Кіріспе
Максималды тығыз байланысқан Абелийлік Lie субтобы. Компактты Лай топтарының математикалық теориясында торус субтоптары, әсіресе максималды торус субтоптары ерекше рөл атқарады. G компактты Лай тобындағы торус – G-нің компактты, байланысқан, Абелийлік Lie субтобы (сондай-ақ стандартты торус Tn-ге изоморфты). Максималды торус – мұндай субтоптардың арасында максималды болып табылатын торус. Яғни, егер T′ торусы T торусын қамтыса, онда T = T′ болса, T максималды торус болып есептеледі. Кез келген торус тек өлшемдік қарастырулар бойынша максималды торустың ішінде орналасады. Қалысқа тұрмайтын Лай тобында тривиальды емес торустар болуы міндетті емес (мысалы, Rn). G-дегі максималды торустың өлшемі G-нің ранкі деп аталады. Ранк жақсы анықталған, себебі барлық максималды торустар конъюгат болып шығады. Жартылай қарапайым топтар үшін ранг байланысты Динкин диаграммасындағы түйіндер санына тең.
Мысалдар
U(n) бірлік тобының ең үлкен торы – барлық диагональдық матрицалардың кіші тобы болып табылады. Яғни, T нұқсаны n шеңбердің көбейтіндісіне анық изоморфты, сондықтан U(n) бірлік тобының рангі n-ге тең. Арнайы бірлік тобындағы SU(n) ⊂ U(n) ең үлкен торы – T және SU(n) қиылысы, ол n-1 өлшемді тор болып табылады. Арнайы ортогональды топтағы SO(2n) максималды торы – кез келген белгіленген n жұппен ортогональды жазықтықтағы барлық бір мезгілдегі айналулардың жиынтығымен беріледі (яғни екі өлшемді векторлық кеңістіктер). Нақтырақ айтқанда, бір максималды тор – диагональдық блоктардан тұратын барлық блок-диагональдық матрицалардан тұрады, мұнда әрбір диагональдық блок айналу матрицасы болып табылады. Бұл сондай-ақ SO(2n+1) тобындағы максималды тор болып табылады, онда әрекет қалған бағытты бекітеді. Осылайша, SO(2n) және SO(2n+1) екеуінің де рангі n-ге тең. Мысалы, айналу тобындағы SO(3) максималды торлары – белгіленген ось маңындағы айналулармен беріледі. Симплектикалық топ Sp(n)-нің рангі n-ге тең. Максималды тор – барлық диагональдық матрицалардың жиынтығымен беріледі, олардың барлық элементтері H-нің белгілі бір күрделі субальгебрасында жатыр.
T is clearly isomorphic to the product of n circles, so the unitary group U(n) has rank n. A maximal torus in the special unitary group SU(n) ⊂ U(n) is just the intersection of T and SU(n) which is a torus of dimension n − 1. A maximal torus in the special orthogonal group SO(2n) is given by the set of all simultaneous rotations in any fixed choice of n pairwise orthogonal planes (i. e., two dimensional vector spaces). Concretely, one maximal torus consists of all block diagonal matrices with diagonal blocks, where each diagonal block is a rotation matrix. This is also a maximal torus in the group SO(2n+1) where the action fixes the remaining direction. Thus both SO(2n) and SO(2n+1) have rank n. For example, in the rotation group SO(3) the maximal tori are given by rotations about a fixed axis. The symplectic group Sp(n) has rank n. A maximal torus is given by the set of all diagonal matrices whose entries all lie in a fixed complex subalgebra of H.
Тамыр жүйесі
Егер T – G компактты Lie тобындағы максималды тор болса, түбір жүйесін келесідей анықтауға болады. Түбірлер – G-нің күрделендірілген Lie алгебрасындағы T-нің қосымша әрекетіне сәйкес салмақтар. Нақтырақ айтқанда, T-нің Lie алгебрасын деп белгілейік, – оның Lie алгебрасы, ал – күрделендірілуі. Онда элемент – G-нің T-ға қатысты түбірі деп аталады, егер және нөлдік емес бар болса, барлық үшін келесі теңдік орындалса:
. Мұнда – байланысқан компактты Lie топтарының қосымша әрекеті кезінде өзгермейтін, үстіндегі белгілі бір ішкі көбейту. Түбір жүйесі, T-нің Lie алгебрасының ішкі жиыны ретінде, түбір жүйесіне тән барлық қасиеттерге ие, бірақ түбірлер кеңістігін толық қамтымайды. Түбір жүйесі G-нің жіктелуі мен өкілдік теориясын түсінудегі маңызды құрал болып табылады.
