вириала была обобщена различными способами, в частности, до тензорной формы. Если сила между любыми двумя частицами системы является результатом потенциальной энергии V(r) = αr^(n), пропорциональной некоторой степени n расстояния между частицами r, то теорема вириала принимает простую форму:

Таким образом, удвоенная средняя полная кинетическая энергия равна n, умноженному на среднюю полную потенциальную энергию. При этом V(r) представляет потенциальную энергию между двумя частицами на расстоянии r, VTOT – полную потенциальную энергию системы, то есть сумму потенциальной энергии V(r) по всем парам частиц в системе. Типичным примером такой системы является звезда, удерживаемая собственной гравитацией, где n равно −1.

История

В 1870 году Рудольф Клаузиус выступил с лекцией "О механической теореме, применимой к теплу" перед Ассоциацией естественных и медицинских наук Нижнего Рейна, после двадцатилетнего изучения термодинамики. В лекции утверждалось, что средняя вис вива системы равна ее вириалу, или, иными словами, средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии. Вириальная теорема может быть непосредственно получена из тождества Лагранжа, применяемого в классической гравитационной динамике, исходная форма которого была включена в "Очерк о проблеме трех тел" Лагранжа, опубликованный в 1772 году. Обобщение, предложенное Карлом Якоби для N тел, и современная форма тождества Лапласа тесно перекликаются с классической теоремой вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке этих уравнений, существенно различались, поскольку в момент их создания статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики. Впоследствии теорему использовали, популяризировали, обобщили и развили Джеймс Клерк Максвелл, лорд Рэлей, Анри Пуанкаре, Субрахманьян Чандрасекар, Энрико Ферми, Поль Леду, Ричард Бадер и Юджин Паркер. Фриц Цвикки первым применил теорему вириала для вывода существования невидимой материи, которую теперь называют темной материей. Ричард Бадер показал, что распределение заряда в общей системе можно разложить на кинетическую и потенциальную энергии, удовлетворяющие теореме вириала. В качестве еще одного примера ее многочисленных применений, теорема вириала была использована для вывода предела Чандрасекара, определяющего стабильность белых карликов.

Илюстративный особый случай

Рассмотрим N = 2 частицы с одинаковой массой m, на которые действуют взаимно притягивающие силы. Предположим, что частицы находятся в диаметрально противоположных точках круговой орбиты радиуса r. Скорости частиц 'v'1(t) и 'v'2(t) = −'v'1(t) нормальны к силам 'F'1(t) и 'F'2(t) = −'F'1(t) соответственно. Величины скоростей и сил постоянны и равны v и F соответственно. Средняя кинетическая энергия системы в интервале времени от t1 до t2 равна

Выберем центр масс в качестве начала координат. Тогда положения частиц 'r'1(t) и 'r'2(t) = −'r'1(t) имеют постоянную величину r. Притягивающие силы действуют в противоположных направлениях по отношению к положениям частиц, то есть 'F'1(t) ⋅ 'r'1(t) = 'F'2(t) ⋅ 'r'2(t) = −Fr. Применяя формулу центростремительной силы F = mv²/r, получаем:

что и требовалось. Замечание: если начало координат сместить, результат останется тем же. Это происходит потому, что скалярное произведение смещения на равные по величине и противоположные по направлению силы 'F'1(t) и 'F'2(t) приводит к взаимному уничтожению.

Примеры

Вриальная теорема имеет особенно простую форму для периодического движения. Её можно использовать для проведения расчетов в рамках теории возмущений для нелинейных осцилляторов. Её также можно использовать для изучения движения в центральном потенциале.

Темная материя

В 1933 году Фриц Цвикки применил теорему вириала для оценки массы скопления Комы и обнаружил расхождение в массе около 450, которое он объяснил наличием "темной материи". В 1937 году он уточнил анализ и обнаружил расхождение примерно в 500 раз.

Данные

Цвикки, который был частично переиздан в 1903 году. Анри Пуанкаре доказал и применил форму теоремы вириала в 1911 году к проблеме формирования Солнечной системы из протозвездного облака (тогда известной как космогония). Вариационная форма теоремы вириала была разработана Леду в 1945 году. Тензорная форма теоремы вириала была разработана Паркером, Чандрасекаром и Ферми. Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов: в противном случае необходимо добавить граничное слагаемое.

В астрофизике

В астрофизике теорема вириала применяется часто, особенно при установлении связи между гравитационной потенциальной энергией системы и её кинетической или тепловой энергией. Некоторые распространенные вириальные соотношения имеют вид:

для массы M, радиуса R, скорости v и температуры T. Константами в этих соотношениях являются гравитационная постоянная Ньютона G, постоянная Больцмана kB и масса протона mp. Следует отметить, что эти соотношения являются лишь приближенными, и часто начальные численные коэффициенты (например, или ) полностью опускаются.

Звезды

Теорема вириала применима к ядрам звёзд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (то есть температурой). Когда звёзды на главной последовательности преобразуют водород в гелий в своих ядрах, средняя молекулярная масса ядра увеличивается, и ядро должно сжиматься, чтобы поддерживать достаточное давление для удержания собственного веса. Это сжатие уменьшает его потенциальную энергию и, согласно теореме вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра возрастает даже при потере энергии, что фактически соответствует отрицательной удельной теплоёмкости. Этот процесс продолжается и после стадии главной последовательности, если только ядро не станет вырожденным, поскольку в этом случае давление перестаёт зависеть от температуры, и вириальное соотношение с n, равным −1, перестаёт выполняться.