Введение

Функция, которая не является непрерывной ни в одной точке своей области определения.

В математике функция, нигде не являющаяся непрерывной, также называемая функцией, разрывной во всех точках, — это функция, которая не является непрерывной ни в одной точке своей области определения. Если f — функция, отображающая действительные числа в действительные числа, то f нигде не является непрерывной, если для каждой точки x существует такое δ, что для любого ε можно найти точку y, удовлетворяющую условию |x - y| < δ и |f(x) - f(y)| ≥ ε. Таким образом, как бы близко мы ни приближались к любой фиксированной точке, всегда найдутся еще более близкие точки, в которых функция принимает значения, далекие от значения в фиксированной точке. Более общие определения этого типа функции могут быть получены путем замены абсолютной величины функцией расстояния в метрическом пространстве или с использованием определения непрерывности в топологическом пространстве.

Функция Дирихле

Одним из примеров такой функции является функция индикатора рациональных чисел, также известная как функция Дирихле. Эта функция обозначается как и имеет область определения и область значений, обе равные множеству вещественных чисел. По определению, равна 1, если является рациональным числом, и 0, если нет. В более общем случае, если является любым подмножеством топологического пространства , таким, что и дополнение к плотны в , то вещественнозначная функция, принимающая значение 1 на и 0 на дополнении к , будет нигде не непрерывной. Функции этого типа были первоначально исследованы Питером Густавом Лежуном Дирихле.

Непрерывные линейные карты

Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами, например, нормированными пространствами, является непрерывным (повсюду) тогда и только тогда, когда существует точка, в которой оно непрерывно, и в этом случае оно даже равномерно непрерывно. Следовательно, любое линейное отображение либо непрерывно повсюду, либо нигде не непрерывно. Любой линейный функционал является линейным отображением, и на любом бесконечномерном нормированном пространстве существует некоторый разрывный линейный функционал.

Другие функции

Функция Конвея с основанием 13 разрывна в каждой точке.

Гиперреальная характеристика

Реальная функция нигде не является непрерывной, если её естественное гиперреальное расширение обладает свойством, что для любого x существует бесконечно близкое к нему a, такое что разность f(x) - f(a) является бесконечно большой (то есть, не бесконечно малой).