Кіріспе
Ойлер санының (e) иррационалды екендігін математикалық дәлелдеу. Е санын 1683 жылы Якоб Бернулли енгізген. Жарты ғасырдан астам соң, Якобтың кіші інісі Иоганнның шәкірті болған Эйлер, е санын иррационалды екенін дәлелдеді; яғни, оны екі бүтін санның қатынасы түрінде көрсету мүмкін емес.
The number e was introduced by Jacob Bernoulli in 1683. More than half a century later, Euler, who had been a student of Jacob's younger brother Johann, proved that e is irrational; that is, that it cannot be expressed as the quotient of two integers.
Эйлер дәлелі
Ойлер 1737 жылы e санының иррационал екенін алғаш дәлелдеді (бірақ мәтін жеті жылдан кейін ғана жарияланды). Ол e санын қарапайым тізбекті бөлшек түрінде көрсетті, ол мынадай:
Бұл тізбекті бөлшек шексіз болғандықтан және әрбір рационал санның аяқталатын тізбекті бөлшегі болады, e иррационал. Бұл теңдіктің қысқа дәлелі де бар. e саның қарапайым тізбекті бөлшегі периодты емес болғандықтан, бұл e рационал коэффициенттері бар квадрат теңдеудің түбірі емес екенін көрсетеді; әсіресе, e² иррационал.
Жалпылау
1840 жылы Лиувилл e2 иррационалды екенін дәлелдеді, одан кейін e2 рационалды коэффициенттері бар екінші дәрежелі полиномның түбірі емес екенін көрсетті. Бұл соңғы факт e4-тің иррационалды екенін білдіреді. Оның дәлелдемелері Фурье e-нің иррационалдығын дәлелдеуімен ұқсас. 1891 жылы Хурвиц e-нің рационалды коэффициенттері бар үшінші дәрежелі полиномның түбірі емес екенін дәлелдеуге болатынын түсіндірді, бұл e3-тің иррационалды екенін көрсетеді. Жалпы алғанда, кез келген нөлдік емес рационалды q үшін eq иррационалды болады. Чарльз Гермит 1873 жылы e трансценденттік сан екенін дәлелдеді, яғни ол рационалды коэффициенттері бар кез келген полиномның түбірі емес, сондай-ақ кез келген нөлдік емес алгебралық α үшін e^(α) да трансценденттік сан болады.
Charles Hermite further proved that e is a transcendental number, in 1873, which means that is not a root of any polynomial with rational coefficients, as is e^(α) for any non zero algebraic α.