Введение
Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли. В математической теории компактных групп Ли особую роль играют подгруппы торов, в частности подгруппы максимальных торов. Торус в компактной группе Ли G — это компактная, связная, абелева подгруппа Ли группы G (и, следовательно, изоморфна стандартному тору Tn). Максимальный торус — это торус, который является максимальным среди таких подгрупп. То есть, T является максимальным тором, если для любого тора T′, содержащего T, выполняется T = T′. Каждый торус содержится в некотором максимальном торе, что следует из размерностных соображений. Некомпактная группа Ли не обязана содержать какие-либо нетривиальные торы (например, Rn). Размерность максимального тора в G называется рангом G. Ранг определен однозначно, поскольку все максимальные торы оказываются сопряженными. Для полупростых групп ранг равен числу вершин в соответствующей диаграмме Динкина.
Примеры
Унитарная группа U(n) имеет в качестве максимального тора подгруппу всех диагональных матриц. То есть, T явно изоморфен произведению n окружностей, поэтому унитарная группа U(n) имеет ранг n. Максимальный тор в специальной унитарной группе SU(n) ⊂ U(n) – это просто пересечение T и SU(n), которое является тором размерности n − 1. Максимальный тор в специальной ортогональной группе SO(2n) задается множеством всех одновременных вращений в любом фиксированном выборе из n попарно ортогональных плоскостей (то есть, двумерных векторных пространств). Конкретно, один максимальный тор состоит из всех блочно-диагональных матриц с диагональными блоками, где каждый диагональный блок является матрицей вращения. Это также максимальный тор в группе SO(2n+1), где действие фиксирует оставшееся направление. Таким образом, и SO(2n), и SO(2n+1) имеют ранг n. Например, в группе вращений SO(3) максимальные торы задаются вращениями вокруг фиксированной оси. Симплектическая группа Sp(n) имеет ранг n. Максимальный тор задается множеством всех диагональных матриц, все элементы которых лежат в фиксированной комплексной подалгебре H.
T is clearly isomorphic to the product of n circles, so the unitary group U(n) has rank n. A maximal torus in the special unitary group SU(n) ⊂ U(n) is just the intersection of T and SU(n) which is a torus of dimension n − 1. A maximal torus in the special orthogonal group SO(2n) is given by the set of all simultaneous rotations in any fixed choice of n pairwise orthogonal planes (i. e., two dimensional vector spaces). Concretely, one maximal torus consists of all block diagonal matrices with diagonal blocks, where each diagonal block is a rotation matrix. This is also a maximal torus in the group SO(2n+1) where the action fixes the remaining direction. Thus both SO(2n) and SO(2n+1) have rank n. For example, in the rotation group SO(3) the maximal tori are given by rotations about a fixed axis. The symplectic group Sp(n) has rank n. A maximal torus is given by the set of all diagonal matrices whose entries all lie in a fixed complex subalgebra of H.
Корневая система
Если T — максимальный тор в компактной группе Ли G, корневую систему можно определить следующим образом. Корни — это веса для сопряжённого действия T на комплексифицированной алгебре Ли G. Более точно, пусть 𝔭 обозначает алгебру Ли T, 𝔤 — алгебру Ли G, а 𝔤ℂ — комплексификацию 𝔤. Тогда мы говорим, что элемент λ является корнем для G относительно T, если λ ≠ 0 и существует ненулевой элемент X из 𝔤, такой что
[X, T] = λT для всех T ∈ 𝔭. Здесь имеется в виду фиксированный внутренний продукт на 𝔤ℂ, инвариантный относительно сопряжённого действия связных компактных групп Ли. Корневая система, как подмножество алгебры Ли 𝔭, обладает всеми обычными свойствами корневой системы, за исключением того, что корни могут не порождать всю 𝔭. Корневая система является ключевым инструментом в понимании классификации и теории представлений G.
Группа Вейла
При наличии тора T (не обязательно максимального), группа Вейля G относительно T может быть определена как нормализатор T по модулю централизатора T. То есть, зафиксируйте максимальный тор в G; тогда соответствующая группа Вейля называется группой Вейля G (она зависит до изоморфизма от выбора T). Первые два основных результата о группе Вейля следующие. Централизатор T в G равен T, поэтому группа Вейля равна N(T)/T. Группа Вейля порождается отражениями относительно корней соответствующей алгебры Ли. Таким образом, группа Вейля T изоморфна группе Вейля корневой системы алгебры Ли G.
Fix a maximal torus in G; then the corresponding Weyl group is called the Weyl group of G (it depends up to isomorphism on the choice of T). The first two major results about the Weyl group are as follows. The centralizer of T in G is equal to T, so the Weyl group is equal to N(T)/T. The Weyl group is generated by reflections about the roots of the associated Lie algebra. Thus, the Weyl group of T is isomorphic to the Weyl group of the root system of the Lie algebra of G.
