Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебрада (әсіресе алгебралық геометрияда немесе алгебралық сандар теориясында) бағалау – бұл өрістегі элементтердің өлшемдерін немесе еселігін анықтайтын функция. Ол коммутативтік алгебраға күрделі анализдегі полюстің дәрежесін немесе нөлдің еселігін, сан теориясындағы санды жай санға бөліну дәрежесін, сондай-ақ алгебралық геометриядағы екі алгебралық немесе аналитикалық сорттың жанасуының геометриялық ұғымын қарастыруға байланысты өлшем түсінігін кеңейтеді. Бағалауы бар өріс – бағаланған өріс деп аталады.
In algebra (in particular in algebraic geometry or algebraic number theory), a valuation is a function on a field that provides a measure of the size or multiplicity of elements of the field. It generalizes to commutative algebra the notion of size inherent in consideration of the degree of a pole or multiplicity of a zero in complex analysis, the degree of divisibility of a number by a prime number in number theory, and the geometrical concept of contact between two algebraic or analytic varieties in algebraic geometry. A field with a valuation on it is called a valued field.
Бағалардың теңдестігі
K-ның екі бағалауы v1 және v2 сәйкесінше Γ1 және Γ2 бағалау тобымен егер Γ1-ден Γ2-ге тәртіпті сақтайтын топтық изоморфизм φ: Γ1 → Γ2 болса, және барлық a ∈ K× үшін v2(a) = φ(v1(a)) орындалса, тең деп есептеледі. Бұл эквиваленттік қатынас. K-ның екі бағалауы, егер және тек қана олардың бағалау сақинасы бірдей болса, тең болады. Даланың бағалауларының эквиваленттік класы орын деп аталады. Островский теоремасы рационал сандар өрісінің орындарының толық жіктелуін береді – бұл рационал сандардың p-адық толықтыруларының бағалауларының эквиваленттік кластарының нақтылы жиынтығы.
Two valuations v1 and v2 of K with valuation group Γ1 and Γ2, respectively, are said to be equivalent if there is an order preserving group isomorphism φ : Γ1 → Γ2 such that v2(a) = φ(v1(a)) for all a in K×. This is an equivalence relation. Two valuations of K are equivalent if and only if they have the same valuation ring. An equivalence class of valuations of a field is called a place. Ostrowski's theorem gives a complete classification of places of the field of rational numbers these are precisely the equivalence classes of valuations for the p adic completions of
Бағаларды кеңейту
v K-нің бағалауы болсын және L K-нің өріс кеңейтілуі болсын. v-нің (L-ге) кеңейтілуі – L-дің w бағалауы, мұнда w-ның K-ға шектелуі v-ге тең болады. Мұндай кеңейтулердің барлық жиыны бағалаулардың тармақталу теориясында зерттеледі. L/K – шекті кеңейту болсын және w – v-нің L-ге кеңейтілуі болсын. Γv-нің Γw-дегі индексі, e(w/v) = [Γw : Γv], w-ның v-ге төмендетілген тармақталу индексі деп аталады. Ол e(w/v) ≤ [L : K] (L/K кеңейтуінің дәрежесі) теңсіздігін қанағаттандырады. w-ның v-ге қатысты дәрежесі f(w/v) = [Rw/mw : Rv/mv] (қалдық өрістердің кеңейту дәрежесі) деп анықталады. Ол да L/K дәрежесінен кем немесе тең болады. Егер L/K ажыратылатын болса, w-ның v-ге тармақталу индексі e(w/v)pi ретінде анықталады, мұнда pi – Rw/mw-нің Rv/mv-ге ажыратылмаған дәрежесі.
Let v be a valuation of K and let L be a field extension of K. An extension of v (to L) is a valuation w of L such that the restriction of w to K is v. The set of all such extensions is studied in the ramification theory of valuations. Let L/K be a finite extension and let w be an extension of v to L. The index of Γv in Γw, e(w/v) = [Γw : Γv], is called the reduced ramification index of w over v. It satisfies e(w/v) ≤ [L : K] (the degree of the extension L/K). The relative degree of w over v is defined to be f(w/v) = [Rw/mw : Rv/mv] (the degree of the extension of residue fields). It is also less than or equal to the degree of L/K. When L/K is separable, the ramification index of w over v is defined to be e(w/v)pi, where pi is the inseparable degree of the extension Rw/mw over Rv/mv.
