Кіріспе
Сандардың аддитивті теориясында сандар тізбегінің тығыздығын өлшеудің бір жолы бар. Сандардың аддитивті теориясында, сандар тізбегінің Шнирельман тығыздығы – тізбектің қаншалықты "тығыз" екенін өлшеудің әдісі. Ол бұл мәселені алғаш зерттеген орыс математигі Лев Шнирельманның құрметіне аталған.
In additive number theory, the Schnirelmann density of a sequence of numbers is a way to measure how "dense" the sequence is. It is named after Russian mathematician Lev Schnirelmann, who was the first to study it.
Қасиеттері
Анықтама бойынша, 0 ≤ A(n) ≤ n және барлық n үшін n σA ≤ A(n), сондықтан 0 ≤ σA ≤ 1. Сонымен қатар, егер және тек қана егер.
Шнирелманның теоремалары
Егер біз жиыны болсақ, онда Лагранждың төрт квадрат теоремасы былай қайта формулировкаланады (Мұнда символ және жиындарының қосынды жиынын білдіреді). Әрине, бізде әлі де бар екені анық, және жиынтықтың Шнирельман тығыздығы қашан 1-ге жететіні және ол қалай өседі деген сұрақ туындауы мүмкін. Шындығында, жағдай сондай және жиынтықтың қосындысы тағы да кеңірек жиынды тудырады, атап айтқанда, барлық Шнирельманн осы идеяларды Адитивті сан теориясына қатысты келесі теоремаларға дамытып, оларды Уаринг проблемасы және Гольдбахтың болжамы сияқты маңызды мәселелерді шешу үшін жаңа құрал (немесе аса қуатты болмаса да) екенін дәлелдеді. Теорема. Егер және жиындары болса, онда . Индуктивті түрде келесі жалпылауды аламыз. Қорытынды. Егер жиындарының шекті жиыны болса, онда .
Note that Inductively, we have the following generalization. Corollary. Let be a finite family of subsets of Then
The theorem provides the first insights on how sumsets accumulate. It seems unfortunate that its conclusion stops short of showing being superadditive. Yet, Schnirelmann provided us with the following results, which sufficed for most of his purpose. Theorem. Let and be subsets of If , then
Theorem. (Schnirelmann) Let If then there exists such that
Теорема жиынтықтардың қалай жинақталуына алғашқы түсінік береді. Оның қорытындысы супер-қосымша екенін көрсетуге жетпегені өкінішті. Дегенмен, Шнирельманн мақсатына жеткілікті болған келесі нәтижелерді ұсынды. Теорема. Егер және жиындары болса және онда .
Note that Inductively, we have the following generalization. Corollary. Let be a finite family of subsets of Then
The theorem provides the first insights on how sumsets accumulate. It seems unfortunate that its conclusion stops short of showing being superadditive. Yet, Schnirelmann provided us with the following results, which sufficed for most of his purpose. Theorem. Let and be subsets of If , then
Theorem. (Schnirelmann) Let If then there exists such that
Теорема. (Шнирельманн) Егер онда, олай болса, мұндай бар, олай болса .
Note that Inductively, we have the following generalization. Corollary. Let be a finite family of subsets of Then
The theorem provides the first insights on how sumsets accumulate. It seems unfortunate that its conclusion stops short of showing being superadditive. Yet, Schnirelmann provided us with the following results, which sufficed for most of his purpose. Theorem. Let and be subsets of If , then
Theorem. (Schnirelmann) Let If then there exists such that
Қосымша негіздер
Кез келген шекті қосынды үшін, белгілі бір қасиетке ие жиынтық қосылатын негіз деп аталады, ал қажетті қосылғыштардың ең аз саны – негіздің дәрежесі (кейде реті) деп аталады. Осылайша, соңғы теорема кез келген оң Schnirelmann тығыздығына ие жиынтықтың қосылатын негіз екенін көрсетеді. Бұл терминологияда квадраттар жиыны 4-дәрежелі қосылатын негіз болып табылады. (Қосылатын негіздерге қатысты ашық мәселе туралы Эрдёс-Тураның қосылатын негіздер туралы болжамына қараңыз.)
Манн теоремасы
Тарихи тұрғыдан алғанда, жоғарыдағы теоремалар бұрын гипотеза деп аталған келесі нәтижеге сілтеме жасады. Оны Эдмунд Ландау қолданды, ал 1942 жылы Генри Манн оны дәлелдеді. Теорема. Егер және жиынтықтарының ішкі жиындықтары болса, онда жағдайында да бізде бар. Бұл теореманың төменгі асимптотикалық тығыздыққа арналған аналогы Кнезер тарапынан алынды. Кейін Э. Артин және П. Шерк Манн теоремасының дәлелін жеңілдетті.
An analogue of this theorem for lower asymptotic density was obtained by Kneser. At a later date, E. Artin and P. Scherk simplified the proof of Mann's theorem.
Шнирелманн тұрақтысы
1930 жылы Шнирелман осы идеяларды Брун елегімен бірге қолданып, Шнирелман теоремасын дәлелдеді, сонда Шнирелман C < 800000 нәтижесіне қол жеткізді. Шнирелман тұрақтысы – осы қасиетке ие ең төменгі C саны болып табылады.