Введение
Статистическая величина. Взвешенное среднее арифметическое похоже на обычное среднее арифметическое (наиболее распространенный тип среднего), за исключением того, что отдельные точки данных вносят в итоговое среднее значение неравный вклад – некоторые больше, чем другие. Понятие взвешенного среднего играет роль в описательной статистике и также встречается в более общем виде в различных других областях математики. Если все веса равны, взвешенное среднее совпадает с обычным средним арифметическим. Хотя взвешенные средние в целом ведут себя аналогично обычным средним арифметическим, они обладают некоторыми неочевидными свойствами, как, например, в парадоксе Симпсона.
The weighted arithmetic mean is similar to an ordinary arithmetic mean (the most common type of average), except that instead of each of the data points contributing equally to the final average, some data points contribute more than others. The notion of weighted mean plays a role in descriptive statistics and also occurs in a more general form in several other areas of mathematics. If all the weights are equal, then the weighted mean is the same as the arithmetic mean. While weighted means generally behave in a similar fashion to arithmetic means, they do have a few counterintuitive properties, as captured for instance in Simpson's paradox.
Перспектива выборки
С точки зрения модели, нас интересует оценка дисперсии взвешенного среднего, когда различные элементы не являются независимыми и одинаково распределенными случайными переменными. Альтернативный взгляд на эту проблему – произвольный план выборки данных, в котором единицы отбираются с неравными вероятностями (с возвращением). То есть: выбор какого-либо элемента не влияет на вероятность выбора другого элемента (это не применимо к схемам выборки, таким как кластерная выборка). Поскольку каждый элемент фиксирован, а случайность определяется тем, включен он в выборку или нет, мы часто говорим об умножении этих двух факторов, что является случайной величиной. Чтобы избежать путаницы в дальнейшем, обозначим этот член как: с математическим ожиданием: ; и дисперсией: Когда каждый элемент выборки взвешивается обратно пропорционально его вероятности отбора, это называется расширенными значениями y, то есть: Связанная величина – расширенные значения y: У нас есть (как минимум) две версии оценки дисперсии взвешенного среднего: одна с известной, а другая – с неизвестной оценкой размера генеральной совокупности. Не существует универсально лучшего подхода, но в литературе приводятся аргументы в пользу использования версии с оценкой размера генеральной совокупности (даже когда размер генеральной совокупности известен). где дальнейшее упрощение приводит к Gatz и др. отмечают, что вышеуказанная формулировка была опубликована Endlich и др. (1988) при рассмотрении взвешенного среднего как комбинации взвешенной суммы, деленной на оценку размера генеральной совокупности, на основе формулировки, опубликованной Cochran (1977), как приближения к среднему отношению. Однако Endlich и др., по-видимому, не опубликовали это выведение в своей статье (хотя и упоминают, что использовали его), а в книге Cochran содержится несколько иная формулировка. Тем не менее, она почти идентична формулировкам, описанным в предыдущих разделах.
When each element of the sample is inflated by the inverse of its selection probability, it is termed the expanded y values, i. e.: A related quantity is expanded y values:
We have (at least) two versions of variance for the weighted mean: one with known and one with unknown population size estimation. There is no uniformly better approach, but the literature presents several arguments to prefer using the population estimation version (even when the population size is known). where Further simplification leads to
Gatz et al. mention that the above formulation was published by Endlich et al. (1988) when treating the weighted mean as a combination of a weighted total estimator divided by an estimator of the population size, based on the formulation published by Cochran (1977), as an approximation to the ratio mean. However, Endlich et al. didn't seem to publish this derivation in their paper (even though they mention they used it), and Cochran's book includes a slightly different formulation. Still, it's almost identical to the formulations described in previous sections.
Оценщики на основе репликации
Поскольку не существует замкнутой аналитической формулы для дисперсии взвешенного среднего, в литературе предлагается использовать методы повторной выборки, такие как Jackknife и Bootstrap. Степени свободы взвешенной несмещенной выборочной дисперсии соответственно изменяются от N–1 до 0. Стандартное отклонение – это просто квадратный корень из указанной выше дисперсии. Стоит отметить, что существуют и другие подходы к вычислению взвешенной выборочной дисперсии.
The degrees of freedom of the weighted, unbiased sample variance vary accordingly from N − 1 down to 0. The standard deviation is simply the square root of the variance above. As a side note, other approaches have been described to compute the weighted sample variance.
Снижение силы взаимодействий
Рассмотрим временные ряды независимой переменной *x* и зависимой переменной *y*, с *n* наблюдениями, взятыми в дискретные моменты времени. Во многих типичных ситуациях значение *y* в момент времени *t* зависит не только от *x* в этот момент, но и от его прошлых значений. Как правило, степень этой зависимости ослабевает с увеличением временного интервала между наблюдениями. Для моделирования такой ситуации можно заменить независимую переменную *x* на ее скользящее среднее за окно размера *w*.
Экспоненциально уменьшающиеся веса
В сценарии, описанном в предыдущем разделе, чаще всего уменьшение силы взаимодействия подчиняется отрицательному экспоненциальному закону. Если наблюдения проводятся в равноотстоящие моменты времени, то экспоненциальное уменьшение эквивалентно уменьшению на постоянную долю на каждом шаге. Установив , мы можем определить нормализованные веса следующим образом:
where is the sum of the unnormalized weights. In this case is simply
approaching for large values of
The damping constant must correspond to the actual decrease of interaction strength. If this cannot be determined from theoretical considerations, then the following properties of exponentially decreasing weights are useful in making a suitable choice: at step , the weight approximately equals , the tail area the value , the head area The tail area at step is Where primarily the closest observations matter and the effect of the remaining observations can be ignored safely, then choose such that the tail area is sufficiently small.
где – сумма ненормализованных весов. В этом случае просто приближается к при больших значениях . Константа затухания должна соответствовать фактическому уменьшению силы взаимодействия. Если это нельзя определить из теоретических соображений, то следующие свойства экспоненциально убывающих весов полезны при выборе подходящего значения: на шаге , вес приблизительно равен , площадь «хвоста» равна , площадь «головы» . Площадь «хвоста» на шаге определяется как , где в основном важны ближайшие наблюдения, а влияние остальных наблюдений можно безопасно игнорировать. Тогда следует выбрать таким образом, чтобы площадь «хвоста» была достаточно мала.
where is the sum of the unnormalized weights. In this case is simply
approaching for large values of
The damping constant must correspond to the actual decrease of interaction strength. If this cannot be determined from theoretical considerations, then the following properties of exponentially decreasing weights are useful in making a suitable choice: at step , the weight approximately equals , the tail area the value , the head area The tail area at step is Where primarily the closest observations matter and the effect of the remaining observations can be ignored safely, then choose such that the tail area is sufficiently small.
Взвешенные средние значения функций
Понятие взвешенного среднего может быть распространено на функции. Взвешенные средние функции играют важную роль в системах взвешенного дифференциального и интегрального исчисления.