Введение

Математическое доказательство того, что число Эйлера (e) иррационально.

Число e было введено Якобом Бернулли в 1683 году. Более полувека спустя Эйлер, который был учеником младшего брата Якоба, Иоганна, доказал, что e иррационально; то есть, его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.

Доказательство Эйлера

Эйлер написал первое доказательство иррациональности числа e в 1737 году (но текст был опубликован лишь семь лет спустя). Он вычислил представление числа e в виде простой непрерывной дроби, которая выглядит следующим образом:

Поскольку эта непрерывная дробь бесконечна, а каждое рациональное число имеет конечную непрерывную дробь, число e иррационально. Существует краткое доказательство предыдущего равенства. Тот факт, что простая непрерывная дробь для e не является периодической, также доказывает, что e не является корнем квадратного многочлена с рациональными коэффициентами; в частности, e² иррационально.

Обобщения

В 1840 году Лиувилл опубликовал доказательство иррациональности e², за которым последовало доказательство того, что e² не является корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами. Этот последний факт влечет за собой, что e⁴ иррационально. Его доказательства аналогичны доказательству Фурье об иррациональности e. В 1891 году Хурвиц показал, как, следуя той же логике, доказать, что e не является корнем многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами, что, в свою очередь, влечет за собой иррациональность e³. В более общем виде, e^q иррационально для любого ненулевого рационального q. Шарль Эрмит дополнительно доказал в 1873 году, что e является трансцендентным числом, то есть не является корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами, как и e^(α) для любого ненулевого алгебраического α.