Введение

Фундаментальная теорема в физике конденсированного состояния – теорема в квантовой механике.

В физике конденсированного состояния теорема Блоха утверждает, что решения уравнения Шрёдингера в периодическом потенциале могут быть выражены в виде плоских волн, модулированных периодическими функциями. Теорема названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха, который открыл эту теорему в 1929 году. Математически это записывается как:

где – положение, – волновая функция, – периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор – вектор кристаллических импульсов, – число Эйлера, а – мнимая единица. Функции такой формы известны как функции Блоха или состояния Блоха и служат подходящим базисом для волновых функций или состояний электронов в кристаллических твердых телах. Описание электронов в терминах функций Блоха, называемых блоховскими электронами (или реже блоховскими волнами), лежит в основе концепции электронной зонной структуры. Эти собственные состояния записываются с индексами как , где – дискретный индекс, называемый индексом зоны, который присутствует, поскольку существует множество различных волновых функций с одинаковым (каждая из них имеет различную периодическую составляющую). Внутри зоны (то есть при фиксированном ) непрерывно меняется с , как и его энергия. Кроме того, определена однозначно только с точностью до постоянного вектора обратной решетки , или, следовательно, волновой вектор можно ограничить первой зоной Бриллюэна обратной решетки без потери общности.

Применимость

Наиболее распространенным примером теоремы Блоха является описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура. Однако описание волны Блоха применимо в более общем смысле к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодическая диэлектрическая структура в электромагнетизме приводит к фотонным кристаллам, а периодическая акустическая среда – к фононным кристаллам. Это обычно рассматривается в рамках различных форм динамической теории дифракции.

Подробный пример

Подробный пример, демонстрирующий применение следствий теоремы Блоха к конкретной ситуации, можно найти в статье «Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)».

Использование периодичности решетки

Поскольку теорема Блоха описывает периодичность кристаллической решетки, в этом доказательстве все симметрии представлены как симметрии сдвига самой волновой функции.

Использование теории групп

Помимо технических деталей теории групп, это доказательство интересно тем, что становится понятно, как обобщить теорему Блоха для групп, которые не являются только группами трансляций. Обычно это делается для пространственных групп, представляющих собой комбинацию трансляции и точечной группы, и используется для вычисления зонной структуры, спектра и удельных теплоемкостей кристаллов с учетом конкретной симметрии кристаллической группы, такой как ГЦК или ОКЦ, и, в конечном итоге, дополнительного базиса. В этом доказательстве также можно заметить, насколько ключевым является то, что дополнительная точечная группа обусловлена симметрией эффективного потенциала, но при этом должна коммутировать с гамильтонианом. В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, то есть разложение волновой функции в ряд, обобщается от дискретного преобразования Фурье, применимого только к циклическим группам и, следовательно, к трансляциям, к разложению волновой функции по символам, которые определяются конкретной конечной точечной группой. Здесь также можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) можно рассматривать как фундаментальные строительные блоки, а не сами неприводимые представления.

История и связанные с ней уравнения

Концепция состояния Блоха была разработана Феликсом Блохом в 1928 году для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же самая математическая основа была также открыта независимо несколько раз: Джорджем Уильямом Хиллом (1877), Гастоном Флоке (1883) и Александром Ляпуновым (1892). В результате, используются различные названия: применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям, это называется теорией Флоке (или иногда теоремой Ляпунова — Флоке). Общая форма одномерного уравнения периодического потенциала – уравнение Хилла:

где f(t) – периодический потенциал. К конкретным периодическим одномерным уравнениям относятся модель Кронига — Пенни и уравнение Матье. Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных представлений решётчатой группы и применяется к спектральной геометрии.