Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Құнның қазіргі құнына пропорционалды жылдамдықпен төмендеуі
Decrease in value at a rate proportional to the current value
Егер бір шаманың құны қазіргі құнына пропорционалды жылдамдықпен төмендесе, онда ол экспоненциалдық ыдырауға ұшырайды. Бұл процесті символдық түрде келесі дифференциалдық теңдеу арқылы көрсетуге болады, мұнда N – шама, ал λ (ламбда) – оң мәнді экспоненциалдық ыдырау тұрақтысы, ыдырау тұрақтысы, жылдамдық тұрақтысы немесе трансформация тұрақтысы деп аталады:
A quantity is subject to exponential decay if it decreases at a rate proportional to its current value. Symbolically, this process can be expressed by the following differential equation, where N is the quantity and λ (lambda) is a positive rate called the exponential decay constant, disintegration constant, rate constant, or transformation constant:
Бұл теңдеудің шешімі (төмендегі шығарылымды қараңыз):
The solution to this equation (see derivation below) is:
мұнда N(t) – t уақытындағы шама, ал N₀ = N(0) – бастапқы шама, яғни t = 0 уақытындағы шама.
where N(t) is the quantity at time t, 1=N0 = N(0) is the initial quantity, that is, the quantity at time 1=t = 0.
Кесу сериясы / қосарланған кесілу
Ядролық ғылым және фармакокинетикада қызығушылық тудыратын агент ыдырау тізбегінде орналасуы мүмкін, онда жинақталу бастапқы агенттің экспоненциалдық ыдырауымен анықталады, ал қызығушылық тудыратын агенттің өзі экспоненциалдық процесс арқылы ыдырайды. Мұндай жүйелер Бэйтман теңдеуімен шешіледі. Фармакологиялық жағдайда, кейбір қабылдаған заттар денеге экспоненциалдық ыдырау сияқты процесте сіңірілуі мүмкін, немесе олар осындай босату профиліне ие болу үшін арнайы жасалуы мүмкін.
In nuclear science and pharmacokinetics, the agent of interest might be situated in a decay chain, where the accumulation is governed by exponential decay of a source agent, while the agent of interest itself decays by means of an exponential process. These systems are solved using the Bateman equation. In the pharmacology setting, some ingested substances might be absorbed into the body by a process reasonably modeled as exponential decay, or might be deliberately formulated to have such a release profile.
Қолданылу түрлері мен мысалдар
Экспоненциалды ыдырау кең ауқымды жағдайларда кездеседі. Олардың көп бөлігі табиғат ғылымдары саласына жатады. Көптеген ыдырау процестері жиі экспоненциалды деп қарастырылады, бірақ шындығында тек үлгінің мөлшері үлкен болғанда және үлкен сандар заңы қолданылғанда ғана экспоненциалды болып табылады. Шағын үлгілер үшін Пуассон процесін ескеретін, көбірек жалпыланған талдау қажет.
Exponential decay occurs in a wide variety of situations. Most of these fall into the domain of the natural sciences. Many decay processes that are often treated as exponential, are really only exponential so long as the sample is large and the law of large numbers holds. For small samples, a more general analysis is necessary, accounting for a Poisson process.
