Кіріспе
Конденсацияланған материя физикасындағы негізгі теорема – кванттық механикадағы теорема. Конденсацияланған материя физикасында Блох теоремасы Шредингер теңдеуінің шешімдері, периодтық потенциалда периодтық функциялармен модуляцияланған жазық толқындар түрінде өрнектеле алады деп мәлімдейді. Теорема 1929 жылы теореманы ашқан швейцариялық физик Феликс Блохтың құрметіне аталған. Математикалық жазылуы:
a theorem in quantum mechanics
In condensed matter physics, Bloch's theorem states that solutions to the Schrödinger equation in a periodic potential can be expressed as plane waves modulated by periodic functions. The theorem is named after the Swiss physicist Felix Bloch, who discovered the theorem in 1929. Mathematically, they are written
where is position, is the wave function, is a periodic function with the same periodicity as the crystal, the wave vector is the crystal momentum vector, is Euler's number, and is the imaginary unit. Functions of this form are known as Bloch functions or Bloch states, and serve as a suitable basis for the wave functions or states of electrons in crystalline solids. The description of electrons in terms of Bloch functions, termed Bloch electrons (or less often Bloch Waves), underlies the concept of electronic band structures. These eigenstates are written with subscripts as , where is a discrete index, called the band index, which is present because there are many different wave functions with the same (each has a different periodic component ). Within a band (i. e., for fixed ), varies continuously with , as does its energy. Also, is unique only up to a constant reciprocal lattice vector , or, Therefore, the wave vector can be restricted to the first Brillouin zone of the reciprocal lattice without loss of generality.
мұндағы – координата, – толқындық функция, – кристалмен бірдей периодтылығы бар периодтық функция, толқын векторы – кристалдық импульс векторы, – Эйлер саны және – ойқаш бірлік. Осы түрдегі функциялар Блох функциялары немесе Блох күйлері деп аталады және кристаллдық қатты денелердегі электронның толқындық функциялары немесе күйлері үшін қолайлы база болып табылады. Электрондарды Блох функциялары арқылы сипаттау, Блох электрондары (немесе сирек Блох толқындары) деп аталады, электрондық жолақтық құрылымдар тұжырымының негізін құрайды. Бұл өзіндік күйлер индекстермен жазылады , мұндағы – дискретті индекс, «жолақ индексі» деп аталады, себебі бірдей болатын көптеген толқындық функциялар бар (әрқайсысының әртүрлі периодтық компоненті болады). Бір жолақтың ішінде (яғни, тұрақты үшін) оның энергиясы сияқты , координатамен үнемі өзгереді. Сондай-ақ, толқын векторы жалпылықты жоғалтпай, өзара тордың бірінші Бриллуэн аймағымен шектелуі мүмкін, себебі ол тек тұрақты өзара тор векторына дейін ғана бірегей болады, немесе.
a theorem in quantum mechanics
In condensed matter physics, Bloch's theorem states that solutions to the Schrödinger equation in a periodic potential can be expressed as plane waves modulated by periodic functions. The theorem is named after the Swiss physicist Felix Bloch, who discovered the theorem in 1929. Mathematically, they are written
where is position, is the wave function, is a periodic function with the same periodicity as the crystal, the wave vector is the crystal momentum vector, is Euler's number, and is the imaginary unit. Functions of this form are known as Bloch functions or Bloch states, and serve as a suitable basis for the wave functions or states of electrons in crystalline solids. The description of electrons in terms of Bloch functions, termed Bloch electrons (or less often Bloch Waves), underlies the concept of electronic band structures. These eigenstates are written with subscripts as , where is a discrete index, called the band index, which is present because there are many different wave functions with the same (each has a different periodic component ). Within a band (i. e., for fixed ), varies continuously with , as does its energy. Also, is unique only up to a constant reciprocal lattice vector , or, Therefore, the wave vector can be restricted to the first Brillouin zone of the reciprocal lattice without loss of generality.
