Экспоненциальный распад: описание и применение.

Введение

Снижение значения со скоростью, пропорциональной текущему значению

Величина подвергается экспоненциальному распаду, если она уменьшается со скоростью, пропорциональной своему текущему значению. Символически этот процесс можно выразить следующим дифференциальным уравнением, где N – величина, а λ (лямбда) – положительная константа, называемая константой экспоненциального распада, константой дезинтеграции, константой скорости или константой превращения:

Решение этого уравнения (см. вывод ниже) имеет вид:

где N(t) – величина в момент времени t, N₀ = N(0) – начальная величина, то есть величина в момент времени t = 0.

Серия распада / соединенный распад

В ядерной науке и фармакокинетике вещество, представляющее интерес, может находиться в цепочке распада, где накопление определяется экспоненциальным распадом исходного вещества, а само вещество распадается экспоненциально. Такие системы решаются с помощью уравнения Бейтмана. В фармакологии некоторые принимаемые внутрь вещества могут всасываться в организм посредством процесса, который можно разумно смоделировать как экспоненциальный распад, или же специально разрабатываются с таким профилем высвобождения.

Применение и примеры

Экспоненциальный распад наблюдается в самых разнообразных ситуациях. Большинство из них относятся к области естественных наук. Многие процессы, которые часто моделируются как экспоненциальные, на самом деле экспоненциальны лишь при достаточно большом размере выборки и применимости закона больших чисел. Для малых выборок требуется более общий анализ, учитывающий пуассоновский процесс.

Природные науки

Химические реакции: скорость некоторых типов химических реакций зависит от концентрации того или иного реагента. Реакции, скорость которых зависит только от концентрации одного реагента (известные как реакции первого порядка), следовательно, подчиняются экспоненциальному распаду. Например, многие реакции, катализируемые ферментами, ведут себя таким образом. Электростатика: электрический заряд (или, эквивалентно, потенциал), содержащийся в конденсаторе (ёмкость C), разряжается с экспоненциальным распадом (когда конденсатор испытывает постоянную внешнюю нагрузку сопротивления R) и аналогично заряжается, следуя зеркальному отражению экспоненциального распада (когда конденсатор заряжается от источника постоянного напряжения через постоянное сопротивление). Экспоненциальная временная константа для этого процесса равна τ = RC, а период полураспада составляет ln(2)τ. То же уравнение можно применить к двойственному процессу тока в индукторе. Кроме того, частный случай конденсатора или индуктора, изменяющегося через несколько параллельных резисторов, представляет собой интересный пример множественных процессов распада, где каждый резистор представляет собой отдельный процесс. Фактически, выражение для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов соответствует уравнению для периода полураспада при двух процессах распада. Геофизика: атмосферное давление приблизительно экспоненциально уменьшается с увеличением высоты над уровнем моря, со скоростью около 12% на 1000 м. Передача тепла: если объект с одной температурой подвергается воздействию среды с другой температурой, разность температур между объектом и средой подчиняется экспоненциальному распаду (в пределе медленных процессов; что эквивалентно "хорошей" теплопроводности внутри объекта, обеспечивающей относительно равномерную температуру по всему его объему). См. также закон Ньютона об охлаждении. Люминесценция: после возбуждения интенсивность излучения – пропорциональная числу возбужденных атомов или молекул – люминесцентного материала затухает экспоненциально. В зависимости от числа задействованных механизмов, затухание может быть моно- или мультиэкспоненциальным. Фармакология и токсикология: установлено, что распределение и метаболизм многих вводимых веществ (см. клиренс) происходят в соответствии с экспоненциальными моделями распада. Биологические периоды полувыведения "альфа-период полувыведения" и "бета-период полувыведения" вещества измеряют скорость его распределения и выведения из организма. Физическая оптика: интенсивность электромагнитного излучения, такого как свет, рентгеновские лучи или гамма-лучи в поглощающей среде, экспоненциально уменьшается с увеличением глубины проникновения в среду. Это известно как закон Бера-Ламберта. Радиоактивность: в образце радионуклида, подвергающегося радиоактивному распаду в другое состояние, число атомов в исходном состоянии подчиняется экспоненциальному распаду, пока оставшееся число атомов достаточно велико. Продукт распада называется радиогенным нуклидом. Термоэлектричество: уменьшение сопротивления термистора с отрицательным температурным коэффициентом при повышении температуры. Вибрации: некоторые вибрации могут затухать экспоненциально; эта характеристика часто встречается в демпфированных механических осцилляторах и используется при создании ADSR-огибающих в синтезаторах. Передемпфированная система просто вернется к равновесию посредством экспоненциального затухания. Пивная пена: Арнд Лейке из Людвиг-Максимилианского университета Мюнхена получил Игнобелевскую премию за демонстрацию того, что пивная пена подчиняется закону экспоненциального распада.

