Введение
В аддитивной теории чисел плотность Шнирельмана последовательности чисел — это способ измерения того, насколько "плотной" является эта последовательность. Она названа в честь русского математика Льва Шнирельмана, который впервые её исследовал.
In additive number theory, the Schnirelmann density of a sequence of numbers is a way to measure how "dense" the sequence is. It is named after Russian mathematician Lev Schnirelmann, who was the first to study it.
Свойства
По определению, 0 ≤ A(n) ≤ n и nσA ≤ A(n) для всех n, следовательно, 0 ≤ σA ≤ 1, и, более того, если и только если.
Теоремы Шнирельмана
Если мы зададим , то теорему Лагранжа о четырех квадратах можно переформулировать как (Здесь символ обозначает сумму множеств и .) Очевидно, что на самом деле, у нас все еще есть , и можно задаться вопросом, в какой момент сумма множеств достигает плотности Шнирельмана 1 и как она возрастает. Действительно, это так, и можно видеть, что суммирование вновь дает более многочисленное множество, а именно, все . Шнирельман сумел развить эти идеи в следующие теоремы, направленные на аддитивную теорию чисел, и доказать, что они являются новым инструментом (если не сказать мощным) для решения важных задач, таких как проблема Уоринга и гипотеза Гольдбаха. Теорема. Пусть и будут подмножествами Тогда. Заметим, что индуктивно мы имеем следующее обобщение. Следствие. Пусть будет конечным семейством подмножеств Тогда.
Note that Inductively, we have the following generalization. Corollary. Let be a finite family of subsets of Then
The theorem provides the first insights on how sumsets accumulate. It seems unfortunate that its conclusion stops short of showing being superadditive. Yet, Schnirelmann provided us with the following results, which sufficed for most of his purpose. Theorem. Let and be subsets of If , then
Theorem. (Schnirelmann) Let If then there exists such that
Теорема дает первые представления о том, как накапливаются суммы множеств. Кажется, несколько жаль, что ее заключение не показывает, что функция суммы является супераддитивной. Тем не менее, Шнирельман предоставил нам следующие результаты, которых было достаточно для большинства его целей. Теорема. Пусть и будут подмножествами Если , то.
Note that Inductively, we have the following generalization. Corollary. Let be a finite family of subsets of Then
The theorem provides the first insights on how sumsets accumulate. It seems unfortunate that its conclusion stops short of showing being superadditive. Yet, Schnirelmann provided us with the following results, which sufficed for most of his purpose. Theorem. Let and be subsets of If , then
Theorem. (Schnirelmann) Let If then there exists such that
Теорема. (Шнирельман) Пусть Если , то существует такое , что.
Note that Inductively, we have the following generalization. Corollary. Let be a finite family of subsets of Then
The theorem provides the first insights on how sumsets accumulate. It seems unfortunate that its conclusion stops short of showing being superadditive. Yet, Schnirelmann provided us with the following results, which sufficed for most of his purpose. Theorem. Let and be subsets of If , then
Theorem. (Schnirelmann) Let If then there exists such that
Добавки
Подмножество, обладающее свойством, что любое достаточно большое число представимо в виде конечной суммы элементов этого подмножества, называется аддитивной основой, а наименьшее число слагаемых, необходимых для такого представления, называется степенью (иногда порядком) этой основы. Таким образом, последняя теорема утверждает, что любое множество с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивной основой. В этой терминологии множество квадратов является аддитивной основой степени 4. (Об открытой проблеме для аддитивных оснований см. гипотезу Эрдеша — Турана об аддитивных основаниях.)
Теорема Манна
Исторически вышеуказанные теоремы указывали на следующий результат, который в свое время был известен как гипотеза. Он был использован Эдмундом Ландау и окончательно доказан Генри Манном в 1942 году. Теорема. Пусть и – подмножества множества натуральных чисел. В случае, когда , у нас все еще есть
Аналогичный результат для нижней асимптотической плотности был получен Кнезером. Позднее Э. Артин и П. Шерк упростили доказательство теоремы Манна.
Постоянная Шнирельмана
В 1930 году Шнирельман использовал эти идеи совместно с ситом Бруна для доказательства теоремы Шнирельмана, при этом Шнирельман получил C < 800000. Постоянная Шнирельмана — это наименьшее число C, обладающее этим свойством.