Кіріспе
Дөңгелек пішіндегі айналу бетіндегі математикалық бет
the mathematical surface
In geometry, a torus (: tori or toruses) is a surface of revolution generated by revolving a circle in three dimensional space one full revolution about an axis that is coplanar with the circle. The main types of toruses include ring toruses, horn toruses, and spindle toruses. A ring torus is sometimes colloquially referred to as a donut or doughnut. If the axis of revolution does not touch the circle, the surface has a ring shape and is called a torus of revolution, also known as a ring torus. If the axis of revolution is tangent to the circle, the surface is a horn torus. If the axis of revolution passes twice through the circle, the surface is a spindle torus (or self crossing torus or self intersecting torus). If the axis of revolution passes through the center of the circle, the surface is a degenerate torus, a double covered sphere. If the revolved curve is not a circle, the surface is called a toroid, as in a square toroid. Real world objects that approximate a torus of revolution include swim rings, inner tubes and ringette rings. A torus should not be confused with a solid torus, which is formed by rotating a disk, rather than a circle, around an axis. A solid torus is a torus plus the volume inside the torus. Real world objects that approximate a solid torus include O rings, non inflatable lifebuoys, ring doughnuts, and bagels. In topology, a ring torus is homeomorphic to the Cartesian product of two circles: , and the latter is taken to be the definition in that context. It is a compact 2 manifold of genus 1. The ring torus is one way to embed this space into Euclidean space, but another way to do this is the Cartesian product of the embedding of in the plane with itself. This produces a geometric object called the Clifford torus, a surface in 4 space. In the field of topology, a torus is any topological space that is homeomorphic to a torus. The surface of a coffee cup and a doughnut are both topological tori with genus one. An example of a torus can be constructed by taking a rectangular strip of flexible material such as rubber, and joining the top edge to the bottom edge, and the left edge to the right edge, without any half twists (compare Klein bottle).
Геометрияда, тор (немесе торлар) – үш өлшемді кеңістікте шеңберді бір толық айналымға айналдыру арқылы жасалатын айналу беті. Торлардың негізгі түрлері: сақина тәрізді торлар, мүйіз тәрізді торлар және шпиндель тәрізді торлар. Сақина тәрізді торды көбінесе донат немесе пончик деп атайды. Егер айналу осі шеңберге тиіспесе, бет сақина пішіндес болады және оны айналу торы деп атайды, сондай-ақ сақина торы деп те атайды. Егер айналу осі шеңберге жанасса, бет мүйіз тәрізді тор болады. Егер айналу осі шеңбер арқылы екі рет өтетін болса, бет шпиндель тәрізді тор (немесе өзін-өзі қиып өтетін тор) болады. Егер айналу осі шеңбердің ортасынан өтетін болса, бет екі рет жабық сфера болады. Егер айналған қисық сызық шеңбер болмаса, бет тороид деп аталады, мысалы, төртбұрышты тороид. Нақты әлемде айналу торына жақын объектілерге жүзу сақиналары, камералар мен рингет сақиналары жатады. Торосты қатты тормен шатастырмау керек, ол шеңбер емес, дискты осінің айнала айналдыру арқылы жасалады. Қатты тор – бұл тор және оның ішіндегі көлем. Топологияда сақина тәрізді тор екі шеңбердің декарт көбейтіндісіне гомеоморфты: , және соңғысы осы контексте анықтама ретінде қабылданады. Бұл 1-туқымның 2-өлшемді манифолдысы. Сақина тәрізді тор – бұл кеңістікті евкалид кеңістігіне ендірудің бір жолы, бірақ оны жасаудың тағы бір жолы – декарт көбейтіндісі. Бұл Клиффорд торы деп аталатын геометриялық нысанды, 4-өлшемді кеңістіктегі бетті береді. Топология саласында тор – торға гомеоморфты кез келген топологиялық кеңістік. Кофе кесегі мен пончик беттері де бір туқымды топологиялық торлар болып табылады. Тордың мысалын жасау үшін резеңке сияқты иілгіш материалдан тіктөртбұрыш жолақты алып, жоғарғы жиегін төменгі жиегіне, ал сол жиегін оң жиегіне қосуға болады, ешқандай жартылай бұрылыстарсыз (Клейн бөтелкесімен салыстырыңыз).
