Кіріспе
Өз өрісінің кез келген нүктесінде үздіксіз емес функция. Математикада ешқайда үздіксіз емес функция, сондай-ақ барлық жерде үздіксіз емес функция деп аталатын функция, өзінің өрісінің ешбір нүктесінде үздіксіз болмайды. Егер f функциясы нақты сандардан нақты сандарға дейін болса, онда f функциясы ешқайда үздіксіз болады, егер әрбір x нүктесі үшін, кез келген ε > 0 үшін, |x - y| < ε болатын y нүктесі табылатын болса, онда |f(x) - f(y)| ≥ δ болады. Демек, кез келген белгілі нүктеге қаншалықты жақын болсаңыз да, функцияның мағынасы жақын емес болатын одан да жақын нүктелер табылады. Осы функцияның жалпылама анықтамасын метрикалық кеңістікте қашықтық функциясын абсолют шамамен алмастыру арқылы немесе топологиялық кеңістікте үздіксіздік анықтамасын қолдану арқылы алуға болады.
In mathematics, a nowhere continuous function, also called an everywhere discontinuous function, is a function that is not continuous at any point of its domain. If is a function from real numbers to real numbers, then is nowhere continuous if for each point there is some such that for every we can find a point such that and Therefore, no matter how close it gets to any fixed point, there are even closer points at which the function takes not nearby values. More general definitions of this kind of function can be obtained, by replacing the absolute value by the distance function in a metric space, or by using the definition of continuity in a topological space.
Дирихле функциясы
Мұндай функциялардың бірі – рационал сандардың индикатор функциясы, сондай-ақ Дирихле функциясы деп аталады. Бұл функцияның домені мен кодомені нақты сандар жиынымен бірдей болып табылады және осылай белгіленеді. Анықтама бойынша, егер x рационал сан болса, онда тең, ал әйтпесе тең болады. Кез келген топологиялық кеңістіктегі S жиынының және оның толықтығының екеуі де тығыз болса, онда S жиынында мәнін қабылдайтын және оның толықтығында мәнін қабылдайтын нақты мәнді функция ешқандай жерде үздіксіз болмайды. Мұндай функцияларды алғаш рет Питер Густав Лежен Дирихле зерттеген.
Тоқтамайтын сызықтық карталар
Екі топологиялық векторлық кеңістік арасындағы сызықтық бейнелеу, мысалы, нормаланған кеңістіктер үшін, егер және тек қана бір нүктеде үздіксіз болса, онда ол әрқашан үздіксіз болады, және тіпті біртегіз үздіксіз болады. Осыдан келіп, әр сызықтық бейнелеу немесе барлық жерде үздіксіз, немесе ешқайда үздіксіз болмайды. Әр сызықтық функционал – сызықтық бейнелеу, ал әр шексіз өлшемді нормаланған кеңістікте үздіксіз емес сызықтық функционалдар табылады.
Басқа функциялар
Конвейдің 13-тік функциясы әрбір нүктеде үзілісті.
Гиперреалистік сипаттама
Нақты функция ешқандай жерде үздіксіз болмайды, егер оның табиғи гиперреалдық кеңейтілуінің әрбір x саны үшін, x-тен айырмашылығы байқалатын (яғни, инфинитезималь емес) y саны бар болса.