Түгел бағаланған өрістер
Егер реттелген Абель тобы Γ бүтін сандардың қосым тобы болса, онда сәйкес бағалау абсолюттік шамаға эквивалентті болады, демек K өрісінде метриканы тудырады. Егер K осы метрикаға қатысты толық болса, онда ол толық бағаланған өріс деп аталады. Егер K толық болмаса, оның толықтырылуын құру үшін, төмендегі мысалдарда көрсетілгендей, бағалауды қолдануға болады, және әртүрлі бағалаулар әртүрлі толықтырылған өрістерді анықтай алады. Жалпы, бағалау K-де біртекті құрылымды тудырады, ал K егер ол біртекті кеңістік ретінде толық болса, толық бағаланған өріс деп аталады. Сфералық толықтылық деп аталатын байланысты қасиет бар: ол толықтыққа эквивалентті, бірақ көбінесе күштірек.
When the ordered abelian group Γ is the additive group of the integers, the associated valuation is equivalent to an absolute value, and hence induces a metric on the field K. If K is complete with respect to this metric, then it is called a complete valued field. If K is not complete, one can use the valuation to construct its completion, as in the examples below, and different valuations can define different completion fields. In general, a valuation induces a uniform structure on K, and K is called a complete valued field if it is complete as a uniform space. There is a related property known as spherical completeness: it is equivalent to completeness if but stronger in general.
p-адикалық бағалау
Ең қарапайым мысал – жай сан p-ге қатысты p-адық бағалау νp, рационал сандардағы, бағалау сақинасы бар жерде, мұндағы – жай идеал бойынша локализация. Бағалау тобы – қосымша бүтін сандар жиыны. Бүтін сан a үшін, бағалау νp(a) санының p-нің дәрежелеріне бөлінуін өлшейді:
The most basic example is the p adic valuation νp associated to a prime integer p, on the rational numbers with valuation ring where is the localization of at the prime ideal The valuation group is the additive integers For an integer the valuation νp(a) measures the divisibility of a by powers of p:
және бөлшек үшін, νp(a/b) = νp(a) − νp(b). Бұл жазбаны көбейту түрінде жазсақ, p-адық абсолют шаманы аламыз, ол конвенция бойынша негізі p болып табылады, сондықтан νp-ге қатысты толықтырылған салада p-адық сандар өрісі пайда болады.
and for a fraction, νp(a/b) = νp(a) − νp(b). Writing this multiplicatively yields the p adic absolute value, which conventionally has as base , so
The completion of with respect to νp is the field of p adic numbers.
Жою реті
K = F(x) деп белгілейік, F1 афиналық түзуіндегі рационалдық функциялар, және a ∈ X нүктесін таңдайық. , көпмүше үшін va(f) = k, x = a нүктесінде жоғалу дәрежесі; және va(f / g) = va(f) − va(g) деп анықтаймыз. Онда R бағалау сақинасы x = a нүктесінде полюсі жоқ рационалдық функциялардан тұрады, ал толықтырылуы – F((x−a)) формальды Лоран қатары сақинасы. Бұл Пуисо қатарларының Kt (бөлшек дәрежелер) өрісіне, Леви-Чивита өрісіне (оның Коши толықтырылуына) және Хан қатарларының өрісіне жалпыланады, барлық жағдайларда бағалау қатардағы t-нің ең кіші көрсеткішін береді.
Let K = F(x), the rational functions on the affine line X = F1, and take a point a ∈ X. For a polynomial with , define va(f) = k, the order of vanishing at x = a; and va(f /g) = va(f) − va(g). Then the valuation ring R consists of rational functions with no pole at x = a, and the completion is the formal Laurent series ring F((x−a)). This can be generalized to the field of Puiseux series Kt (fractional powers), the Levi Civita field (its Cauchy completion), and the field of Hahn series, with valuation in all cases returning the smallest exponent of t appearing in the series.