Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Размер геометрической конфигурации точек. Термин «фигуративное число» используется разными авторами для обозначения членов различных множеств чисел, обобщая понятие от треугольных чисел до различных форм (полигональных чисел) и различных измерений (полиэдрических чисел). Этот термин может означать:
Size of a geometric arrangement of points
The term figurate number is used by different writers for members of different sets of numbers, generalizing from triangular numbers to different shapes (polygonal numbers) and different dimensions (polyhedral numbers). The term can mean
полигональное число – число, которое можно представить в виде дискретного r-мерного регулярного геометрического узора из r-мерных шаров, например, полигональное число (при r=2) или полиэдрическое число (при r=3). Член подмножества вышеуказанных множеств, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа и их аналоги в других измерениях.
polygonal number
a number represented as a discrete r dimensional regular geometric pattern of r dimensional balls such as a polygonal number (for ) or a polyhedral number (for ). a member of the subset of the sets above containing only triangular numbers, pyramidal numbers, and their analogs in other dimensions.
История
Математическое изучение фигуральных чисел, по преданию, началось с Пифагора, возможно, опираясь на более ранние вавилонские или египетские разработки. Пифагорейцам также приписывают построение любого класса фигуральных чисел с использованием гномонов. К сожалению, нет надежных источников, подтверждающих эти утверждения, поскольку все сохранившиеся труды о пифагорейцах датируются столетиями спустя. Спеусипп является самым ранним источником, сообщающим о том, что число десять, как четвертое треугольное число, фактически представляло собой тетрактис, который считался имеющим огромное значение для пифагорейства. Фигуральные числа были важной частью пифагорейской картины мира. Хорошо понималось, что некоторые числа могут быть представлены в различных фигурациях, например, 36 является одновременно квадратом и треугольником, а также различными прямоугольниками. Современное изучение фигуральных чисел восходит к Пьеру де Ферма, в частности, к теореме Ферма о многоугольных числах. Позже эта тема стала значимой для Эйлера, который дал явную формулу для всех треугольных чисел, являющихся одновременно полными квадратами, среди множества других открытий, связанных с фигуральными числами. Фигуральные числа сыграли важную роль в современной развлекательной математике. В научных исследованиях фигуральные числа изучаются с помощью полиномов Эрхарта – полиномов, подсчитывающих количество целочисленных точек в многоугольнике или многограннике при его увеличении в заданное число раз.
The mathematical study of figurate numbers is said to have originated with Pythagoras, possibly based on Babylonian or Egyptian precursors. Generating whichever class of figurate numbers the Pythagoreans studied using gnomons is also attributed to Pythagoras. Unfortunately, there is no trustworthy source for these claims, because all surviving writings about the Pythagoreans are from centuries later. Speusippus is the earliest source to expose the view that ten, as the fourth triangular number, was in fact the tetractys, supposed to be of great importance for Pythagoreanism. Figurate numbers were a concern of the Pythagorean worldview. It was well understood that some numbers could have many figurations, e. g. 36 is a both a square and a triangle and also various rectangles. The modern study of figurate numbers goes back to Pierre de Fermat, specifically the Fermat polygonal number theorem. Later, it became a significant topic for Euler, who gave an explicit formula for all triangular numbers that are also perfect squares, among many other discoveries relating to figurate numbers. Figurate numbers have played a significant role in modern recreational mathematics. In research mathematics, figurate numbers are studied by way of the Ehrhart polynomials, polynomials that count the number of integer points in a polygon or polyhedron when it is expanded by a given factor.
Гномон
Гномон — это элемент, добавляемый к фигурному числу для преобразования его в следующее большее. Например, гномоном квадратного числа является нечётное число общей формы 2n + 1. Квадрат размера 8, составленный из гномонов, выглядит следующим образом:
The gnomon is the piece added to a figurate number to transform it to the next larger one. For example, the gnomon of the square number is the odd number, of the general form 2n + 1, The square of size 8 composed of gnomons looks like this:
Чтобы преобразовать квадрат размера n в квадрат размера (n + 1), необходимо добавить 2n + 1 элементов: по одному к концу каждой строки (n элементов), по одному к концу каждого столбца (n элементов) и один — в угол. Например, при преобразовании квадрата 7 в квадрат 8 мы добавляем 15 элементов; эти добавления показаны цифрами 8 на вышеприведённом рисунке. Эта гномоника также предоставляет математическое доказательство того, что сумма первых n нечётных чисел равна n^2; на рисунке показано, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8^2. Существует аналогичный «гномон» для центрированных шестиугольных чисел, которые в сумме образуют кубы целых чисел.
To transform from the n square (the square of size n) to the (n + 1) square, one adjoins 2n + 1 elements: one to the end of each row (n elements), one to the end of each column (n elements), and a single one to the corner. For example, when transforming the 7 square to the 8 square, we add 15 elements; these adjunctions are the 8s in the above figure. This gnomonic technique also provides a mathematical proof that the sum of the first n odd numbers is n^(2); the figure illustrates 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82. There is a similar ‘’’gnomon’’’ with centered hexagonal numbers adding up to make cubes of each integer number.