Қолданылуы
Блох теоремасының ең көп таралған мысалы – кристалдағы электрондарды сипаттау, әсіресе кристаллдың электрондық қасиеттерін, мысалы, электрондық жолақтың құрылымын анықтау. Дегенмен, Блох толқынының сипаттамасы кез келген толқын тәрізді құбылысқа, мерзімді ортада ерекше кеңінен қолданылады. Мысалы, электромагнетизмдегі мерзімді диэлектрлік құрылым фотондық кристалдарға, ал мерзімді акустикалық орта – фонондық кристалдарға алып келеді. Бұл, әдетте, дифракцияның динамикалық теориясының түрлі нұсқаларында қарастырылады.
Толық мысал
Блох теоремасының салдары нақты жағдайда қалай есептеледі деген егжей-тегжейлі мысал үшін, "Бір өлшемді тордағы бөлшек (периодикалық потенциал)" мақаласын қараңыз.
Желілік кезеңділікті пайдалану
Блох теоремасы торлық периодтылық туралы айғақ болғандықтан, осы дәлелдемедегі барлық симметриялар толқындық функцияның өзінің трансляциялық симметриялары түрінде жазылған.
Топ теориясын қолдану
Топтық теорияның техникалық ерекшеліктерін ескермегенде, бұл дәлелдеме қызығушылық тудырады, себебі Блох теоремасын аударма ғана емес, басқа топтар үшін қалай жалпылауға болатыны айқын көрінеді. Мұндай жалпылау көбінесе кеңістіктік топтар үшін жасалады, олар аударма мен нүктелік топтың комбинациясы болып табылады. Бұл, мысалы, FCC немесе BCC сияқты белгілі бір кристаллдық топ симметриясы берілген кристалдардың энергиялық жолақтарын, спектрін және қатысты жылу сыйымдылығын есептеу үшін қолданылады. Бұл дәлелдемеде қосымша нүктелік топтың тиімді потенциалдағы симметриямен байланысты екені, бірақ ол Гамильтондықпен коммутациялайтыны байқалады. Блох теоремасының жалпыланған түрінде Фурье түрлендірілісі, яғни толқындық функцияның кеңеюі, тек циклдық топтарға ғана қолданылатын дискретті Фурье түрлендірілісінен (соның ішінде аудармалар) – толқындық функцияның белгілері арқылы кеңейтілуге айналады, мұнда белгілер нақты шекті нүктелік топтан алынады. Сондай-ақ, белгілерді (қайтымсыз өкілдіктердің инварианттары ретінде) қайтымсыз өкілдіктердің өзінің орнына негізгі құрылыс блоктары ретінде қарастыруға болатынын көруге болады.
Тарих және оған байланысты теңдеулер
Блох күйі туралы түсінікті Феликс Блох 1928 жылы кристаллды қатты денелерде электрондардың өткізгіштігін сипаттау үшін жасады. Дегенмен, осыған негізделген математика бірнеше рет тәуелсіз түрде ашылды: Джордж Уильям Хилл (1877), Гастон Флоке (1883) және Александр Ляпунов (1892) сияқты ғалымдар бұл математиканы өздері де тапқан. Осының салдарынан, түрлі номенклатуралар қолданылады: егер қарапайым дифференциалдық теңдеулерге қолданса, оны Флоке теориясы (немесе кейде Ляпунов-Флоке теоремасы) дейміз. Бір өлшемді периодтық потенциал теңдеуінің жалпы түрі Хилл теңдеуі болып табылады:
мұнда f(t) – периодтық потенциал. Нақты бір өлшемді периодтық теңдеулерге Крониг-Пенни моделі және Матье теңдеуі жатады. Математикалық тұрғыдан Блох теоремасы тор тобының унитарлық белгілері тұрғысынан түсіндіріледі және спектрлік геометрияға қолданылады.