Кіріспе
Нүктелердің геометриялық орналасуының мөлшері. "Фигуралы сан" термині әртүрлі авторлармен сандардың әртүрлі жиындарының мүшелері үшін қолданылады, үшбұрышты сандардан бастап әртүрлі пішіндерге (көпбұрышты сандар) және әртүрлі өлшемдерге (көпжақты сандар) дейін жалпыланады. Бұл термин мыналарды білдіре алады:
The term figurate number is used by different writers for members of different sets of numbers, generalizing from triangular numbers to different shapes (polygonal numbers) and different dimensions (polyhedral numbers). The term can mean
көпбұрышты сан – r өлшемді шарлардың дискретті, тұрақты геометриялық үлгісі ретінде көрсетілген сан, мысалы, көпбұрышты сан (r=2 үшін) немесе көпжақты сан (r=3 үшін). Жоғарыда аталған жиындардың ішінде тек үшбұрышты сандар, пирамидалық сандар және олардың басқа өлшемдердегі аналогтарын қамтитын кіші жиынның мүшесі.
a number represented as a discrete r dimensional regular geometric pattern of r dimensional balls such as a polygonal number (for ) or a polyhedral number (for ). a member of the subset of the sets above containing only triangular numbers, pyramidal numbers, and their analogs in other dimensions.
Тарих
Фигуралы сандарды математикалық зерттеу Пифагормен бастау алған деседі, бұл, мүмкін, Вавилон немесе Египеттің бұрынғы еңбектеріне негізделген. Пифагоршылардың гномондар арқылы жасаған фигуралы сандардың кез келген класын жасауы да Пифагорға жатқызылады. Алайда, осы мәлімдемелердің сенімді көзі жоқ, себебі Пифагоршылар туралы барлық қол жеткен жазбалар олардан көп ғасырлар кейін жазылған. Спиусип – онның төртінші үшбұрышты сан ретінде, іс жүзінде тетрактис екенін, және пифагорейшілік үшін үлкен маңызға ие екенін алғаш айтқан. Фигуралы сандар Пифагордың дүниетанымы үшін маңызды болды. Кейбір сандардың көптеген түрде бейнеленуі мүмкін екендігі жақсы түсінілді, мысалы, 36 саны бірқатар квадрат, үшбұрыш және әртүрлі тіктөртбұрыштар болып табылады. Фигуралы сандарды қазіргі заманғы зерттеу Пьер де Фермаға, атап айтқанда Ферманың көпбұрышты сандар теоремасына қарыз. Кейіннен бұл Эйлер үшін маңызды тақырыпқа айналды, ол фигуралы сандарға қатысты көптеген жаңалықтардың ішінде, толық квадраттар болатын барлық үшбұрышты сандар үшін нақты формула берді. Фигуралы сандар қазіргі заманғы ойын-сауық математикасында маңызды рөл атқарады. Ғылыми математикада фигуралы сандар Эрхарт полиномдары арқылы зерттеледі, бұл полиномдар белгілі бір коэффициентпен кеңейтілгенде көпбұрыш немесе полиэдр ішіндегі бүтін нүктелер санын есептейді.
Гномон
Гномон – келесі үлкен санға өту үшін фигуралы санға қосылатын бөлік. Мысалы, квадрат сандардың гномоны – жалпы түрі 2n + 1 болатын тақ сан. Гномондардан құралған 8-өлшемді квадрат мынадай көрінеді: n-квадраттан (n-өлшемді квадраттан) (n + 1)-квадратқа өту үшін 2n + 1 элемент қосылады: әр қатардың соңына бір (n элемент), әр бағанның соңына бір (n элемент) және бір элемент бұрышқа. Мысалы, 7-квадратты 8-квадратқа өту кезінде 15 элемент қосылады; осы қосымшалар жоғарыдағы суреттегі 8-дер. Бұл гномоникалық әдіс сонымен қатар, алғашқы n тақ санның қосындысы n² екенін математикалық тұрғыдан дәлелдейді; сурет 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8² екенін көрсетеді. Ортасынан теңделген алтыбұрышты сандарды қосып, әрбір бүтін санның кубтарын жасауға мүмкіндік беретін ұқсас «гномон» бар.
To transform from the n square (the square of size n) to the (n + 1) square, one adjoins 2n + 1 elements: one to the end of each row (n elements), one to the end of each column (n elements), and a single one to the corner. For example, when transforming the 7 square to the 8 square, we add 15 elements; these adjunctions are the 8s in the above figure. This gnomonic technique also provides a mathematical proof that the sum of the first n odd numbers is n^(2); the figure illustrates 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82. There is a similar ‘’’gnomon’’’ with centered hexagonal numbers adding up to make cubes of each integer number.