Табиғи ғылымдар
Химиялық реакциялар: Химиялық реакциялардың кейбір түрлерінің жылдамдығы бір немесе басқа реактивтің концентрациясына байланысты. Жылдамдығы тек бір реактанттың концентрациясына тәуелді болатын реакциялар (бірінші реттік реакциялар деп аталады) экспоненциалдық ыдырауға ұшырайды. Мысалы, көптеген фермент катализдейтін реакциялар осылай өтеді. Электростатика: Конденсатордағы электр заряды (немесе, эквивалентті түрде, потенциал) тұрақты сыртқы кедергіге (R) қосылғанда экспоненциалдық ыдыраумен босатылады, ал тұрақты кернеу көзінен тұрақты кедергі арқылы зарядталғанда экспоненциалдық ыдыраудың кері процесімен зарядталады. Процестің экспоненциалдық уақыт константасы болса, жартылай ыдырау мерзімі тең. Осы теңдеулер индуктордағы токқа да қолданылады. Сонымен қатар, бірнеше параллель резисторлар арқылы өтетін конденсатор немесе индуктор, әр резистор жеке процесті білдіретін, көптеген ыдырау процестерінің қызықты мысалы болып табылады. Шындығында, екі параллель резистордың эквивалентті кедергісі екі ыдырау процесі үшін жартылай ыдырау мерзімі теңдеуіне сәйкес келеді. Геофизика: Теңіз деңгейінен биіктік көтерілгенде атмосфералық қысым экспоненциалдық түрде төмендейді, шамамен 1000 метрге 12% құрайды. Жылу алмасу: Егер бір температурадағы зат басқа температурадағы ортаға ұшыраса, зат пен орта арасындағы температура айырмашылығы экспоненциалдық ыдырауға ұшырайды (баяу процестердің шегінде; заттың ішінде "жақсы" жылу өткізгіштігіне тең, сондықтан оның температурасы көлемі бойынша салыстырмалы түрде біркелкі болады). Ньютонның салқындату заңына да қараңыз. Люминесценция: Қозғаннан кейін люминесцентті материалдың сәулелену қарқындылығы – қозған атомдар мен молекулалар санына пропорционалды – экспоненциалдық түрде ыдырайды. Қатысты механизмдар санына байланысты, ыдырау моно- немесе мультиэкспоненциалды болуы мүмкін. Фармакология және токсикология: Көптеген енгізілген заттар экспоненциалдық ыдырау үлгілеріне сәйкес таралып, метаболизмге ұшырайды (клиренс қараңыз). Заттың таралу және жойылу жылдамдығын биологиялық жартылай ыдырау мерзімі – "альфа жартылай ыдырау мерзімі" және "бета жартылай ыдырау мерзімі" өлшейді. Физикалық оптика: Жарық, рентген немесе гамма сәулелері сияқты электромагниттік сәулеленудің сіңірілетін ортадағы қарқындылығы сіңірілетін ортаға енген қашықтықпен экспоненциалдық түрде төмендейді. Бұл "Бир-Ламберт заңы" деп аталады. Радиоактивтілік: Радиоактивті ыдырауға ұшыраған радионуклидтің үлгісінде бастапқы күйдегі атомдар саны, қалған атомдар саны жеткілікті болғанда экспоненциалдық ыдырауға ұшырайды. Ыдырау өнімі радиогендік нуклид деп аталады. Термоэлектрлік: Температура жоғарылағанда теріс температуралық коэффициенті бар терморезистордың кедергісінің төмендеуі. Ділділіктер: Кейбір дірілдер экспоненциалдық түрде ыдырай алады; бұл сипаттама көбінесе демпферленген механикалық осцилляторларда кездеседі және синтезаторларда ADSR конверттерін жасау үшін қолданылады. Артық демпферленген жүйе экспоненциалдық ыдырау арқылы тепе-теңдікке оралады. Сыра көпіршігі: Мюнхендік Людвиг Максимилиан университетінің Арнд Лейке сыра көпіршігі экспоненциалдық ыдырау заңына бағынатынын көрсеткені үшін Ig Nobel сыйлығын жеңіп алды.
