Кеңістікті толтыратын қисықтар және Пеано қисығы

Кіріспе

Математикалық талдауда кеңістікті толтыру қисығы – жоғары өлшемді аймақтағы кез келген нүктеге жететін қисық, әдетте бірлік шаршыға (немесе жалпы алғанда n өлшемді бірлік гиперкубқа). Джузеппе Пеано (1858–1932) осыны бірінші болып тапқандықтан, екі өлшемді жазықтықтағы кеңістікті толтыру қисықтары кейде Пеано қисықтары деп аталады, бірақ бұл сөз тіркесі Пеано қисығына да қатысты, ол Пеано тапқан кеңістікті толтыру қисығының нақты мысалы. Тығыз байланысты FASS қисықтары (шамамен кеңістікті толтыру, өзін-өзі қиып өтпеу, қарапайым және өзін-өзі ұқсас қисықтар) белгілі бір типтегі кеңістікті толтыру қисықтарының шекті жақындаулары ретінде қарастырылуы мүмкін.

Анықтама

Интуитивті түрде, екі немесе үш (немесе одан да жоғары) өлшемдегі қисық, үздіксіз қозғалатын нүктенің траекториясы ретінде қарастырылуы мүмкін. Осы ұғымның бұрышталығын жою үшін, 1887 жылы Жордан төмендегі қатаң анықтаманы ұсынды, ол одан бері қисық туралы түсінікке дәл сипаттама ретінде қабылданды:

Ең жалпы жағдайда, мұндай функцияның мәндер жиыны кез келген топологиялық кеңістікте жатуы мүмкін, бірақ көбінесе зерттелетін жағдайларда мәндер жиыны 2 өлшемді жазықтықта (жазық қисық) немесе 3 өлшемді кеңістікте (кеңістік қисық) сияқты Евклид кеңістігінде болады. Кейде қисық функцияның өзі емес, функцияның бейнесімен (функцияның барлық мүмкін мәндерінің жиынтығы) сәйкестендіріледі. Сондай-ақ, ұштары жоқ қисықтарды нақты сандар түзуінде (немесе ашық бірлік интервалында (0, 1)) үздіксіз функция ретінде анықтауға болады.

Тарих

1890 жылы Джузеппе Пеано бірлік шаршының барлық нүктелері арқылы өтетін үздіксіз қисық сызықты тапты, ол қазір Пеано қисығы деп аталады. Оның мақсаты бірлік аралықтан бірлік шаршыға үздіксіз бейнелеу құру болды. Пеано Георг Кантордың бірлік аралықтағы нүктелердің шексіз санының, бірлік шаршы сияқты кез келген шекті өлшемді кеңістіктегі нүктелердің шексіз санымен бірдей кардиналдық санына ие екендігі туралы бұрынғы, түсініксіз нәтижесіне сүйенді. Пеано шешкен мәселе – мұндай бейнелеу үздіксіз бола ала ма, яғни кеңістікті толтыратын қисық бола ала ма. Пеаноның шешімі бірлік аралық пен бірлік шаршы арасында үздіксіз бір-бірге сәйкестік құрмайды, және шындығында мұндай сәйкестік жоқ (төменде қараңыз). Қисықтарға қатысты жұқалық және 1 өлшемділік туралы тұманды ұғымдарды байланыстыру кең таралған; кездесетін барлық қисықтар бөлікті дифференциалданады (яғни, бөлікті үздіксіз туындылары бар), және мұндай қисықтар бүкіл бірлік шаршыны толтыра алмайды. Сондықтан Пеаноның кеңістікті толтыру қисығы өте түсініксіз болып табылған. Пеаноның мысалынан, диапазонында n өлшемді гиперкубты (әрбір оң бүтін n үшін) қамтитын үздіксіз қисықтарды шығару оңай болды. Сондай-ақ, Пеаноның мысалын ұштары жоқ, бүкіл n өлшемді Эвклид кеңістігін (n – 2, 3 немесе кез келген басқа оң бүтін сан) толтыратын үздіксіз қисықтарға кеңейту оңай болды. Көптеген кеңістікті толтыру қисықтары бөлікті сызықты үздіксіз қисықтардың тізбегінің лиміті ретінде итеративті түрде құрастырылады, олардың әрқайсысы кеңістікті толтыру лимітіне жақындап келеді. Пеаноның маңызды мақаласында оның құрылымының суреттері жоқ, ол үштік кеңейтулер және айналу операторы арқылы анықталады. Бірақ графикалық құрылым оған толық түсінікті болды – ол өзінің Туриндегі үйінде қисықтың суретін көрсететін әшекейлі плитка жасады. Пеаноның мақаласы сондай-ақ техниканың 3-тен басқа да тақ негіздерге оңай қолданыла алатындығын атап өтеді. Оның графикалық бейнелеуге жүгінуден аулақ болуының себебі – суреттерге ешқандай қарызы жоқ, толыққанды қатаң дәлелдеуге ұмтылуынан туындады. Сол кезде (жалпы топологияның негізі қалана бастаған кезде) графикалық аргументтер әлі де дәлелдерге енгізілді, бірақ көбінесе түсініксіз нәтижелерді түсінуге кедергі келтіретін. Бір жылдан кейін Дэвид Гильберт сол журналда Пеано құрылымының өзгеруін жариялады. Гильберт мақаласында алғаш рет құрылыс техникасын көруге көмектесетін сурет енгізілді, ол негізінен мұнда көрсетілгендей. Алайда, Гильберт қисығының аналитикалық формасы Пеаноныкінен гөрі күрделірек.

