Кванттық механикадағы бөлшектің қораптағы моделі

Кіріспе

Кванттық механикадағы математикалық модель. Кванттық механикадағы қораптағы бөлшектің моделі (сонымен қатар шексіз потенциалдық ұңғыма немесе шексіз квадрат ұңғыма деп те аталады) өткізбейтін кедергілермен қоршалған кішкентай кеңістікте еркін бөлшектің қозғалысын сипаттайды. Модель негізінен классикалық және кванттық жүйелер арасындағы айырмашылықтарды көрсету үшін гипотетикалық мысал ретінде қолданылады. Классикалық жүйелерде, мысалы, үлкен қораптың ішінде тұтқындалған бөлшек қораптың ішінде кез келген жылдамдықпен қозғала алады және оны бір жерде табу, екінші жерде табудан гөрі артық емес. Алайда, ұңғыма өте тар болғанда (бірнеше нанометрдей өлшемде), кванттық эффектілер маңызды бола бастайды. Бөлшек тек белгілі бір оң энергия деңгейлерін ғана иелене алады. Сондай-ақ, оның энергиясы ешқашан нөлге тең болмайды, яғни бөлшек ешқашан "орынсыз тұрып" қалмайды. Бұған қоса, энергия деңгейіне байланысты, оны басқа жерлерге қарағанда белгілі бір жерлерде табу ықтимал. Бөлшектік түйіндер деп аталатын белгілі бір жерлерде бөлшекті анықтау мүмкін емес. Қораптағы бөлшек моделі – кванттық механикадағы шамалаусыз, аналитикалық түрде шешілетін азаз ғана проблемалардың бірі. Оның қарапайымдылығының арқасында модель күрделі математика қажет етпей кванттық эффектілерді түсінуге мүмкіндік береді. Бұл атомдар мен молекулалар сияқты күрделі кванттық жүйелерде кездесетін энергияның квантталуын (энергия деңгейлерін) қалай пайда болатынының қарапайым мысалы болып табылады. Бұл физика бакалавриаты курстарында оқытылатын кванттық механиканың алғашқы проблемаларының бірі және көбінесе күрделі кванттық жүйелерге жуықтау ретінде қолданылады.

Бір өлшемді шешім

Қорап ішіндегі бөлшектің ең қарапайым түрі бір өлшемді жүйе ретінде қарастырылады. Мұнда бөлшек екі басында өткізбейтін кедергілері бар түзу сызық бойымен ғана алға-артқа қозғала алады. Бір өлшемді қораптың қабырғалары шексіз үлкен потенциалдық энергиясы бар кеңістік аймақтары ретінде қарастырылуы мүмкін. Керісінше, қораптың ішкі бөлігінде тұрақты, нөлдік потенциалдық энергия бар. Бұл қораптың ішінде бөлшекке ешқандай күш әсер етпейді және ол сол аймақта еркін қозғала алады дегенді білдіреді. Дегенмен, егер бөлшек қораптың қабырғасына тисе, шексіз үлкен күштер оны кері итеріп, шығуына жол бермейді. Бұл модельдегі потенциалдық энергия мына формуламен беріледі:

мұндағы L – қораптың ұзындығы, xc – қорап ортасының орны және x – қорап ішіндегі бөлшектің орны. Ең қарапайым жағдайларға ортаға орналасқан қорап (xc = 0) және ығыстырылған қорап (xc = L/2) (суретте көрсетілген) жатады.

