Оценка в алгебре: функция, измеряющая "размер" элементов поля. Обобщает понятия из алгебр. геометрии, теории чисел и комплексного анализа. Валидированные поля.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел) оценка — это функция на поле, предоставляющая меру размера или кратности элементов поля. Она обобщает в коммутативной алгебре понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля в комплексном анализе, степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрическую концепцию касания между двумя алгебраическими или аналитическими многообразиями в алгебраической геометрии. Поле, на котором определена оценка, называется полем с оценкой.
In algebra (in particular in algebraic geometry or algebraic number theory), a valuation is a function on a field that provides a measure of the size or multiplicity of elements of the field. It generalizes to commutative algebra the notion of size inherent in consideration of the degree of a pole or multiplicity of a zero in complex analysis, the degree of divisibility of a number by a prime number in number theory, and the geometrical concept of contact between two algebraic or analytic varieties in algebraic geometry. A field with a valuation on it is called a valued field.
Эквивалентность оценок
Две оценки v1 и v2 поля K с группами оценок Γ1 и Γ2 соответственно, считаются эквивалентными, если существует изоморфизм групп, сохраняющий порядок, φ : Γ1 → Γ2, такой что v2(a) = φ(v1(a)) для всех a из K×. Это отношение эквивалентности. Две оценки поля K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же оценочное кольцо. Эквивалентный класс оценок поля называется местом. Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел – это именно классы эквивалентности оценок для p-адических завершений.
Two valuations v1 and v2 of K with valuation group Γ1 and Γ2, respectively, are said to be equivalent if there is an order preserving group isomorphism φ : Γ1 → Γ2 such that v2(a) = φ(v1(a)) for all a in K×. This is an equivalence relation. Two valuations of K are equivalent if and only if they have the same valuation ring. An equivalence class of valuations of a field is called a place. Ostrowski's theorem gives a complete classification of places of the field of rational numbers these are precisely the equivalence classes of valuations for the p adic completions of
Расширение оценок
Пусть v – это оценка поля K, а L – конечное расширение поля K. Расширением v (до L) называется оценка w поля L, такая что ограничение w на K совпадает с v. Множество всех таких расширений изучается в теории разветвления оценок. Пусть L/K – конечное расширение, а w – расширение v до L. Индекс Γv в Γw, e(w/v) = [Γw : Γv], называется редуцированным индексом разветвления w над v. Он удовлетворяет неравенству e(w/v) ≤ [L : K] (степень расширения L/K). Относительная степень w над v определяется как f(w/v) = [Rw/mw : Rv/mv] (степень расширения полей вычетов). Она также меньше или равна степени L/K. Если расширение L/K является сепарабельным, то индекс разветвления w над v определяется как e(w/v)pi, где pi – неразделимая степень расширения Rw/mw над Rv/mv.
Let v be a valuation of K and let L be a field extension of K. An extension of v (to L) is a valuation w of L such that the restriction of w to K is v. The set of all such extensions is studied in the ramification theory of valuations. Let L/K be a finite extension and let w be an extension of v to L. The index of Γv in Γw, e(w/v) = [Γw : Γv], is called the reduced ramification index of w over v. It satisfies e(w/v) ≤ [L : K] (the degree of the extension L/K). The relative degree of w over v is defined to be f(w/v) = [Rw/mw : Rv/mv] (the degree of the extension of residue fields). It is also less than or equal to the degree of L/K. When L/K is separable, the ramification index of w over v is defined to be e(w/v)pi, where pi is the inseparable degree of the extension Rw/mw over Rv/mv.
Полные оцененные поля
Когда упорядоченная абелева группа Γ является аддитивной группой целых чисел, соответствующая оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, порождает метрику на поле K. Если K является полным относительно этой метрики, то его называют полным оцененным полем. Если K неполно, можно использовать оценку для построения его завершения, как в приведенных ниже примерах, и различные оценки могут определять различные поля завершения. В общем случае, оценка индуцирует однородную структуру на K, и K называется полным оцененным полем, если оно полно как однородное пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота: оно эквивалентно полноте, но в общем случае является более сильным.
When the ordered abelian group Γ is the additive group of the integers, the associated valuation is equivalent to an absolute value, and hence induces a metric on the field K. If K is complete with respect to this metric, then it is called a complete valued field. If K is not complete, one can use the valuation to construct its completion, as in the examples below, and different valuations can define different completion fields. In general, a valuation induces a uniform structure on K, and K is called a complete valued field if it is complete as a uniform space. There is a related property known as spherical completeness: it is equivalent to completeness if but stronger in general.
p-адическая оценка
Наиболее простым примером является p-адическая оценка νp, связанная с простым числом p, на рациональных числах с кольцом целостности, где – это локализация по простому идеалу. Группа оценок – это аддитивная группа целых чисел. Для целого числа a оценка νp(a) измеряет делимость a на степени p:
The most basic example is the p adic valuation νp associated to a prime integer p, on the rational numbers with valuation ring where is the localization of at the prime ideal The valuation group is the additive integers For an integer the valuation νp(a) measures the divisibility of a by powers of p:
а для дроби, νp(a/b) = νp(a) − νp(b). Записывая это в мультипликативной форме, получаем p-адическую абсолютную величину, которая по соглашению имеет основание , поэтому завершение относительно νp является полем p-адических чисел.
and for a fraction, νp(a/b) = νp(a) − νp(b). Writing this multiplicatively yields the p adic absolute value, which conventionally has as base , so
The completion of with respect to νp is the field of p adic numbers.
Порядок исчезновения
Пусть K = F(x) – рациональные функции на аффинной прямой X = F1, и возьмем точку a ∈ X. Для функции f с определением в точке a, определим va(f) = k как порядок исчезновения в точке x = a; и va(f / g) = va(f) − va(g). Тогда кольцо оценки R состоит из рациональных функций, не имеющих полюса в точке x = a, а завершение – это кольцо формальных рядов Лорана F((x−a)). Это можно обобщить на поле рядов Пюизе Kt (с дробными степенями), поле Леви-Чивиты (его завершение Коши) и поле рядов Хана, причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель t, встречающийся в ряду.
Let K = F(x), the rational functions on the affine line X = F1, and take a point a ∈ X. For a polynomial with , define va(f) = k, the order of vanishing at x = a; and va(f /g) = va(f) − va(g). Then the valuation ring R consists of rational functions with no pole at x = a, and the completion is the formal Laurent series ring F((x−a)). This can be generalized to the field of Puiseux series Kt (fractional powers), the Levi Civita field (its Cauchy completion), and the field of Hahn series, with valuation in all cases returning the smallest exponent of t appearing in the series.