Вейл тобы
Торус T (қажетті түрде максималды емес) берілгенде, G тобының Weyl тобы T-ға қатысты T нормализаторының, T орталықтандырғышына қатысты нормальды бөлінуі ретінде анықталады. Яғни, G-де максималды торус фиксирленсе; содан кейін сәйкес Weyl тобы G-нің Weyl тобы деп аталады (бұл T таңдауына изоморфизмге дейін байланысты). Weyl тобы туралы алғашқы екі маңызды нәтиже төмендегідей: G-де T орталықтандырғышы T-ға тең, сондықтан Weyl тобы N(T)/T-ға тең. Weyl тобы оған байланысты Lie алгебрасының түбірлеріне қатысты симметриялар арқылы туындайды. Осылайша, T-ның Weyl тобы G Lie алгебрасының түбірлік жүйесінің Weyl тобына изоморфты. Енді осы негізгі нәтижелердің кейбір салдарына тоқталайық. T-дағы екі элемент W элементімен конъюгацияланғанда және тек сонда ғана конъюгацияланған болады. Яғни, G-нің әрбір конъюгация класы T-мен дәл бір Weyl орбитасында қиылысады. Шындығында, G-дегі конъюгация кластары кеңістігі T/W орбиталық кеңістігіне гомеоморфты. Weyl тобы T (және оның Lie алгебрасы) бойынша (сыртқы) автоморфизмдер арқылы әрекет етеді. T нормализаторының толық бөлігі де T-ға тең. Сондықтан Weyl тобы N(T) компоненттік тобына тең. Weyl тобының саны шекті. G-нің өкілдік теориясы негізінен T және W арқылы анықталады. Мысал ретінде, жағдайды қарастырайық, егер және тек қана болса, онда диагональды кіші топқа жатады, яғни әрбір стандартты базистік элементті басқа стандартты базистік элементтің еселігіне бейнелейтін болса, яғни стандартты базистік элементтерді кейбір тұрақтыларға көбейтуге дейін өзгертетін болса. Бұл жағдайда Weyl тобы элементтердің пермутациялық тобы болып табылады.
Fix a maximal torus in G; then the corresponding Weyl group is called the Weyl group of G (it depends up to isomorphism on the choice of T). The first two major results about the Weyl group are as follows. The centralizer of T in G is equal to T, so the Weyl group is equal to N(T)/T. The Weyl group is generated by reflections about the roots of the associated Lie algebra. Thus, the Weyl group of T is isomorphic to the Weyl group of the root system of the Lie algebra of G.
We now list some consequences of these main results. Two elements in T are conjugate if and only if they are conjugate by an element of W. That is, each conjugacy class of G intersects T in exactly one Weyl orbit. In fact, the space of conjugacy classes in G is homeomorphic to the orbit space T/W. The Weyl group acts by (outer) automorphisms on T (and its Lie algebra). The identity component of the normalizer of T is also equal to T. The Weyl group is therefore equal to the component group of N(T). The Weyl group is finite. The representation theory of G is essentially determined by T and W.
As an example, consider the case with being the diagonal subgroup of Then belongs to if and only if maps each standard basis element to a multiple of some other standard basis element , that is, if and only if permutes the standard basis elements, up to multiplication by some constants. The Weyl group in this case is then the permutation group on elements.
Вейл интегралы формуласы
f функциясы G-де үздіксіз деп есептейік. Онда f-тың G бойынша интегралы нормаланған Haar өлшемі dg арқылы келесідей есептелуі мүмкін:
where is the normalized volume measure on the quotient manifold and is the normalized Haar measure on T. Here Δ is given by the Weyl denominator formula and is the order of the Weyl group. An important special case of this result occurs when f is a class function, that is, a function invariant under conjugation. In that case, we have
Consider as an example the case , with being the diagonal subgroup. Then the Weyl integral formula for class functions takes the following explicit form:
Here , the normalized Haar measure on is , and denotes the diagonal matrix with diagonal entries and .
мұнда нормаланған көлем өлшемі quotient manifold-қа және нормаланған Haar өлшемі T-ге берілген. Мұнда Δ Вейль атаушы формуласымен берілген және – Вейль тобының реті. Бұл нәтиженің маңызды ерекше жағдайы f сыныптық функция болған кезде туындайды, яғни конъюгацияға қатысты өзгермейтін функция. Ондай жағдайда, мысалы ретінде , диагональды кіші топ ретінде қарастырайық. Онда сыныптық функциялар үшін Вейль интегралдық формуласы келесі нақты түрде болады:
where is the normalized volume measure on the quotient manifold and is the normalized Haar measure on T. Here Δ is given by the Weyl denominator formula and is the order of the Weyl group. An important special case of this result occurs when f is a class function, that is, a function invariant under conjugation. In that case, we have
Consider as an example the case , with being the diagonal subgroup. Then the Weyl integral formula for class functions takes the following explicit form:
Here , the normalized Haar measure on is , and denotes the diagonal matrix with diagonal entries and .
Мұнда нормаланған Haar өлшемі , ал – диагональдық элементтері болатын диагональдық матрицаны білдіреді.
where is the normalized volume measure on the quotient manifold and is the normalized Haar measure on T. Here Δ is given by the Weyl denominator formula and is the order of the Weyl group. An important special case of this result occurs when f is a class function, that is, a function invariant under conjugation. In that case, we have
Consider as an example the case , with being the diagonal subgroup. Then the Weyl integral formula for class functions takes the following explicit form:
Here , the normalized Haar measure on is , and denotes the diagonal matrix with diagonal entries and .