Кіріспе
Статистикалық шама
Салмақты арифметикалық орташа, қарапайым арифметикалық орташаға (орташаның ең көп таралған түрі) ұқсас, бірақ соңғы орташа мәнді есептегенде деректердің әрқайсысы тең үлес қосатын орнына, кейбір деректердің үлесі басқаларынан артық болады. Салмақты орташа түсінігі сипаттамалық статистикада маңызды рөл атқарады және математиканың басқа да салаларында да қолданылады. Егер барлық салмақтар тең болса, онда салмақты орташа, арифметикалық орташамен бірдей болады. Салмақты орташа, әдетте арифметикалық орташа сияқты қасиеттерге ие, бірақ олардың кейбір интуитивті емес қасиеттері бар, мысалы, Симпсон парадоксы.
Сауалнаманы іріктеу перспективасы
Модельге негізделген көзқарас бойынша, әртүрлі кездейсоқ айнымалылар i. i. d емес кезде салмақталған орташа мәннің дисперсиясын бағалауға қызығушымыз. Бұл мәселенің баламалы көзқарасы – бірліктер тең емес ықтималдықтармен (қайта алмастыру арқылы) таңдалған деректердің кездейсоқ үлгілеу дизайны. Яғни, бір элементті таңдау басқа элементті тарту ықтималдығына әсер етпейді (бұл кластерлік үлгілеу дизайны сияқты жағдайларға қатысты емес). Әрбір элемент белгілі болғандықтан, ал кездейсоқтық оның үлгіге кіруіне немесе кірмеуіне байланысты туындайды, біз көбінесе екі элементтің көбейтіндісі туралы айтамыз, бұл кездейсоқ айнымалы. Келесі бөлімде шатасуды болдырмау үшін осы шартты былай атаймыз: күтілуі: ; және дисперсиясы: Үлгінің әрбір элементі оның таңдалу ықтималдығының кері шамасына көбейтілгенде, ол кеңейтілген y мәндері деп аталады, яғни: Қатысты шама – кеңейтілген y мәндері: Бізде (кемінде) салмақталған орташа мән үшін дисперсияның екі түрі бар: біреуі белгілі, екіншісі белгісіз популяция көлемін бағалаумен байланысты. Біркелкі жақсы тәсіл жоқ, бірақ әдебиетте популяцияны бағалау түрін пайдалануға кеңес беретін бірнеше аргументтер келтірілген (тіпті популяция көлемі белгілі болған жағдайда да). Одан әрі жеңілдету Gatz және авторларға әкеледі. жоғарыда аталған формуланы Endlich және авторлар жариялағанын атап өткен жөн (1988), салмақталған орташаны орташа қатынасқа жуықтау ретінде қарастыра отырып, Cochran (1977) жариялаған формулаға негізделген, салмақталған жалпы бағалаушыны популяция көлемінің бағалаушысымен бөлген комбинация ретінде қарастырған. Алайда, Endlich және авторлар бұл туындыны өз мақалаларында жариялаған жоқ (олар оны қолданғанын айтса да), ал Cochran кітабында сәл өзгеше формула келтірілген. Дегенмен, ол алдыңғы бөлімдерде сипатталған формулаларға дерлік сәйкес келеді.
When each element of the sample is inflated by the inverse of its selection probability, it is termed the expanded y values, i. e.: A related quantity is expanded y values:
We have (at least) two versions of variance for the weighted mean: one with known and one with unknown population size estimation. There is no uniformly better approach, but the literature presents several arguments to prefer using the population estimation version (even when the population size is known). where Further simplification leads to
Gatz et al. mention that the above formulation was published by Endlich et al. (1988) when treating the weighted mean as a combination of a weighted total estimator divided by an estimator of the population size, based on the formulation published by Cochran (1977), as an approximation to the ratio mean. However, Endlich et al. didn't seem to publish this derivation in their paper (even though they mention they used it), and Cochran's book includes a slightly different formulation. Still, it's almost identical to the formulations described in previous sections.
