Кіріспе
n өлшемді жалпыланған сфера (математика)
Математикада n сфера немесе гиперсфера — 1 өлшемді шеңбер және 2 өлшемді сфераның кез келген оң бүтін сан n үшін жасалған n өлшемді жалпылауы болып табылады. n сфера — n өлшемді сфералық геометрияның негізгі орны. Сырттан қарағанда, (n+1) өлшемді Евклид кеңістігіне енгізілген гипербет ретінде, n сфера — берілген орталық нүктеден тең қашықтықта (радиус) орналасқан нүктелердің жиынтығы. Оның ішкі бөлігі, радиустан орталыққа жақын орналасқан барлық нүктелерден тұрады және (n+1) өлшемді шар болып табылады. Атап айтқанда:
0 сфера — түзу сызығының екі ұшындағы екі нүктеден тұрады (1 шар). 1 сфера — шеңбер, екі өлшемді жазықтықтағы дискінің (2 шар) шеңбері. 2 сфера, көбінесе жай ғана сфера деп аталады, — үш өлшемді кеңістіктегі 3 шардың шекарасы. 3 сфера — төрт өлшемді кеңістіктегі 4 шардың шекарасы. (n–1) сфера — n шардың шекарасы болып табылады. Декарт координаталар жүйесін ескере отырып, радиусы 1 бірлікке тең n сфераны былай анықтауға болады:
Іштен қарағанда, n ≥ 1 болғанда, n сфера — оң тұрақты қисықтығы бар Риман көптігі және бағдарлана алады. n сфераның геодезиялық шеңберлері үлкен шеңберлер деп аталады. Стереографиялық проекция n сфераны n кеңістігіне шексіздікте жалғасқан бір нүктемен бейнелейді; осылайша анықталған метрика бойынша, бұл n сфераның моделі болып табылады. Топологияның жалпы жағдайында, n сфераға гомеоморфты кез келген топологиялық кеңістік n сфера деп аталады. Кері стереографиялық проекция бойынша n сфера — n кеңістігінің бір нүктелік тығыздалуы. n сфералар бірнеше басқа топологиялық сипаттамаларды қабылдайды: мысалы, оларды екі n өлшемді кеңістікті біріктіру арқылы, n текшесінің шекарасын бір нүктемен сәйкестендіру арқылы немесе (индуктивті түрде) (n–1) сфераның аспасын құру арқылы жасауға болады. n ≥ 2 болғанда, ол жай ғана байланысты; 1 сфера (шеңбер) жай ғана байланысты емес; 0 сфера тіпті байланысты емес, екі дискретті нүктеден тұрады.
Сипаттама
Кез келген n табиғи саны үшін, радиусы r болатын n сферасы (n + 1) өлшемді Евклид кеңістігіндегі белгілі бір "c" тұрақты нүктеден r қашықтықта жатқан нүктелер жиынтығы ретінде анықталады, мұнда r кез келген оң нақты сан болуы мүмкін, ал "c" (n + 1) өлшемді кеңістіктегі кез келген нүкте болуы мүмкін. Атап айтқанда: 0 сферасы – {c − r, c + r} нүктелерінің жұбы және түзу кесіндісінің шекарасы (1 шар). 1 сферасы – "c" нүктесінде ортасы орналасқан радиусы r шеңбер және дискінің шекарасы (2 шар). 2 сферасы – 3 өлшемді Евклид кеңістігіндегі қалыпты 2 өлшемді шар, және қалыпты шардың шекарасы (3 шар). 3 сферасы – 4 өлшемді Евклид кеңістігіндегі 3 өлшемді шар.
a 0 sphere is a pair of points {c − r, c + r}, and is the boundary of a line segment (1 ball). a 1 sphere is a circle of radius r centered at 'c', and is the boundary of a disk (2 ball). a 2 sphere is an ordinary 2 dimensional sphere in 3 dimensional Euclidean space, and is the boundary of an ordinary ball (3 ball). a 3 sphere is a 3 dimensional sphere in 4 dimensional Euclidean space.