Chemical reactions: The rates of certain types of chemical reactions depend on the concentration of one or another reactant. Reactions whose rate depends only on the concentration of one reactant (known as first order reactions) consequently follow exponential decay. For instance, many enzyme catalyzed reactions behave this way. Electrostatics: The electric charge (or, equivalently, the potential) contained in a capacitor (capacitance C) discharges with exponential decay (when the capacitor experiences a constant external load of resistance R) and similarly charges with the mirror image of exponential decay (when the capacitor is charged from a constant voltage source though a constant resistance). The exponential time constant for the process is so the half life is The same equations can be applied to the dual of current in an inductor. Furthermore, the particular case of a capacitor or inductor changing through several parallel resistors makes an interesting example of multiple decay processes, with each resistor representing a separate process. In fact, the expression for the equivalent resistance of two resistors in parallel mirrors the equation for the half life with two decay processes. Geophysics: Atmospheric pressure decreases approximately exponentially with increasing height above sea level, at a rate of about 12% per 1000m. Heat transfer: If an object at one temperature is exposed to a medium of another temperature, the temperature difference between the object and the medium follows exponential decay (in the limit of slow processes; equivalent to "good" heat conduction inside the object, so that its temperature remains relatively uniform through its volume). See also Newton's law of cooling. Luminescence: After excitation, the emission intensity – which is proportional to the number of excited atoms or molecules – of a luminescent material decays exponentially. Depending on the number of mechanisms involved, the decay can be mono or multi exponential. Pharmacology and toxicology: It is found that many administered substances are distributed and metabolized (see clearance) according to exponential decay patterns. The biological half lives "alpha half life" and "beta half life" of a substance measure how quickly a substance is distributed and eliminated. Physical optics: The intensity of electromagnetic radiation such as light or X rays or gamma rays in an absorbent medium, follows an exponential decrease with distance into the absorbing medium. This is known as the Beer Lambert law. Radioactivity: In a sample of a radionuclide that undergoes radioactive decay to a different state, the number of atoms in the original state follows exponential decay as long as the remaining number of atoms is large. The decay product is termed a radiogenic nuclide. Thermoelectricity: The decline in resistance of a Negative Temperature Coefficient Thermistor as temperature is increased. Vibrations: Some vibrations may decay exponentially; this characteristic is often found in damped mechanical oscillators, and used in creating ADSR envelopes in synthesizers. An overdamped system will simply return to equilibrium via an exponential decay. Beer froth: Arnd Leike, of the Ludwig Maximilian University of Munich, won an Ig Nobel Prize for demonstrating that beer froth obeys the law of exponential decay.
Әлеуметтік ғылымдар
Қаржы: зейнетақы қоры дискретті төлем сомаларының (әдетте ай сайынғы) әсеріне және үздіксіз пайыздық мөлшерлемеге түсетін кіріске байланысты экспоненциалды түрде азаяды. Фондта қалған кез келген А сомасына жету уақытын анықтау үшін dA/dt = кіріс – шығыс дифференциалдық теңдеуін жазып, шешуге болады. Ал қарапайым глоттохронологияда тілдердің тұрақты азаю деңгейі туралы (тартысқа түсетін) болжам бір тілдің жасын шамалауға мүмкіндік береді. (Екі тілдің бөліну уақытын есептеу үшін экспоненциалды азаюға тәуелсіз қосымша болжамдар қажет).
Finance: a retirement fund will decay exponentially being subject to discrete payout amounts, usually monthly, and an input subject to a continuous interest rate. A differential equation dA/dt = input – output can be written and solved to find the time to reach any amount A, remaining in the fund. In simple glottochronology, the (debatable) assumption of a constant decay rate in languages allows one to estimate the age of single languages. (To compute the time of split between two languages requires additional assumptions, independent of exponential decay).
Компьютерлік ғылым
Интернет желісіндегі негізгі маршруттау протоколы – BGP, пакеттердің бағытын өзгертуге болатын жолдарды есте сақтау үшін маршруттау кестесін ұстап тұруы керек. Осы жолдардың бірі қолжетімді күйден қолжетімсіз күйге (және керісінше) қайта-қайта өзгеретін болса, сол жолды басқаратын BGP маршрутизаторы маршруттау кестесінен жол туралы жазбаны қайта-қайта қосып, алып тастауға мәжбүр болады (жолдың күйін өзгертеді), соның салдарынан CPU және RAM сияқты жергілікті ресурстарды жұмсайды, тіпті одан да көп, әріптес маршрутизаторларға қажетсіз ақпарат таратады. Бұл жағымсыз құбылыстың алдын алу үшін, маршруттың шағылысуын басу (route flapping damping) деп аталатын алгоритм әр маршрутқа салмақ тағайындайды, ол маршрут күйін өзгерткен сайын артады және уақыт өте келе экспоненциалды түрде төмендейді. Салмақ белгілі бір шекке жеткенде, шағылысу тоқтатылады, осылайша маршрут жасырылады.
The core routing protocol on the Internet, BGP, has to maintain a routing table in order to remember the paths a packet can be deviated to. When one of these paths repeatedly changes its state from available to not available (and vice versa), the BGP router controlling that path has to repeatedly add and remove the path record from its routing table (flaps the path), thus spending local resources such as CPU and RAM and, even more, broadcasting useless information to peer routers. To prevent this undesired behavior, an algorithm named route flapping damping assigns each route a weight that gets bigger each time the route changes its state and decays exponentially with time. When the weight reaches a certain limit, no more flapping is done, thus suppressing the route.