Кіріспе

Фрактальдік қисық

Кох қар жапырағы (Кох қисығы, Кох жұлдызы немесе Кох аралы деп те аталады) – фрактальдік қисық және сипатталған ең алғашқы фракталдардың бірі. Ол 1904 жылы швед математигі Хельге фон Кохтың "Элементар геометриядан құрастырылатын жанамасы жоқ үздіксіз қисық туралы" атты мақаласында пайда болған Кох қисығына негізделген. Кох қар жапырағы кезеңдер тізбегі арқылы итеративті түрде салынуы мүмкін. Бірінші кезең – теңқабырлы үшбұрыш, ал әрбір кезекті кезең алдыңғы кезеңнің әр қабырғасына сыртқа қарай иілістер қосу арқылы құралады, нәтижесінде кіші теңқабырлы үшбұрыштар пайда болады. Қар жапырағының құрылысындағы кезекті кезеңдермен қоршалған аудандар бастапқы үшбұрыштың ауданының шамамен еселенеді, ал кезекті кезеңдердің периметрлері шексіз өседі. Осылайша, қар жапырағы шекті аумақты қамтиды, бірақ шексіз периметрі бар. Кох қар жапырағы кез келген нүктеде жанама сызық жүргізу мүмкін емес үздіксіз қисықтың мысалы ретінде құрастырылған. Бұрынғы Вейерштрасс функциясынан айырмашылығы, оның дәлелі талдамалық болған, Кох қар жапырағы сол кезде геометриялық түрде бейнелеуге мүмкіндік беру үшін жасалды, соның арқасында бұл қасиетті «жай интуиция» арқылы да көруге болады.

Басқа қасиеттері

Кох қар түйіршігі өзін-өзі көбейтіп, ортасында бір үлкен түйіршікпен қоршалған алты кіші түйіршіктен тұрады. Сондықтан, ол irrep 7 irrep плиткасы болып табылады (толық ақпарат үшін Rep плиткасын қараңыз). Кох қисығының фракталдық өлшемі – бұл тура сызықтан жоғары, бірақ Пеаноның кеңістікті толтыру қисығынан төмен. Кисықтың кез келген нүктесіне жанама сызық жүргізу мүмкін емес.

Де-Рам қисығы ретінде бейнелеу

Кох қисығы де Рам қисығының ерекше жағдайы ретінде туындайды. Де Рам қисықтары – Кантор кеңістігінің жазықтыққа бейнеленуі, көбінесе үздіксіз қисық құру үшін орналастырылады. Үздіксіз де Рам қисығының әрбір нүктесі бірлік аралықтағы нақты санмен сәйкес келеді. Кох қисығы үшін қар ұпайының ұштары диадтық рационалдарға сәйкес келеді: әрбір ұштың бірегей диадтық рационалмен белгіленуі мүмкін.

Ұшақтың теселлациясы

Ұшақты екі түрлі өлшемдегі Кох қар кристалдарын көшіру арқылы кесуге болады. Дегенмен, мұндай кескішті тек бір өлшемді қар кристалдарын ғана пайдаланып жасау мүмкін емес. Кескіштегі әрбір Кох қар кристалы екі түрлі өлшемдегі жеті кіші кристалға бөліне алатындықтан, бірден екіден астам өлшемді пайдаланатын кескіштерді табуға да болады. Кох қар кристалдары мен Кох қар антикристалдарын бірдей өлшемде пайдаланып жазықтықты мозаикалауға болады.

Функционализациялау

Бұрыстың өзінен басқа, Хельге фон Кохтың бұрысты орнатып, оның өзгеруін көрсеткен мақаласы, сол кезде геометриялық түрде бейнелеуге болатын, барлық жерде үздіксіз, бірақ еш жерде туындысы жоқ функцияның мысалы ретінде де таныстырылған. АБ түзуінен бастап, графикті әр сызық сегментіне келесі рекурсивті әрекеттерді қолдану арқылы салуға болады:
Сызық сегментін (XY) C және E нүктелерімен бөлінген, тең үш бөлікке бөліңіз.
М нүктесі CE-нің ортасы болса, DM сызығын салыңыз, ол AB түзуіне перпендикуляр болып, ұзындығына тең болсын. CD және DE сызықтарын салыңыз және CE мен DM сызықтарын жойыңыз. АВ-ның кез келген нүктесі бір биіктікке жақындайтынын көрсетуге болады. Егер бұл нүкте мен бастапқы түзу арасындағы қашықтық ретінде анықталса, онда функция барлық жерде үздіксіз, бірақ еш жерде туындыланбайды.