Введение
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов целых чисел. Теорема Лагранжа о четырёх квадратах, также известная как гипотеза Баше, утверждает, что каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх неотрицательных квадратов целых чисел. То есть квадраты образуют аддитивную основу четвёртого порядка, где эти четыре числа являются целыми. Для иллюстрации, числа 3, 31 и 310 могут быть представлены в виде суммы четырёх квадратов следующим образом: Эта теорема была доказана Жозефом Луи Лагранжем в 1770 году. Она является частным случаем теоремы Ферма о многоугольных числах.
Lagrange's four square theorem, also known as Bachet's conjecture, states that every natural number can be represented as a sum of four non negative integer squares. That is, the squares form an additive basis of order four. where the four numbers are integers. For illustration, 3, 31, and 310 in several ways, can be represented as the sum of four squares as follows:
This theorem was proven by Joseph Louis Lagrange in 1770. It is a special case of the Fermat polygonal number theorem.
Историческое развитие
Из примеров, приведенных в "Арифметике", ясно, что Диофанту была известна эта теорема. Эта книга была переведена на латинский язык в 1621 году Баше (Клод Гаспар Баше де Мезиряк), который изложил теорему в примечаниях к своему переводу. Однако теорема была доказана лишь в 1770 году Лагранжем. Адриен Мари Лежандр расширил теорему в 1797–1798 годах своей теоремой о трех квадратах, доказав, что положительное целое число может быть представлено в виде суммы трех квадратов тогда и только тогда, когда оно не имеет вида для целых чисел k и m. Позже, в 1834 году, Карл Густав Якоб Якоби открыл простую формулу для числа представлений целого числа в виде суммы четырех квадратов, сформулировав свою теорему о четырех квадратах. Эта формула также связана с теоремой Декарта о четырех "касающихся окружностях", которая включает в себя сумму квадратов кривизн четырех окружностей. Это также связано с аполлоновыми прокладками, которые в последнее время были связаны с гипотезой Рамануджана — Петерсона.
Классическое доказательство
Существует несколько очень похожих современных версий доказательства Лагранжа. Приведенное ниже доказательство является немного упрощенным вариантом, в котором случаи, когда m четно или нечетно, не требуют раздельного рассмотрения.
Алгоритмы
В 1986 году Майкл О. Рабин и Джеффри Шаллит предложили рандомизированные алгоритмы полиномиального времени для вычисления единственного представления заданного целого числа n, со средним временем работы. В 2018 году Пол Поллак и Энрике Тревиньо дополнительно улучшили этот результат.