We now list some consequences of these main results. Two elements in T are conjugate if and only if they are conjugate by an element of W. That is, each conjugacy class of G intersects T in exactly one Weyl orbit. In fact, the space of conjugacy classes in G is homeomorphic to the orbit space T/W. The Weyl group acts by (outer) automorphisms on T (and its Lie algebra). The identity component of the normalizer of T is also equal to T. The Weyl group is therefore equal to the component group of N(T). The Weyl group is finite. The representation theory of G is essentially determined by T and W.
As an example, consider the case with being the diagonal subgroup of Then belongs to if and only if maps each standard basis element to a multiple of some other standard basis element , that is, if and only if permutes the standard basis elements, up to multiplication by some constants. The Weyl group in this case is then the permutation group on elements.
Теперь перечислим некоторые следствия этих основных результатов. Два элемента в T сопряжены тогда и только тогда, когда они сопряжены элементом W. То есть, каждый класс сопряженности G пересекает T ровно в одной орбите Вейля. Фактически, пространство классов сопряженности в G гомеоморфно орбитальному пространству T/W. Группа Вейля действует посредством (внешних) автоморфизмов на T (и его алгебре Ли). Связная компонента нормализатора T также равна T. Следовательно, группа Вейля равна группе компонент N(T). Группа Вейля конечна. Теория представлений G по существу определяется T и W.
Fix a maximal torus in G; then the corresponding Weyl group is called the Weyl group of G (it depends up to isomorphism on the choice of T). The first two major results about the Weyl group are as follows. The centralizer of T in G is equal to T, so the Weyl group is equal to N(T)/T. The Weyl group is generated by reflections about the roots of the associated Lie algebra. Thus, the Weyl group of T is isomorphic to the Weyl group of the root system of the Lie algebra of G.
We now list some consequences of these main results. Two elements in T are conjugate if and only if they are conjugate by an element of W. That is, each conjugacy class of G intersects T in exactly one Weyl orbit. In fact, the space of conjugacy classes in G is homeomorphic to the orbit space T/W. The Weyl group acts by (outer) automorphisms on T (and its Lie algebra). The identity component of the normalizer of T is also equal to T. The Weyl group is therefore equal to the component group of N(T). The Weyl group is finite. The representation theory of G is essentially determined by T and W.
As an example, consider the case with being the diagonal subgroup of Then belongs to if and only if maps each standard basis element to a multiple of some other standard basis element , that is, if and only if permutes the standard basis elements, up to multiplication by some constants. The Weyl group in this case is then the permutation group on elements.
В качестве примера рассмотрим случай, когда диагональная подгруппа. Тогда элемент принадлежит , если и только если он отображает каждый стандартный базисный вектор в кратное другого стандартного базисного вектора, то есть, если и только если он переставляет стандартные базисные векторы с точностью до умножения на некоторые константы. В этом случае группа Вейля является группой перестановок элементов.
Fix a maximal torus in G; then the corresponding Weyl group is called the Weyl group of G (it depends up to isomorphism on the choice of T). The first two major results about the Weyl group are as follows. The centralizer of T in G is equal to T, so the Weyl group is equal to N(T)/T. The Weyl group is generated by reflections about the roots of the associated Lie algebra. Thus, the Weyl group of T is isomorphic to the Weyl group of the root system of the Lie algebra of G.
We now list some consequences of these main results. Two elements in T are conjugate if and only if they are conjugate by an element of W. That is, each conjugacy class of G intersects T in exactly one Weyl orbit. In fact, the space of conjugacy classes in G is homeomorphic to the orbit space T/W. The Weyl group acts by (outer) automorphisms on T (and its Lie algebra). The identity component of the normalizer of T is also equal to T. The Weyl group is therefore equal to the component group of N(T). The Weyl group is finite. The representation theory of G is essentially determined by T and W.
As an example, consider the case with being the diagonal subgroup of Then belongs to if and only if maps each standard basis element to a multiple of some other standard basis element , that is, if and only if permutes the standard basis elements, up to multiplication by some constants. The Weyl group in this case is then the permutation group on elements.
Формула интеграла Вейла
Предположим, что f — непрерывная функция на G. Тогда интеграл по G от f относительно нормализованной меры Гаара dg может быть вычислен следующим образом:
где — нормализованная мера объема на факторном многообразии, а — нормализованная мера Гаара на T. Здесь Δ задается формулой знаменателя Вейля, а |W| — порядок группы Вейля. Важный частный случай этого результата возникает, когда f является классовой функцией, то есть функцией, инвариантной относительно сопряжения. В этом случае мы имеем
Рассмотрим в качестве примера случай , где является диагональной подгруппой. Тогда формула интеграла Вейля для классовых функций принимает следующую явную форму:
Здесь , нормализованная мера Гаара на , а обозначает диагональную матрицу с диагональными элементами и .