Репликацияға негізделген бағалаушылар
Салмақты орташа мәннің дисперсиясы үшін жабық талдамалық формула болмағандықтан, әдебиетте Джекнайф және Бутстраппинг сияқты қайталама әдістерге сүйену ұсынылған. Салмақталған, бұрыс емес үлгі дисперсиясының еркіндік дәрежесі N-1-ден 0-ге дейін өзгереді. Стандартты ауытқу – жоғарыда көрсетілген дисперсияның квадрат түбірі. Ескерту ретінде, салмақталған үлгі дисперсиясын есептеу үшін басқа да тәсілдер сипатталған.
The degrees of freedom of the weighted, unbiased sample variance vary accordingly from N − 1 down to 0. The standard deviation is simply the square root of the variance above. As a side note, other approaches have been described to compute the weighted sample variance.
Қатысудың төмендеуі
Тәуелсіз айнымалы және тәуелді айнымалының дискретті уақыттарда алынған n бақылауларының уақыт қатарын қарастырыңыз. Көптеген жағдайларда, t уақытындағы тәуелді айнымалының мәні тек тәуелсіз айнымалының мәніне ғана емес, сонымен қатар оның бұрынғы мәндеріне де байланысты. Әдетте, уақыт бойынша бақылаулардың арақашықтығы артқан сайын бұл тәуелділіктің күші азаяды. Мұндай жағдайды модельдеу үшін тәуелсіз айнымалыны m терезе өлшемі үшін жылжымалы орташасымен ауыстыруға болады.
Экспоненциалды азайған салмақтар
Алдыңғы бөлімде сипатталған сценарийде өзара әсерлесу күшінің төмендеуі көбінесе теріс экспоненциалды заңға бағынады. Егер өлшемдер тең интервалмен алынса, онда экспоненциалды төмендеу әр уақыт қадамында тұрақты үлеске төмендеуге тең. Онда нормаланған салмақтарды былай анықтауға болады:
where is the sum of the unnormalized weights. In this case is simply
approaching for large values of
The damping constant must correspond to the actual decrease of interaction strength. If this cannot be determined from theoretical considerations, then the following properties of exponentially decreasing weights are useful in making a suitable choice: at step , the weight approximately equals , the tail area the value , the head area The tail area at step is Where primarily the closest observations matter and the effect of the remaining observations can be ignored safely, then choose such that the tail area is sufficiently small.
мұнда – нормаланбаған салмақтардың қосындысы. Бұл жағдайда , үлкен мәндерге жақындасады. Демпфирлеу тұрақтысы нақты өзара әсерлесу күшінің төмендеуіне сәйкес болуы керек. Егер бұл теориялық тұрғыдан анықталмаса, экспоненциалды түрде төмендейтін салмақтардың келесі қасиеттері қолайлы таңдау жасауға көмектеседі: қадамда салмақ шамамен тең болады, құйрық аймағының мәні , ал бас аймағы . қадамдағы құйрық аймағы ең жақын өлшемдер маңызды болады және қалған өлшемдердің әсерін қауіпсіз түрде елеуге болады, сондықтан құйрық аймағы жеткілікті кішкентай болып таңдалады.
where is the sum of the unnormalized weights. In this case is simply
approaching for large values of
The damping constant must correspond to the actual decrease of interaction strength. If this cannot be determined from theoretical considerations, then the following properties of exponentially decreasing weights are useful in making a suitable choice: at step , the weight approximately equals , the tail area the value , the head area The tail area at step is Where primarily the closest observations matter and the effect of the remaining observations can be ignored safely, then choose such that the tail area is sufficiently small.
Функциялардың салмақталған орташа көрсеткіштері
Салмақты орташа түсінігі функцияларға да қатысты қолданылуы мүмкін. Функциялардың салмақталған орташалары салмақталған дифференциалдық және интегралдық есептеулер жүйесінде маңызды роль атқарады.