Кривые, заполняющие пространство: от Пеано до n-мерных гиперкубов

Введение

Кривая, область значений которой содержит единичный квадрат.

В математическом анализе кривая, заполняющая пространство, — это кривая, область значений которой достигает каждой точки в области более высокой размерности, обычно единичного квадрата (или, в более общем случае, n-мерного единичного гиперкуба). Поскольку Джузеппе Пеано (1858–1932) первым обнаружил такую кривую, кривые, заполняющие пространство, в двухмерной плоскости иногда называют кривыми Пеано, но этот термин также относится к кривой Пеано — конкретному примеру кривой, заполняющей пространство, найденному Пеано. Тесно связанные с ними FASS-кривые (кривые, приблизительно заполняющие пространство, самоизбегающие, простые и самоподобные) можно рассматривать как конечные приближения определённого типа кривых, заполняющих пространство.

Определение

Интуитивно, кривую в двух или трех (или более высоких) измерениях можно представить как траекторию непрерывно движущейся точки. Чтобы устранить внутреннюю неопределенность этого представления, Жордан в 1887 году предложил следующее строгое определение, которое с тех пор стало точным описанием понятия кривой:

В наиболее общем виде область значений такой функции может лежать в произвольном топологическом пространстве, но в наиболее часто изучаемых случаях область значений будет лежать в евклидовом пространстве, таком как двумерная плоскость (плоская кривая) или трехмерное пространство (пространственная кривая). Иногда кривую отождествляют с образом функции (множеством всех возможных значений функции), а не с самой функцией. Также возможно определить кривые без конечных точек как непрерывную функцию на вещественной прямой (или на открытом единичном интервале (0, 1)).

История

В 1890 году Джузеппе Пеано открыл непрерывную кривую, теперь называемую кривой Пеано, которая проходит через каждую точку единичного квадрата. Его целью было построить непрерывное отображение из единичного интервала в единичный квадрат. Пеано был мотивирован более ранним, контринтуитивным результатом Георга Кантора о том, что бесконечное число точек в единичном интервале имеет ту же кардинальность, что и бесконечное число точек в любом конечномерном многообразии, таком как единичный квадрат. Проблема, которую решил Пеано, заключалась в том, может ли такое отображение быть непрерывным, то есть представлять собой кривую, заполняющую пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывное взаимно однозначное соответствие между единичным интервалом и единичным квадратом, и, действительно, такое соответствие не существует (см. ниже). Обычно кривым приписывали расплывчатые понятия тонкости и одномерности; все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемыми (то есть имели кусочно непрерывные производные), и такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Поэтому пространственно-заполняющая кривая Пеано оказалась весьма неинтуитивной. Из примера Пеано было легко вывести непрерывные кривые, область значений которых содержала n-мерный гиперкуб (для любого положительного целого числа n). Также было легко распространить пример Пеано на непрерывные кривые без конечных точек, которые заполняли все n-мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любому другому положительному целому числу). Большинство известных пространственно-заполняющих кривых строятся итеративно как предел последовательности кусочно-линейных непрерывных кривых, каждая из которых всё ближе приближается к пределу пространственного заполнения. В новаторской статье Пеано не было иллюстраций его построения, которое определяется в терминах троичных разложений и оператора отражения. Однако графическое построение было совершенно ясно ему — он создал декоративную плитку с изображением кривой для своего дома в Турине. Статья Пеано также заканчивается замечанием о том, что метод можно очевидно расширить на другие нечётные основания, кроме основания 3. Его решение избегать графической визуализации было мотивировано стремлением к абсолютно строгому доказательству, не зависящему от изображений. В то время (на заре основания общей топологии) графические аргументы всё ещё включались в доказательства, но становились препятствием для понимания часто контринтуитивных результатов. Год спустя Давид Гильберт опубликовал в том же журнале вариацию построения Пеано. Статья Гильберта впервые содержала изображение, помогающее визуализировать технику построения, по сути, такую же, как показано здесь. Однако аналитическая форма кривой Гильберта сложнее, чем у Пеано.

In 1890, Giuseppe Peano discovered a continuous curve, now called the Peano curve, that passes through every point of the unit square. His purpose was to construct a continuous mapping from the unit interval onto the unit square. Peano was motivated by Georg Cantor's earlier counterintuitive result that the infinite number of points in a unit interval is the same cardinality as the infinite number of points in any finite dimensional manifold, such as the unit square. The problem Peano solved was whether such a mapping could be continuous; i. e., a curve that fills a space. Peano's solution does not set up a continuous one to one correspondence between the unit interval and the unit square, and indeed such a correspondence does not exist (see below). It was common to associate the vague notions of thinness and 1 dimensionality to curves; all normally encountered curves were piecewise differentiable (that is, have piecewise continuous derivatives), and such curves cannot fill up the entire unit square. Therefore, Peano's space filling curve was found to be highly counterintuitive. From Peano's example, it was easy to deduce continuous curves whose ranges contained the n dimensional hypercube (for any positive integer n). It was also easy to extend Peano's example to continuous curves without endpoints, which filled the entire n dimensional Euclidean space (where n is 2, 3, or any other positive integer). Most well known space filling curves are constructed iteratively as the limit of a sequence of piecewise linear continuous curves, each one more closely approximating the space filling limit. Peano's ground breaking article contained no illustrations of his construction, which is defined in terms of ternary expansions and a mirroring operator. But the graphical construction was perfectly clear to him—he made an ornamental tiling showing a picture of the curve in his home in Turin. Peano's article also ends by observing that the technique can be obviously extended to other odd bases besides base 3. His choice to avoid any appeal to graphical visualization was motivated by a desire for a completely rigorous proof owing nothing to pictures. At that time (the beginning of the foundation of general topology), graphical arguments were still included in proofs, yet were becoming a hindrance to understanding often counterintuitive results. A year later, David Hilbert published in the same journal a variation of Peano's construction. Hilbert's article was the first to include a picture helping to visualize the construction technique, essentially the same as illustrated here. The analytic form of the Hilbert curve, however, is more complicated than Peano's.