Картезиандық координаттар
(n + 1) кеңістіктегі (x1, x2, ..., xn+1) нүктелер жиынтығы, n сфераны S^(n)(r) анықтайды, мына теңдеумен өрнектеледі:
мұнда 1='c' = (c1, c2, ..., cn+1) – орталық нүкте, ал r – радиус. Жоғарыдағы n сфера (n + 1) өлшемді Евклид кеңістігінде жатыр және n көптүрліліктің мысалы болып табылады. Радиусы r болатын n сфераның көлем формасы ω былай беріледі:
мұнда – Ходж жұлдызы операторы; осы формуланың талқылауы мен дәлелі үшін қараңыз. Соның салдарынан,
Топологиялық сипаттама
Топологиялық тұрғыдан алғанда, n сферасын n өлшемді Евклид кеңістігінің бір нүктелік тығыздалуы ретінде құрастыруға болады. Қысқаша айтқанда, n сферасын – яғни n өлшемді Евклид кеңістігіне барлық бағыттағы шексіздікті білдіретін бір нүкте қосылған жағдай деп сипаттауға болады. Атап айтқанда, егер n сферадан бір нүкте алынып тасталса, ол ℝ^(n)-ге гомеоморф болады. Бұл стереографиялық проекцияның негізін құрайды.
- сферада кездейсоқ біркелкі
Бірлік (n - 1) сферада (яғни n шар бірлігінің бетінде) біркелкі таралған кездейсоқ нүктелерді жасау үшін келесі алгоритм ұсынылады. Нормальды ауытқулардың n өлшемді векторын жасаңыз (N(0, 1) қолдану жеткілікті, бірақ дисперсияның таңдауы кездейсоқ), енді осы нүктенің "радиусы" есептеледі:
Вектор бірлік n шардың бетінде біркелкі таралған. Марсалья ұсынған баламасы – n бірлік кубындағы нүктені біркелкі түрде кездейсоқ таңдау, әр xi-ді (-1, 1) аралығындағы біркелкі таралымнан тәуелсіз үлгілеу, жоғарыда көрсетілгендей r есептеу, және егер r ≥ 1 болса (яғни, егер нүкте n шардың ішінде болмаса) нүктені қабылдамау және қайта үлгілеу, ал шардың ішіндегі нүкте алынған кезде оны шар бетіне дейін масштабтау; содан кейін вектор қайтадан бірлік n шардың бетінде біркелкі таралған болады. Бұл әдіс жоғары өлшемдерде өте тиімсіз болады, себебі бірлік кубтың өте аз бөлігі сферада орналасқан. Он өлшемде шар кубтың 2% - ын ғана толтырады, сондықтан әдетте 50-ден астам әрекет қажет. Жетпіс өлшемде кубтың бір бөлігінен де аз бөлігі толтырылады, яғни триллион квадриллионға жуық сынақ қажет, бұл компьютердің орындай алатын мүмкіндігінен әлдеқайда көп.
N-шардың ішінде кездейсоқ біркелкі
Бірлік (n - 1) шардың бетінен кездейсоқ біркелкі таңдалған нүктемен (мысалы, Марсалья алгоритмін қолдану арқылы) бірлік n шардың ішінен кездейсоқ біркелкі нүкте алу үшін тек радиус қажет. Егер u – [0, 1] аралығынан кездейсоқ біркелкі алынған сан болса және 'x' – бірлік (n - 1) сферасынан кездейсоқ біркелкі таңдалған нүкте болса, онда u^(1/n) 'x' бірлік n шардың ішінде біркелкі таралады. Балама ретінде, нүктелерді бірлік (n + 1) шардан азайту арқылы бірлік n шардың ішінде біркелкі үлгілеуге болады. Атап айтқанда, егер (x1, x2, ..., xn+2) – бірлік (n + 1) сферасынан кездейсоқ біркелкі таңдалған нүкте болса, онда (x1, x2, ..., xn) бірлік n шардың ішінде біркелкі таралады (яғни екі координатаны қарапайым түрде жою арқылы). Егер n жеткілікті үлкен болса, n шардың көлемінің көп бөлігі оның бетіне өте жақын аймақта орналасады, сондықтан осы көлемнен таңдалған нүкте де, әдетте, бетке жақын болады. Бұл сандық және басқа да қолдануларда туындайтын өлшемдік қарғысы деп аталатын құбылыстардың бірі.
