Кіріспе

Жалпы топологияда, жиын теориясында және ойын теориясында Банах-Мазур ойыны – жиын (кеңістік) ішіндегі элементтерді табуға тырысатын екі ойыншының ойнайтын топологиялық ойын. Банах-Мазур ойынының түсінігі Бейр кеңістіктерінің түсінігімен тығыз байланысты. Бұл ойын зерттелген алғашқы шексіз позициялық, толық ақпаратты ойын болды. Оны Станислав Мазур шотландтық кітапта 43-ші мәселе ретінде ұсынды, ал Мазурдың осы ойынға қатысты сұрақтарына Банах жауап берді.

Қарапайым дәлел: жеңімпаздық стратегиясы

Табиғи түрде сұрау туындайды: қандай жиынтарда жеңімпаз стратегия бар? Егер жиын бос болса, онда жеңімпаз стратегия бар, демек, сұрақты бейресми түрде былай қоюға болады: жеңімпаз стратегияның болуын қамтамасыз ету үшін жиын қаншалықты "кішкентай" (сәйкесінше, "үлкен") болуы керек, немесе жиынның (сәйкесінше, ішіндегі толықтыруының) қаншалықты "кішкентай" (сәйкесінше, "үлкен") болуы керек? Келесі нәтиже алдыңғы бөлімдегі қасиеттерді шығару үшін қолданылатын дәлелдемелердің қалай жұмыс істейтінін көрсетеді:

Теорема. Егер жиын саналатын болса, T1 кеңістігі болса және оқшауланған нүктелері болмаса, онда жиынында жеңімпаз стратегия бар. Дәлел. X жиынының элементтерін тізбек ретінде индексирлейік: Егер таңдалған болса, онда бос емес ішкі жиын болады, содан кейін бос емес ашық жиын болады, сондықтан таңдай алады. Содан кейін таңдайды және осыған ұқсас, таңдай алады, ол жиынын жоққа шығарады. Осылай жалғастыра берсек, әрбір нүктесі жиынымен жоққа шығарылады, сондықтан барлық жиындарының қиылысы жиынымен қиылыспайды. кеңістігінің қасиеттері дәлелдеме үшін маңызды: мысалы, егер дискрет топологиямен жабдықталған болса және жиыны жиынының барлық бос емес жиынтықтарынан тұрса, онда жеңімпаз стратегияға ие емес (іс жүзінде, оның қарсыласы жеңімпаз стратегияға ие). Егер индискрет топологиямен жабдықталған болса, ұқсас жағдайлар орын алады.

Күштірек нәтиже жиынды бірінші реттік жиындармен байланыстырады. Теорема. жиынында жеңімпаз стратегия бар, егер және тек қана егер аз жиын болса. Бұл жиыны аз болмаса, онда жеңімпаз стратегияға ие дегенді білдірмейді. Шындығында, егер толық метрикалық кеңістік болса, онда жеңімпаз стратегияға ие, егер және тек қана егер жиынының жиынына қатысты комегр жиыны болса. Екі ойыншының да жеңімпаз стратегиясы болмауы мүмкін: мысалы, бірлік аралығы болсын және бірлік аралығындағы жабық аралықтардың жиыны болсын. Ойын, егер мақсатты жиын Баир қасиетіне ие болса, яғни егер ол ашық жиыннан аз жиынмен ерекшеленсе (бірақ керісінше дұрыс емес) анықталады. Таңдау аксиомасын қабылдасақ, Банах-Мазур ойыны анықталмаған бірлік аралығының кіші жиындары бар.