Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екі өлшемді беттің өлшемі.
Measure of a two dimensional surface
Қатты дененің бетінің ауданы (A символы) – дененің беті қамтитын жалпы ауданның өлшемі. Иілген беттердің математикалық анықтамасы, бір өлшемді қисықтардың доға ұзындығының немесе көпжақтардың (яғни, жазық көпбұрышты жақтары бар денelerдің) бетінің ауданынан әлдеқайда күрделі, себебі олар үшін бетінің ауданы жақтарының аудандарының қосындысы болып табылады. Сфера сияқты тегіс беттерге, олардың параметрлік беттер түрінде бейнеленуі арқылы бетінің ауданы беріледі. Бұл бетінің ауданының анықтамасы, шексіз кішкентай есептеу әдістеріне негізделген және ішінара туындыларды және қос интегралдауды қамтиды. Х. Лебег және Х. Минковский ХХ ғасырдың басында бетінің ауданының жалпы анықтамасын іздеді. Олардың жұмысы геометриялық өлшемдер теориясының дамуына әкелді, ол кез келген өлшемдегі дұрыс емес денeler үшін бетінің әртүрлі ұғымдарын зерттейді. Маңызды мысал – бетінің Минковский мазмұны.
The surface area (symbol A) of a solid object is a measure of the total area that the surface of the object occupies. The mathematical definition of surface area in the presence of curved surfaces is considerably more involved than the definition of arc length of one dimensional curves, or of the surface area for polyhedra (i. e., objects with flat polygonal faces), for which the surface area is the sum of the areas of its faces. Smooth surfaces, such as a sphere, are assigned surface area using their representation as parametric surfaces. This definition of surface area is based on methods of infinitesimal calculus and involves partial derivatives and double integration. A general definition of surface area was sought by Henri Lebesgue and Hermann Minkowski at the turn of the twentieth century. Their work led to the development of geometric measure theory, which studies various notions of surface area for irregular objects of any dimension. An important example is the Minkowski content of a surface.
Бірдей радиусы мен биіктігі бар шар мен цилиндрдің бетінің аудандарының арақатынасы
Төменде келтірілген формулаларды пайдаланып, бірдей радиус және биіктігі бар шар мен цилиндрдің бетінің ауданы 2:3 қатынасында екенін көрсетуге болады. Радиус r және биіктік h болсын (шар үшін бұл 2r). Осы қатынастың ашылуы Архимед есімімен байланысты.
The below given formulas can be used to show that the surface area of a sphere and cylinder of the same radius and height are in the ratio 2 : 3, as follows. Let the radius be r and the height be h (which is 2r for the sphere). The discovery of this ratio is credited to Archimedes.
Химия саласында
Жер бетінің ауданы химиялық кинетикада маңызды. Кез келген заттың бетінің ауданы ұлғайса, химиялық реакцияның жылдамдығы көбінесе артады. Мысалы, ұсақ ұнтақталған темір өртенеді, ал ірі блоктардағы темір құрылыстарда қолдануға жеткілікті тұрақты болады. Әртүрлі қолданыстар үшін минималды немесе максималды бет ауданы қажет болуы мүмкін.
Surface area is important in chemical kinetics. Increasing the surface area of a substance generally increases the rate of a chemical reaction. For example, iron in a fine powder will combust, while in solid blocks it is stable enough to use in structures. For different applications a minimal or maximal surface area may be desired.
Биологияда
Организмнің бетінің ауданы дене температурасын реттеу және ас қорыту сияқты бірнеше жағдайларда маңызды. Жануарлар тістерін тағамды ұсақ бөлшектерге ұнтақтау үшін пайдаланады, бұл ас қорытуға қолжетімді беттік ауданын арттырады. Ас қорыту жолын астарлаған эпителийлік тіндерде микровиллилер болады, бұл сіңіруге арналған ауданды едәуір арттырады. Пілдердің құлақтары үлкен, бұл оларға өз дене температурасын реттеуге мүмкіндік береді. Басқа жағдайларда жануарлар беттік ауданын азайтуға тырысады; мысалы, адамдар суық болғанда қолдарын кеудесіне жиып, жылу жоғалтуды азайтады. Жасушаның көлемге қатысты беттік ауданының (SA:V) қатынасы оның өлшеміне шектеу қояды, себебі көлем беттік ауданнан әлдеқайда жылдам өседі, соның салдарынан жасуша мембранасы арқылы интерстициалдық кеңістікке немесе басқа жасушаларға заттардың таралу жылдамдығы шектеледі. Шындығында, жасушаны радиусы r болатын идеал сфера ретінде қарастырғанда, көлемі мен беттік ауданы тиісінше 1=V = (4/3)πr^(3) және 1=SA = 4πr^(2) болады. Соның нәтижесінде, беттік ауданға көлемнің қатынасы 3/r тең. Демек, егер жасушаның радиусы 1 мкм болса, SA:V қатынасы 3-ке тең; ал егер жасушаның радиусы 10 мкм болса, онда SA:V қатынасы 0,3-ке тең. Жасуша радиусы 100 мкм болғанда, SA:V қатынасы 0,03-ке тең. Осылайша, көлемнің артуымен беттік аудан күрт төмендейді.
The surface area of an organism is important in several considerations, such as regulation of body temperature and digestion. Animals use their teeth to grind food down into smaller particles, increasing the surface area available for digestion. The epithelial tissue lining the digestive tract contains microvilli, greatly increasing the area available for absorption. Elephants have large ears, allowing them to regulate their own body temperature. In other instances, animals will need to minimize surface area; for example, people will fold their arms over their chest when cold to minimize heat loss. The surface area to volume ratio (SA:V) of a cell imposes upper limits on size, as the volume increases much faster than does the surface area, thus limiting the rate at which substances diffuse from the interior across the cell membrane to interstitial spaces or to other cells. Indeed, representing a cell as an idealized sphere of radius r, the volume and surface area are, respectively, 1=V = (4/3)πr^(3) and 1=SA = 4πr^(2). The resulting surface area to volume ratio is therefore 3/r. Thus, if a cell has a radius of 1 μm, the SA:V ratio is 3; whereas if the radius of the cell is instead 10 μm, then the SA:V ratio becomes 0.3. With a cell radius of 100, SA:V ratio is 0.03. Thus, the surface area falls off steeply with increasing volume.