Ерекше салалар
0 сферасы Кейбір R > 0 үшін дискретті топологиясы бар нүктелер жұбы. Жол байланысы жоқ жалғыз сфера. Параллельдеуге болады. 1 сфера Әдетте шеңбер деп аталады. Тривиальды емес негізгі тобы бар. Абельдік Лай тобының құрылымы U(1); шеңбер тобы. Нақты проекциялық түзуге гомеоморфты. 2 сфера Әдетте жай ғана сфера деп аталады. Оның комплекс құрылымы үшін Риман сферасын қараңыз. Комплекс проекциялық түзуге гомеоморфты. 3 сфера Параллельдеуге болады, 2 сфераның үстіндегі негізгі U(1) бунделі, Ли тобының құрылымы Sp(1). 4 сфера Кватерниондық проекциялық түзуге гомеоморфты, 'H'P^(1). SO(5) / SO(4). 5 сфера 'C'P^(2) үстіндегі негізгі U(1) бунделі. 1=SO(6) / SO(5) = SU(3) / SU(2). n ≥ 5 үшін берілген n өлшемді көпқырлының S^(n) -ге гомеоморфты болуы шешілмейтін мәселе. 6 сфера Таза октонион бірліктері жиынтығынан туындаған дерлік комплекс құрылымға ие. 1=SO(7) / SO(6) = G2 / SU(3). Оның комплекс құрылымы бар ма деген сұрақ Хайнц Хопфтың атымен Хопф проблемасы деп аталады. 7 сфера Октанион бірліктері жиынтығы ретінде топологиялық квазитоптық құрылымға ие. S^(4) үстіндегі негізгі Sp(1) бунделі. Параллельдеуге болады. 1=SO(8) / SO(7) = SU(4) / SU(3) = Sp(2) / Sp(1) = Spin(7) / G2 = Spin(6) / SU(3). 7 сфера ерекше қызығушылық тудырады, себебі алғашқы экзотикалық сфералар осы өлшемде ашылған. 8 сфера Октониондық проекциялық түзуге гомеоморфты 'O'P^(1). 23 сфера 24 өлшемді кеңістікте жоғары тығыз сфералық қаптама мүмкін, бұл Лич торларының ерекше қасиеттерімен байланысты.
3 sphere Parallelizable, principal U(1) bundle over the 2 sphere, Lie group structure Sp(1). 4 sphere Homeomorphic to the quaternionic projective line, 'H'P^(1). SO(5) / SO(4). 5 sphere Principal U(1) bundle over 'C'P^(2). 1=SO(6) / SO(5) = SU(3) / SU(2). It is undecidable whether a given n dimensional manifold is homeomorphic to S^(n) for n ≥ 5. 6 sphere Possesses an almost complex structure coming from the set of pure unit octonions. 1=SO(7) / SO(6) = G2 / SU(3). The question of whether it has a complex structure is known as the Hopf problem, after Heinz Hopf. 7 sphere Topological quasigroup structure as the set of unit octonions. Principal Sp(1) bundle over S^(4). Parallelizable. 1=SO(8) / SO(7) = SU(4) / SU(3) = Sp(2) / Sp(1) = Spin(7) / G2 = Spin(6) / SU(3). The 7 sphere is of particular interest since it was in this dimension that the first exotic spheres were discovered. 8 sphere Homeomorphic to the octonionic projective line 'O'P^(1). 23 sphere A highly dense sphere packing is possible in 24 dimensional space, which is related to the unique qualities of the Leech lattice.