In 1890, Giuseppe Peano discovered a continuous curve, now called the Peano curve, that passes through every point of the unit square. His purpose was to construct a continuous mapping from the unit interval onto the unit square. Peano was motivated by Georg Cantor's earlier counterintuitive result that the infinite number of points in a unit interval is the same cardinality as the infinite number of points in any finite dimensional manifold, such as the unit square. The problem Peano solved was whether such a mapping could be continuous; i. e., a curve that fills a space. Peano's solution does not set up a continuous one to one correspondence between the unit interval and the unit square, and indeed such a correspondence does not exist (see below). It was common to associate the vague notions of thinness and 1 dimensionality to curves; all normally encountered curves were piecewise differentiable (that is, have piecewise continuous derivatives), and such curves cannot fill up the entire unit square. Therefore, Peano's space filling curve was found to be highly counterintuitive. From Peano's example, it was easy to deduce continuous curves whose ranges contained the n dimensional hypercube (for any positive integer n). It was also easy to extend Peano's example to continuous curves without endpoints, which filled the entire n dimensional Euclidean space (where n is 2, 3, or any other positive integer). Most well known space filling curves are constructed iteratively as the limit of a sequence of piecewise linear continuous curves, each one more closely approximating the space filling limit. Peano's ground breaking article contained no illustrations of his construction, which is defined in terms of ternary expansions and a mirroring operator. But the graphical construction was perfectly clear to him—he made an ornamental tiling showing a picture of the curve in his home in Turin. Peano's article also ends by observing that the technique can be obviously extended to other odd bases besides base 3. His choice to avoid any appeal to graphical visualization was motivated by a desire for a completely rigorous proof owing nothing to pictures. At that time (the beginning of the foundation of general topology), graphical arguments were still included in proofs, yet were becoming a hindrance to understanding often counterintuitive results. A year later, David Hilbert published in the same journal a variation of Peano's construction. Hilbert's article was the first to include a picture helping to visualize the construction technique, essentially the same as illustrated here. The analytic form of the Hilbert curve, however, is more complicated than Peano's.

Бос орынды толтыру қисығының құрылысының сызбасы

Кантор кеңістігін белгілейік. Кантор кеңістігінен бүкіл бірлік аралығына үздіксіз функциядан бастаймыз (Кантор функциясының Кантор жиынына шектелуі мұндай функцияның мысалы болып табылады). Одан, топологиялық көбейтіндіден бүкіл бірлік шаршыға үздіксіз функция аламыз, мынаны қойып:

Кантор жиыны көбейтіндіге гомеоморфты болғандықтан, Кантор жиынынан бірлік шаршыға үздіксіз биекция бар. және функцияларының композициясы Кантор жиынын бүкіл бірлік шаршыға бейнелейтін үздіксіз функция болады. (Балама ретінде, әрбір ықшам метрикалық кеңістік Кантор жиынының үздіксіз бейнесі екенін көрсететін теореманы қолданып функцияны алуға болады.) Соңында, функциясын бүкіл бірлік аралығын қамтитын үздіксіз функцияға кеңейтуге болады. Бұл Тиетце кеңейту теоремасын қолдану арқылы немесе жай ғана "сызықтық" кеңейту арқылы жасалуы мүмкін (яғни, Кантор жиынының құрылымындағы жойылған әрбір ашық аралықта, функцияның кеңейтілген бөлігін сол аралықтағы бірлік шаршының ішіндегі және мәндерін қосатын сызық сегменті ретінде анықтаймыз).