Кванттық ұңғыма лазері

Қораптағы бөлшектің моделі кванттық құдық лазерлеріне қолданылуы мүмкін, олар екі түрлі материалдан жасалған жартылай өткізгіш қабаттардың арасына қыстырылған бір жартылай өткізгіш “құдық” материалынан тұратын лазерлік диодтар. Бұл құрылымның қабаттары өте жұқа болғандықтан (ортаңғы қабаттың қалыңдығы әдетте 100 Å шамасында), кванттық шектеу эффектілерін байқауға болады. Кванттық эффектілерді жақсырақ лазерлік диодтар жасау үшін пайдалану идеясы 1970 жылдарда пайда болды. Кванттық құдық лазері 1976 жылы Р. Дингл мен К. Х. Генридің патентімен қорғалды. Атап айтқанда, кванттық құдықтардың мінез-құлқы шекті құдық моделіндегі бөлшек арқылы бейнеленеді. Екі шекаралық шартты таңдау қажет. Біріншісі – толқындық функцияның үздіксіз болуы. Көбінесе екінші шекаралық шарт толқындық функцияның туындысы шекарада үздіксіз болуы деп таңдалады, бірақ кванттық құдық жағдайында шекараның екі жағындағы массалар әртүрлі болады. Оның орнына, екінші шекаралық шарт бөлшектің ағынын сақтау үшін таңдалады, бұл тәжірибелік деректермен сәйкес келеді. Шекті құдық моделіндегі бөлшектің шешімі сандық түрде іздестірілуі керек, нәтижесінде кванттық құдық ішіндегі синус тәрізді функциялар мен кедергілерде экспоненциалды түрде өшетін толқындық функциялар пайда болады. Электрондардың энергия деңгейлерінің квантталуы кванттық құдық лазеріне дәстүрлі жартылай өткізгіш лазерлеріне қарағанда жарықты тиімдірек шығаруға мүмкіндік береді. Кванттық нүктелердің кішкентай өлшемділігіне байланысты, олар көрсетілген жартылай өткізгіштің көлемдік қасиеттерін көрсетпейді, керісінше квантталған энергия күйлерін көрсетеді. Бұл эффект кванттық шектеу деп аталады және кванттық нүктелердің, мысалы, кванттық құдық лазері сияқты көптеген қолданылуына әкелді. Лазерді екі кванттық нүктеден өтетін бір электрон қуаттандырады; екі кванттық нүкте. Электрон жоғары энергия күйінен төмен энергия күйіне өтеді, соның салдарынан микротолқынды аймақта фотондар шығарылады. Бұл фотондар айналардан секіріп, лазерлік сәулені құрайды. Олар электрондардың “нүктеден” қашып шығалмайтынына байланысты кванттық шектеуді көрсетеді, осылайша қораптағы бөлшектерге жуықтап есептеулер жасауға мүмкіндік береді. Олардың мінез-құлқы үш өлшемді бөлшектердің энергияны кванттау теңдеулерімен сипатталуы мүмкін. Әртүрлі жартылай өткізгіш материалдар әртүрлі өлшемдегі кванттық нүктелерді синтездеу үшін қолданылады, соның салдарынан әртүрлі толқын ұзындығындағы жарық шығарылады. Кванттық нүктелер жарықтың жарқырауы, толқын ұзындығының кең ауқымымен қозу және басқа заттарға қарағанда жарыққа жоғары төзімділік сияқты функциялары үшін пайдалы.

The particle in a box model can be applied to quantum well lasers, which are laser diodes consisting of one semiconductor “well” material sandwiched between two other semiconductor layers of different material Because the layers of this sandwich are very thin (the middle layer is typically about 100 Å thick), quantum confinement effects can be observed. The idea that quantum effects could be harnessed to create better laser diodes originated in the 1970s. The quantum well laser was patented in 1976 by R. Dingle and C. H. Henry. Specifically, the quantum wells behavior can be represented by the particle in a finite well model. Two boundary conditions must be selected. The first is that the wave function must be continuous. Often, the second boundary condition is chosen to be the derivative of the wave function must be continuous across the boundary, but in the case of the quantum well the masses are different on either side of the boundary. Instead, the second boundary condition is chosen to conserve particle flux as , which is consistent with experiment. The solution to the finite well particle in a box must be solved numerically, resulting in wave functions that are sine functions inside the quantum well and exponentially decaying functions in the barriers. This quantization of the energy levels of the electrons allows a quantum well laser to emit light more efficiently than conventional semiconductor lasers. Due to their small size, quantum dots do not showcase the bulk properties of the specified semi conductor but rather show quantised energy states. This effect is known as the quantum confinement and has led to numerous applications of quantum dots such as the quantum well laser. The laser is powered by a single electron that passes through two quantum dots; a double quantum dot. The electron moves from a state of higher energy, to a state of lower energy whilst emitting photons in the microwave region. These photons bounce off mirrors to create a beam of light; the laser. They display quantum confinement in that the electrons cannot escape the “dot”, thus allowing particle in a box approximations to be used. Their behavior can be described by three dimensional particle in a box energy quantization equations. Different semiconducting materials are used to synthesize quantum dots of different sizes and therefore emit different wavelengths of light. Quantum dots are useful for these functions due to their emission of brighter light, excitation by a wide variety of wavelengths, and higher resistance to light than other substances.