the mathematical surface
In geometry, a torus (: tori or toruses) is a surface of revolution generated by revolving a circle in three dimensional space one full revolution about an axis that is coplanar with the circle. The main types of toruses include ring toruses, horn toruses, and spindle toruses. A ring torus is sometimes colloquially referred to as a donut or doughnut. If the axis of revolution does not touch the circle, the surface has a ring shape and is called a torus of revolution, also known as a ring torus. If the axis of revolution is tangent to the circle, the surface is a horn torus. If the axis of revolution passes twice through the circle, the surface is a spindle torus (or self crossing torus or self intersecting torus). If the axis of revolution passes through the center of the circle, the surface is a degenerate torus, a double covered sphere. If the revolved curve is not a circle, the surface is called a toroid, as in a square toroid. Real world objects that approximate a torus of revolution include swim rings, inner tubes and ringette rings. A torus should not be confused with a solid torus, which is formed by rotating a disk, rather than a circle, around an axis. A solid torus is a torus plus the volume inside the torus. Real world objects that approximate a solid torus include O rings, non inflatable lifebuoys, ring doughnuts, and bagels. In topology, a ring torus is homeomorphic to the Cartesian product of two circles: , and the latter is taken to be the definition in that context. It is a compact 2 manifold of genus 1. The ring torus is one way to embed this space into Euclidean space, but another way to do this is the Cartesian product of the embedding of in the plane with itself. This produces a geometric object called the Clifford torus, a surface in 4 space. In the field of topology, a torus is any topological space that is homeomorphic to a torus. The surface of a coffee cup and a doughnut are both topological tori with genus one. An example of a torus can be constructed by taking a rectangular strip of flexible material such as rubber, and joining the top edge to the bottom edge, and the left edge to the right edge, without any half twists (compare Klein bottle).
Этимология
Торус – латын тілінде "дөңгелек, ісіңкі, көтеріңкі, шығыңқы" деген мағынаны білдіреді.
Екі парақпен қапталған қаптама
2 тор 2 сфераны төрт тармақталу нүктесі арқылы екі рет жабады. 2 тордағы кез келген конформдық құрылымды 2 сфераның екі қабатты жабуы ретінде бейнелеуге болады. Торостағы тармақталу нүктелеріне сәйкес келетін нүктелер Вейерштрасс нүктелері деп аталады. Шындығында, тордың конформалық типі төрт нүктенің қиылысу қатынасымен анықталады.
n өлшемді тор
Торус жоғары өлшемдерге жалпыланады, , көбінесе n-торус немесе қысқаша гиперторус деп аталады. (Бұл "n-торус" терминінің ең көп кездесетін мағынасы, ал екіншісі n тесіктерге немесе n туысқа қатысты.) Торус екі шеңбердің көбейтіндісі екенін еске түсірсек, n өлшемді торус – n шеңбердің көбейтіндісі. Яғни: стандартты 1-торус – бұл тек шеңбер: жоғарыда талқыланған торус – стандартты 2-торус, және 2-торусқа ұқсас, n-торус, кез келген координата бойынша бүтін санға қадамдық жылжулардың бөлігі ретінде сипатталуы мүмкін. Яғни, n-торус – бүтін сандар торының әрекетіне қатысты модуль (мұндағы әрекет векторлық қосу ретінде қарастырылады). Балама ретінде, n-торус n өлшемді гиперкубтан қарама-қарсы жақтарын біріктіру арқылы алынады. Бұл мағынадағы n-торус – n өлшемді компактты көптүрліліктің мысалы. Сондай-ақ, ол компактты абельдік Лай тобының мысалы болып табылады. Бұл факт бірлік шеңберінің компактты абельдік Лай тобы екендігінен туындайды (білік кешенді сандармен көбейту арқылы сәйкестендірілгенде). Торустағы топтық көбейту координаттар бойынша көбейту арқылы анықталады. Тороидтық топтар компактты Лай топтарының теориясында маңызды рөл атқарады. Бұл, ішінара, кез келген компактты Лай тобы G-де әрқашан максималды торус табылатындығына байланысты; яғни, ең үлкен мүмкін өлшемге ие торус болып табылатын жабық кіші топ. Мұндай максималды торилер T байланысқан G теориясында бақылаушы рөл атқарады. Тороидтық топтар – проторилердің мысалдары, олар (торилер сияқты) компактты байланысқан абельдік топтар болып табылады, бірақ олардың көптүрлі болуы міндетті емес. T автоморфизмдері тордың автоморфизмдерінен оңай құрастырылады, олар n өлшемді интегралды матрицалармен, интегралды кері матрицасымен жіктеледі; бұл тек ±1 детерминанты бар интегралды матрицалар. Оларды әдеттегідей әрекет етуге мәжбүрлеу арқылы, бөлістегі стандартты торалдық автоморфизмді аламыз. n-торус фундаменталдық тобы – n дәрежелі еркін абельдік топ. n-торус k-шы гомология тобы – n дәрежелі еркін абельдік топ. Осыдан n-торус Эйлер сипаттамасы барлық n үшін 0 тең екендігі шығады. Когомология сақинасы H•(, Z) Z модуліне сыртқы алгебрамен сәйкес келеді, оның генераторлары – n тривиальды емес циклдардың дуалдары.