Қасиеттері

Егер қисық инъективті болмаса, онда қисықтың доменінен (бірлік сызық сегменті) екі ажыратылған сегменттердің бейнелерін қарастыру арқылы алынған екі қиылысатын қисықтарды табуға болады. Екі субқисық екі бейненің қиылысы бос емес болса ғана қиылысады. Адамдар қиылысатын қисықтардың бір-бірін міндетті түрде кесіп өтуі керек деп ойлауға бейім, екі параллель емес түзудің қиылысу нүктесі сияқты, бір жағынан екінші жағына. Дегенмен, екі қисық (немесе бір қисықтың екі субқисығы) кесіспей, тек жанасып қалуы мүмкін, мысалы, шеңберге жанасатын түзу сияқты. Өзін-өзі қиып жатқан үздіксіз қисық бірлік шаршыны толтыра алмайды, себебі бұл қисықты бірлік аралығынан бірлік шаршысына гомеоморфизмге айналдырады (кәмпекті кеңістіктен Хаусдорф кеңістігіне кез келген үздіксіз биекция гомеоморфизм болып табылады). Бірақ бірлік шаршыда кесу нүктесі жоқ, сондықтан ол бірлік аралығына гомеоморфты бола алмайды, онда барлық нүктелер, соңғы нүктелерден басқа, кесу нүктелері болып табылады. Нөлдік емес ауданы бар, өзін-өзі қиып жатпайтын қисықтар, Осгуд қисықтары бар, бірақ Нетто теоремасы бойынша олар кеңістікті толтырмайды. Классикалық Пеано және Хилберт кеңістікті толтыру қисықтарында екі субқисық қиылысады (техникалық мағынада), бірақ өзін-өзі қиып жатпай, өзімен байланысады. Кеңістікті толтыру қисығы өзін-өзі қиып өтуі мүмкін (барлық жерде), егер оның жуықтау қисықтары өзін-өзі қиып өтсе. Кеңістікті толтыру қисығының жуықтаулары өзін-өзі болдырмауы мүмкін, бұл жоғарыдағы суреттерде көрсетілген. Үш өлшемде өзін-өзі болдырмайтын жуықтау қисықтары тіпті түйіндерді де қамтуы мүмкін. Жуықтау қисықтары n өлшемді кеңістіктің шектеулі бөлігінде қалады, бірақ олардың ұзындығы шексіз өседі. Кеңістікті толтыру қисықтары фракталдық қисықтардың ерекше жағдайлары болып табылады. Дифференциалданатын кеңістікті толтыру қисығы болуы мүмкін емес. Шамамен айтқанда, дифференциалдану қисықтың қаншалықты жылдам бұрылуына шек қояды. Михал Морейн континуум гипотезасы Пеано қисығының бар екендігіне эквивалентті екенін дәлелдеді, яғни нақты түзудің әрбір нүктесінде оның кемінде бір компоненті дифференциалданады.

If a curve is not injective, then one can find two intersecting subcurves of the curve, each obtained by considering the images of two disjoint segments from the curve's domain (the unit line segment). The two subcurves intersect if the intersection of the two images is non empty. One might be tempted to think that the meaning of curves intersecting is that they necessarily cross each other, like the intersection point of two non parallel lines, from one side to the other. However, two curves (or two subcurves of one curve) may contact one another without crossing, as, for example, a line tangent to a circle does. A non self intersecting continuous curve cannot fill the unit square because that will make the curve a homeomorphism from the unit interval onto the unit square (any continuous bijection from a compact space onto a Hausdorff space is a homeomorphism). But a unit square has no cut point, and so cannot be homeomorphic to the unit interval, in which all points except the endpoints are cut points. There exist non self intersecting curves of nonzero area, the Osgood curves, but by Netto's theorem they are not space filling. For the classic Peano and Hilbert space filling curves, where two subcurves intersect (in the technical sense), there is self contact without self crossing. A space filling curve can be (everywhere) self crossing if its approximation curves are self crossing. A space filling curve's approximations can be self avoiding, as the figures above illustrate. In 3 dimensions, self avoiding approximation curves can even contain knots. Approximation curves remain within a bounded portion of n dimensional space, but their lengths increase without bound. Space filling curves are special cases of fractal curves. No differentiable space filling curve can exist. Roughly speaking, differentiability puts a bound on how fast the curve can turn. Michał Morayne proved that the continuum hypothesis is equivalent to the existence of a Peano curve such that at each point of real line at least one of its components is differentiable.

Клейндік топтар

Екі есе дегенерацияланған Клейндік топтар теориясында кеңістікті толтырудың, немесе дәлірек айтқанда, шарды толтырудың көптеген табиғи мысалдары бар. Мысалы, Аносовтың псевдо картасының карталық торының универсалды жабынының шексіздіктегі шеңбері шарды толтыратын қисық екенін көрсетті. (Мұндағы шар – гиперболалық 3 кеңістігінің шексіздігіндегі шар.)

Интеграциялау

Винер "Фурье интегралы және оның кейбір қолданбалары" еңбегінде кеңістікті толтыру қисықтарын жоғары өлшемдегі Лебег интегралдауды бір өлшемдегі Лебег интегралдауға келтіруге болатынын көрсетті.