Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Әрбір табиғи санды төрт бүтін санның квадратының қосындысы түрінде көрсетуге болады.
Every natural number can be represented as the sum of four integer squares
Лагранждың төрт квадрат теоремасы, сондай-ақ Баше болжамы деп те аталады, әрбір табиғи санды төрт теріс емес бүтін санның квадратының қосындысы түрінде көрсетуге болады. Яғни, квадраттар төртінші реттік қосынды негізін құрайды, мұндағы төрт сан – бүтін сандар. Мысалы, 3, 31 және 310 сандары бірнеше тәсілмен төрт квадраттың қосындысы түрінде келесідей көрсетілуі мүмкін:
Lagrange's four square theorem, also known as Bachet's conjecture, states that every natural number can be represented as a sum of four non negative integer squares. That is, the squares form an additive basis of order four. where the four numbers are integers. For illustration, 3, 31, and 310 in several ways, can be represented as the sum of four squares as follows:
Бұл теореманы 1770 жылы Жозеф Луи Лагранж дәлелдеген. Бұл Ферманың көпбұрышты сандар теоремасының ерекше жағдайы болып табылады.
This theorem was proven by Joseph Louis Lagrange in 1770. It is a special case of the Fermat polygonal number theorem.
Тарихи дамуы
Арифметикада келтірілген мысалдардан Диофанттың теореманы білгені көрінеді. Бұл кітапты 1621 жылы Баше (Клод Гаспар Баше де Мезиряк) латын тіліне аударды және ол теореманы аудармасының түсіндірмелерінде айтты. Бірақ теорема 1770 жылға дейін Лагранжпен дәлелденбеді. Адриен Мари Лежендр 1797–98 жылдары үш квадрат теоремасымен теореманы кеңейтті, оң бүтін санның үш квадратының қосындысы түрінде жазылуы үшін, оның k және m бүтін сандарының түрінде болмауы керек екенін дәлелдеді. Кейін, 1834 жылы Карл Густав Якоб Якоби өзінің төрт квадрат теоремасымен бүтін санды төрт квадраттың қосындысы ретінде бейнелеудің қарапайым формуласын тапты. Бұл формула сондай-ақ Декарттың төрт "бір-бірін тигізетін шеңбер" теоремасымен байланысты, ол төрт шеңбердің қисықтықтарының квадраттарының қосындысын қамтиды. Бұл сонымен қатар Аполлон тығыздарымен байланысты, олар жақында Раманужан-Петерсон болжамымен байланыстырылды.
From examples given in the Arithmetica, it is clear that Diophantus was aware of the theorem. This book was translated in 1621 into Latin by Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac), who stated the theorem in the notes of his translation. But the theorem was not proved until 1770 by Lagrange. Adrien Marie Legendre extended the theorem in 1797–8 with his three square theorem, by proving that a positive integer can be expressed as the sum of three squares if and only if it is not of the form for integers k and m. Later, in 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi discovered a simple formula for the number of representations of an integer as the sum of four squares with his own four square theorem. The formula is also linked to Descartes' theorem of four "kissing circles", which involves the sum of the squares of the curvatures of four circles. This is also linked to Apollonian gaskets, which were more recently related to the Ramanujan–Petersson conjecture.
Классикалық дәлел
Лагранж дәлелінің қазіргі заманғы бірнеше өте ұқсас нұсқалары бар. Төмендегі дәлелдеме сәл жеңілдетілген нұсқа болып табылады, онда m жұп немесе тақ болатын жағдайларды жеке қарау қажет емес.
Several very similar modern versions of Lagrange's proof exist. The proof below is a slightly simplified version, in which the cases for which m is even or odd do not require separate arguments.
Алгоритмдер
1986 жылы Майкл О. Рабин мен Джеффри Шаллит берілген бүтін сан n үшін жалғыз өрнектеме табуға арналған кездейсоқ полиномдық уақыт алгоритмдерін ұсынды. Оның күтілетін орындалу уақыты кейіннен 2018 жылы Пол Поллак пен Энрике Тревиньомен жақсартылды.
In 1986, Michael O. Rabin and Jeffrey Shallit proposed randomized polynomial time algorithms for computing a single representation for a given integer n, in expected running time It was further improved to by Paul Pollack and Enrique Treviño in 2018.