The standard 1 torus is just the circle: The torus discussed above is the standard 2 torus, And similar to the 2 torus, the n torus, can be described as a quotient of under integral shifts in any coordinate. That is, the n torus is modulo the action of the integer lattice (with the action being taken as vector addition). Equivalently, the n torus is obtained from the n dimensional hypercube by gluing the opposite faces together. An n torus in this sense is an example of an n dimensional compact manifold. It is also an example of a compact abelian Lie group. This follows from the fact that the unit circle is a compact abelian Lie group (when identified with the unit complex numbers with multiplication). Group multiplication on the torus is then defined by coordinate wise multiplication. Toroidal groups play an important part in the theory of compact Lie groups. This is due in part to the fact that in any compact Lie group G one can always find a maximal torus; that is, a closed subgroup which is a torus of the largest possible dimension. Such maximal tori T have a controlling role to play in theory of connected G. Toroidal groups are examples of protori, which (like tori) are compact connected abelian groups, which are not required to be manifolds. Automorphisms of T are easily constructed from automorphisms of the lattice , which are classified by invertible integral matrices of size n with an integral inverse; these are just the integral matrices with determinant ±1. Making them act on in the usual way, one has the typical toral automorphism on the quotient. The fundamental group of an n torus is a free abelian group of rank n. The k th homology group of an n torus is a free abelian group of rank n choose k. It follows that the Euler characteristic of the n torus is 0 for all n. The cohomology ring H•(, Z) can be identified with the exterior algebra over the Z module whose generators are the duals of the n nontrivial cycles.
Конфигурация кеңістігі
n торы шеңбердің n еселенген көбейтіндісі болғандықтан, n торы шеңбердегі n реттелген, міндетті түрде әртүрлі емес нүктелердің конфигурациялық кеңістігі болып табылады. Символикалық түрде, ретсіз, міндетті түрде әртүрлі емес нүктелердің конфигурациялық кеңістігі орбифолд болып табылады, ол n әріптегі симметриялық топқа бөліну арқылы (координаттарды ауыстыру арқылы) торусқа бөлінген кеңістік болып табылады. n = 2 үшін, бұл бөлінді – Мёбиус жолағы, жиегі орбифолд нүктелеріне сәйкес келеді, онда екі координата бірдей болады. n = 3 үшін бұл бөлінді, қимасы теңқабырлы үшбұрыш болатын, бұрылысы бар қуыс тор ретінде сипатталуы мүмкін; немесе, жоғарғы және төменгі жақтары 1/3 бұрылыспен (120°) байланысқан үшбұрышты призма ретінде де сипатталуы мүмкін: 3 өлшемді ішкі кеңістік 3 тордағы барлық 3 координатасы әртүрлі нүктелерге сәйкес келеді, 2 өлшемді бет 2 координатасы бірдей және 3-і әртүрлі нүктелерге сәйкес келеді, ал 1 өлшемді жиек барлық 3 координатасы бірдей нүктелерге сәйкес келеді. Бұл орбифолдтар Дмитрий Тимочко және оның әріптестерінің (Фелипе Посада, Майкл Колинас және т.б.) жұмысында музыка теориясында маңызды қолданыс тапты, музыкалық триадаларды модельдеу үшін пайдаланылады.