Контур конструкции кривой заполнения пространства

Пусть обозначает пространство Кантора. Мы начинаем с непрерывной функции из пространства Кантора на весь единичный интервал (ограничение функции Кантора на множество Кантора является примером такой функции). Из неё мы получаем непрерывную функцию из топологического произведения на весь единичный квадрат, задавая

Поскольку множество Кантора гомеоморфно произведению , существует непрерывная биекция из множества Кантора на . Композиция и является непрерывной функцией, отображающей множество Кантора на весь единичный квадрат. (Альтернативно, мы могли бы использовать теорему о том, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора, чтобы получить функцию .) Наконец, можно расширить до непрерывной функции, область определения которой составляет весь единичный интервал. Это можно сделать либо с помощью теоремы Тиеце о расширении на каждый из компонентов , либо просто расширяя "линейно" (то есть, на каждом из удалённых открытых интервалов в построении множества Кантора мы определяем расширенную часть на как отрезок прямой в пределах единичного квадрата, соединяющий значения и ).

Свойства

Если кривая не инъективна, то можно найти две пересекающиеся подкривые этой кривой, каждая из которых получена рассмотрением образов двух непересекающихся сегментов из области определения кривой (единичного отрезка). Две подкривые пересекаются, если пересечение их образов не пусто. Можно подумать, что пересечение кривых подразумевает их взаимное пересечение, как точка пересечения двух непараллельных прямых, с одной стороны на другую. Однако две кривые (или две подкривые одной кривой) могут касаться друг друга без пересечения, как, например, касательная к окружности. Не самопересекающаяся непрерывная кривая не может заполнить единичный квадрат, поскольку это сделает её гомеоморфизмом между единичным интервалом и единичным квадратом (любое непрерывное биективное отображение из компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом). Но у единичного квадрата нет точек разреза, и поэтому он не может быть гомеоморфен единичному интервалу, в котором все точки, кроме конечных, являются точками разреза. Существуют не самопересекающиеся кривые ненулевой площади, например, кривые Осгуда, но по теореме Нетто они не заполняют пространство. Для классических кривых заполнения пространства Пеано и Гильберта, где две подкривые пересекаются (в техническом смысле), происходит самокасание без самопересечения. Кривая заполнения пространства может быть (везде) самопересекающейся, если её аппроксимирующие кривые самопересекаются. Аппроксимации кривой заполнения пространства могут быть самоизбегающими, как это иллюстрируют приведенные выше изображения. В трех измерениях самоизбегающие аппроксимирующие кривые могут даже содержать узлы. Аппроксимирующие кривые остаются в ограниченной области n-мерного пространства, но их длины неограниченно возрастают. Кривые заполнения пространства являются частными случаями фрактальных кривых. Дифференцируемая кривая заполнения пространства не может существовать. Грубо говоря, дифференцируемость ограничивает скорость, с которой кривая может изгибаться. Михал Морейн доказал, что гипотеза континуума эквивалентна существованию кривой Пеано, такой что в каждой точке вещественной прямой хотя бы одна из её компонент дифференцируема.

If a curve is not injective, then one can find two intersecting subcurves of the curve, each obtained by considering the images of two disjoint segments from the curve's domain (the unit line segment). The two subcurves intersect if the intersection of the two images is non empty. One might be tempted to think that the meaning of curves intersecting is that they necessarily cross each other, like the intersection point of two non parallel lines, from one side to the other. However, two curves (or two subcurves of one curve) may contact one another without crossing, as, for example, a line tangent to a circle does. A non self intersecting continuous curve cannot fill the unit square because that will make the curve a homeomorphism from the unit interval onto the unit square (any continuous bijection from a compact space onto a Hausdorff space is a homeomorphism). But a unit square has no cut point, and so cannot be homeomorphic to the unit interval, in which all points except the endpoints are cut points. There exist non self intersecting curves of nonzero area, the Osgood curves, but by Netto's theorem they are not space filling. For the classic Peano and Hilbert space filling curves, where two subcurves intersect (in the technical sense), there is self contact without self crossing. A space filling curve can be (everywhere) self crossing if its approximation curves are self crossing. A space filling curve's approximations can be self avoiding, as the figures above illustrate. In 3 dimensions, self avoiding approximation curves can even contain knots. Approximation curves remain within a bounded portion of n dimensional space, but their lengths increase without bound. Space filling curves are special cases of fractal curves. No differentiable space filling curve can exist. Roughly speaking, differentiability puts a bound on how fast the curve can turn. Michał Morayne proved that the continuum hypothesis is equivalent to the existence of a Peano curve such that at each point of real line at least one of its components is differentiable.

Группы Клейнина

Существует множество естественных примеров кривых, заполняющих пространство, или, точнее, заполняющих сферы, в теории двойственно вырожденных групп Клейна. Например, было показано, что окружность в бесконечности универсальной накрывающей поверхности волокна отображательного тора псевдо-аносовского отображения является кривой, заполняющей сферу. (Здесь сфера – это сфера в бесконечности гиперболического 3-пространства.)

Интеграция

Винер отметил в книге «Интеграл Фурье и некоторые его приложения», что кривые, заполняющие пространство, можно использовать для сведения интегрирования по Лебегу в многомерных пространствах к интегрированию по Лебегу в одномерном пространстве.