Кіріспе
Сызықтық алгебрада, 3 өлшем арасындағы қатынас
Ранк-нульдік теоремасы – сызықтық алгебрадағы теорема, ол мынаны күйлейді: M матрицасының бағаналарының саны M рангі мен M нульдігінің қосындысына тең; және сызықтық түрлендірудің анықталу облысының өлшемі f, f рангінің (f бейнесінің өлшемі) және f нульдігінің (f ядросының өлшемі) қосындысына тең. Осыдан, тең шекті өлшемді векторлық кеңістіктердің сызықтық түрлендірулері үшін инъективтілік немесе сюръективтілік биективтілікті қамтамасыз етеді.
the number of columns of a matrix M is the sum of the rank of M and the nullity of M; and
the dimension of the domain of a linear transformation f is the sum of the rank of f (the dimension of the image of f) and the nullity of f (the dimension of the kernel of f). It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.
Сызықтық түрлендірулер
Let – екі векторлық кеңістіктің арасындағы сызықтық түрлендіру болсын, мұндағы ' домені шекті өлшемді. Онда
, мұндағы – түрлендірудің ранкі (оның бейнесінің өлшемі) және – түрлендірудің ядросының нөлдігі (оның ядросының өлшемі). Басқаша айтқанда,
Бұл теореманы бөліну леммасы арқылы кеңістіктердің изоморфизмі туралы мәлімдеме ретінде нақтылауға болады, тек өлшемдер ғана емес. Атап айтқанда, егер ' изоморфизмді тудырса, онда ' үшін берілген кез келген негізді кеңейтетін негіздің болуы, бөліну леммасы бойынша, келесіні білдіреді: . Өлшемдерін ескере отырып, ранг-нөлдік теорема шығады.
Матрицалар
Сызықтық түрлендірулер матрицалар арқылы бейнелене алады. Нақтырақ айтқанда, M матрицасы негізгі өрісте анықталған сызықтық түрлендіруді көрсетеді. Осылайша, доменінің өлшемі M матрицасының бағаналарының санына тең, ал M матрицасы үшін ранг-нөлдік теорема былай болады:
Дәлелдендіру
Мұнда біз екі дәлел келтіреміз. Біріншісі, гомогенді жүйеге қарап, ренгі бар матрицаны қарастырады және нөлдік кеңістікті құрайтын сызықтық тәуелсіз шешімдердің жиынтығы бар екенін нақты көрсетеді. Теорема сызықтық бейнелеудің доменінің шекті өлшемді болуын қажет етеді, бірақ кодоменге мұндай талап қойылмайды. Яғни, теорема матрицалар арқылы берілмеген сызықтық бейнелеулерге де қолданылады. Дегенмен, бірінші дәлел екіншісінен гөрі артық емес: сызықтық бейнелеудің бейнесі шекті өлшемді болғандықтан, оны доменнен бейнеге матрица арқылы бейнелеуге болады, содан кейін осы матрица үшін теореманы дәлелдеп, бейнені толық кодоменге енгізу арқылы біріктіруге болады.
While the theorem requires that the domain of the linear map be finite dimensional, there is no such assumption on the codomain. This means that there are linear maps not given by matrices for which the theorem applies. Despite this, the first proof is not actually more general than the second: since the image of the linear map is finite dimensional, we can represent the map from its domain to its image by a matrix, prove the theorem for that matrix, then compose with the inclusion of the image into the full codomain.
Үшінші негізгі субкеңістік
Егер екі шекті өлшемді кіші кеңістіктер арасындағы сызықтық түрлендіру болса, онда (матрица түрінде бейнелене алады), онда ранг-нөлдік теоремаға сәйкес, егер рангі болса, онда – түрлендірудің нөлдік кеңістігінің өлшемі, яғни ядросы. Кейбір мәтіндерде, -мен байланысты үшінші негізгі кіші кеңістік оның бейнесі және ядросымен бірге қарастырылады: кокернелі – бұл бөлімі, және оның өлшемі . Бұл өлшем формуласы (оны ранг-нөлдік теоремасымен бірге жазуға болады) кейде сызықтық алгебраның негізгі теоремасы деп аталады.