Chemical reactions: The rates of certain types of chemical reactions depend on the concentration of one or another reactant. Reactions whose rate depends only on the concentration of one reactant (known as first order reactions) consequently follow exponential decay. For instance, many enzyme catalyzed reactions behave this way. Electrostatics: The electric charge (or, equivalently, the potential) contained in a capacitor (capacitance C) discharges with exponential decay (when the capacitor experiences a constant external load of resistance R) and similarly charges with the mirror image of exponential decay (when the capacitor is charged from a constant voltage source though a constant resistance). The exponential time constant for the process is so the half life is The same equations can be applied to the dual of current in an inductor. Furthermore, the particular case of a capacitor or inductor changing through several parallel resistors makes an interesting example of multiple decay processes, with each resistor representing a separate process. In fact, the expression for the equivalent resistance of two resistors in parallel mirrors the equation for the half life with two decay processes. Geophysics: Atmospheric pressure decreases approximately exponentially with increasing height above sea level, at a rate of about 12% per 1000m. Heat transfer: If an object at one temperature is exposed to a medium of another temperature, the temperature difference between the object and the medium follows exponential decay (in the limit of slow processes; equivalent to "good" heat conduction inside the object, so that its temperature remains relatively uniform through its volume). See also Newton's law of cooling. Luminescence: After excitation, the emission intensity – which is proportional to the number of excited atoms or molecules – of a luminescent material decays exponentially. Depending on the number of mechanisms involved, the decay can be mono or multi exponential. Pharmacology and toxicology: It is found that many administered substances are distributed and metabolized (see clearance) according to exponential decay patterns. The biological half lives "alpha half life" and "beta half life" of a substance measure how quickly a substance is distributed and eliminated. Physical optics: The intensity of electromagnetic radiation such as light or X rays or gamma rays in an absorbent medium, follows an exponential decrease with distance into the absorbing medium. This is known as the Beer Lambert law. Radioactivity: In a sample of a radionuclide that undergoes radioactive decay to a different state, the number of atoms in the original state follows exponential decay as long as the remaining number of atoms is large. The decay product is termed a radiogenic nuclide. Thermoelectricity: The decline in resistance of a Negative Temperature Coefficient Thermistor as temperature is increased. Vibrations: Some vibrations may decay exponentially; this characteristic is often found in damped mechanical oscillators, and used in creating ADSR envelopes in synthesizers. An overdamped system will simply return to equilibrium via an exponential decay. Beer froth: Arnd Leike, of the Ludwig Maximilian University of Munich, won an Ig Nobel Prize for demonstrating that beer froth obeys the law of exponential decay.

Социальные науки

Финансы: пенсионный фонд будет экспоненциально уменьшаться под воздействием дискретных выплат, обычно ежемесячных, и поступлений, подверженных непрерывной процентной ставке. Можно записать и решить дифференциальное уравнение dA/dt = поступления – выплаты, чтобы определить время, необходимое для достижения любой суммы A, оставшейся в фонде. В упрощенной глоттохронологии (дискуссионное) предположение о постоянной скорости угасания языков позволяет оценить возраст отдельных языков. (Для вычисления времени расхождения между двумя языками требуются дополнительные предположения, не связанные с экспоненциальным распадом).

Информатика

Основной протокол маршрутизации в Интернете, BGP, должен поддерживать таблицу маршрутизации, чтобы запомнить пути, по которым может быть направлен пакет. Когда один из этих путей неоднократно меняет свое состояние с доступного на недоступный (и наоборот), BGP-маршрутизатор, контролирующий этот путь, должен неоднократно добавлять и удалять запись этого пути из своей таблицы маршрутизации (изменяет состояние пути), тем самым расходуя локальные ресурсы, такие как процессор и оперативная память, и, более того, передавая бесполезную информацию соседним маршрутизаторам. Чтобы предотвратить такое нежелательное поведение, алгоритм, называемый демпфированием маршрутов, присваивает каждому маршруту вес, который увеличивается каждый раз, когда маршрут меняет свое состояние, и экспоненциально уменьшается со временем. Когда вес достигает определенного порога, дальнейшие изменения состояния пути прекращаются, что приводит к подавлению маршрута.