Жайлы торидің сәйкесті жіктелуі
Риман беттерін зерттеуде, кез келген екі тегіс, тығыз геометриялық бет "конформдық түрде теңдес" деп аталады, егер олардың арасында бұрыш пен бағдарды сақтайтын тегіс гомеоморфизм болса. Біркелкілік теоремасы кез келген Риман бетінің тұрақты Гаусс қисықтығы бар бетке конформдық түрде теңдес екенін кепілдейді. Торус жағдайында тұрақты қисықтық нөлге тең болуы керек. Содан кейін "модульдік кеңістік" торусқа сәйкес топологиямен, әрбір конформдық теңдес сыныбы үшін бір нүктеден тұратындай етіп анықталады. Бұл модульдік кеңістік M, 2π (радиан) бұрышынан кіші бұрыштары бар екі нүктеден басқа тегіс сфераға теңдес: біреуі π, ал екіншісі 2π/3. M кеңістігін бір қосымша нүкте қосу арқылы тығыздалған M* кеңістігіне айналдыруға болады, бұл нүкте тікбұрышты торус қатынасы 0-ге жақындағандағы шекті жағдайды білдіреді. Нәтижесінде, бұл тығыздалған модульдік кеңістік – әрқайсысы 2π-ден кіші бұрышқа ие үш нүктесі бар сфера. (Мұндай нүктелер "кусптар" деп аталады.) Бұл қосымша нүктенің бұрышы нөлге тең болады. Симметрияға сүйене отырып, M* гиперболалық жазықтықтағы екі конгруэнтті геодезиялық үшбұрышты олардың (бірдей) шекаралары бойынша біріктіру арқылы құрастыруға болады, мұнда әрбір үшбұрыштың бұрыштары π/2, π/3 және 0 градусқа тең. Осының салдарынан әрбір үшбұрыштың ауданы π(π/2 + π/3 + 0) = π/6 есебінде шығады, сондықтан тығыздалған модульдік кеңістік M* ауданы π/3-ке тең. Қалған екі кусп М* кеңістігінде а) квадрат торусқа (π) және б) алтыбұрышты торусқа (2π/3) сәйкес келетін нүктелерде пайда болады. Бұл – аудармалар мен терістеулерден басқа конформдық автоморфизмдері бар жалпақ торустардың конформдық теңдес сыныптарының жалғыз түрлері.
Тороидты көпбұрыштар
Торостың топологиялық түріне ие полиэдрлер тороидтық полиэдрлер деп аталады және олардың Эйлер сипаттамасы V − E + F = 0-ге тең. Тесіктердің кез келген саны үшін формула V − E + F = 2 − 2N түрінде жалпыланады, мұнда N – тесіктер саны. "Тороидтық полиэдр" термині жоғары родты полиэдрлерге және тороидтық полиэдрлердің кеңістіктегі бейнесіне де қолданылады.
Торосты бояу
Торостың Хьювуд саны жеті, яғни торусқа салынатын кез келген графтың хроматикалық саны ең көп дегенде жеті болады. (Толық граф торусқа салынады және , сондықтан жоғарғы шегі нақты.) Басқаша айтқанда, аймақтарға бөлінген торус аймақтарын ең көп жеті түспен бояуға болады, осылайша ешбір көршілес аймақтардың түсі бірдей болмайды. (Бұл жазықтық үшін дұрыс келетін төрт түс теоремасымен салыстырыңыз.)
de Bruijn torus (Брюйн бұрышы)
Комбинаторлық математикада де Брюйн торы — әліпбиден (көбінесе 0 және 1) алынған символдардан тұратын және әрбір m×n матрицаны дәл бір рет қамтитын массив. Бұл тор деп аталуының себебі, матрицаларды іздеу үшін шеттері айналып тұратын болып есептеледі. Оның атауы Де Брюйн тізбегінен шыққан, оны n=1 (бір өлшемді) ерекше жағдай деп қарастыруға болады.